Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  constr01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr01 33732
Description: 0 and 1 are in all steps of the construction of constructible points. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
constr0.1 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑥𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1 (𝜑𝑁 ∈ On)
Assertion
Ref Expression
constr01 (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑁))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥,𝑏,𝑐   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥,𝑓   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥,𝐶   𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem constr01
Dummy variables 𝑛 𝑜 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 constrsscn.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ On)
2 fveq2 6920 . . . 4 (𝑚 = ∅ → (𝐶𝑚) = (𝐶‘∅))
32sseq2d 4041 . . 3 (𝑚 = ∅ → ({0, 1} ⊆ (𝐶𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘∅)))
4 fveq2 6920 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (𝐶𝑚) = (𝐶𝑛))
54sseq2d 4041 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ({0, 1} ⊆ (𝐶𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)))
6 fveq2 6920 . . . 4 (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
76sseq2d 4041 . . 3 (𝑚 = suc 𝑛 → ({0, 1} ⊆ (𝐶𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛)))
8 fveq2 6920 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (𝐶𝑚) = (𝐶𝑁))
98sseq2d 4041 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ({0, 1} ⊆ (𝐶𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑁)))
10 constr0.1 . . . . 5 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏𝑎)) · (𝑑𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥𝑐)) = (abs‘(𝑒𝑓))) ∨ ∃𝑎𝑠𝑏𝑠𝑐𝑠𝑑𝑠𝑒𝑠𝑓𝑠 (𝑎𝑑 ∧ (abs‘(𝑥𝑎)) = (abs‘(𝑏𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥𝑑)) = (abs‘(𝑒𝑓))))}), {0, 1})
1110constr0 33727 . . . 4 (𝐶‘∅) = {0, 1}
1211eqimss2i 4070 . . 3 {0, 1} ⊆ (𝐶‘∅)
13 simpr 484 . . . . 5 ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)) → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛))
14 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
15 c0ex 11284 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1615prid1 4787 . . . . . . . 8 0 ∈ {0, 1}
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)) → 0 ∈ {0, 1})
1813, 17sseldd 4009 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)) → 0 ∈ (𝐶𝑛))
1910, 14, 18constrsslem 33731 . . . . 5 ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)) → (𝐶𝑛) ⊆ (𝐶‘suc 𝑛))
2013, 19sstrd 4019 . . . 4 ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛)) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛))
2120ex 412 . . 3 (𝑛 ∈ On → ({0, 1} ⊆ (𝐶𝑛) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛)))
22 0ellim 6458 . . . . . 6 (Lim 𝑚 → ∅ ∈ 𝑚)
23 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑜 = ∅ → (𝐶𝑜) = (𝐶‘∅))
2423, 11eqtrdi 2796 . . . . . . 7 (𝑜 = ∅ → (𝐶𝑜) = {0, 1})
2524ssiun2s 5071 . . . . . 6 (∅ ∈ 𝑚 → {0, 1} ⊆ 𝑜𝑚 (𝐶𝑜))
2622, 25syl 17 . . . . 5 (Lim 𝑚 → {0, 1} ⊆ 𝑜𝑚 (𝐶𝑜))
27 vex 3492 . . . . . . 7 𝑚 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 (Lim 𝑚𝑚 ∈ V)
29 id 22 . . . . . 6 (Lim 𝑚 → Lim 𝑚)
3010, 28, 29constrlim 33729 . . . . 5 (Lim 𝑚 → (𝐶𝑚) = 𝑜𝑚 (𝐶𝑜))
3126, 30sseqtrrd 4050 . . . 4 (Lim 𝑚 → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑚))
3231a1d 25 . . 3 (Lim 𝑚 → (∀𝑛𝑚 {0, 1} ⊆ (𝐶𝑛) → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑚)))
333, 5, 7, 9, 12, 21, 32tfinds 7897 . 2 (𝑁 ∈ On → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑁))
341, 33syl 17 1 (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐶𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488  wss 3976  c0 4352  {cpr 4650   ciun 5015  cmpt 5249  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  suc csuc 6397  cfv 6573  (class class class)co 7448  reccrdg 8465  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  cmin 11520  ccj 15145  cim 15147  abscabs 15283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522
This theorem is referenced by:  constrss  33733  constrelextdg2  33737
  Copyright terms: Public domain W3C validator