Theorem constr01 33935

Description: 0 and 1 are in all steps of the construction of constructible points. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
constr01	⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥,𝑏,𝑐   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥,𝑓   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥,𝐶   𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem constr01

Dummy variables 𝑛 𝑜 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrsscn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6828	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	sseq2d 3947	. . 3 ⊢ (𝑚 = ∅ → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘∅)))
4		fveq2 6828	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
5	4	sseq2d 3947	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)))
6		fveq2 6828	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
7	6	sseq2d 3947	. . 3 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛)))
8		fveq2 6828	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
9	8	sseq2d 3947	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁)))
10		constr0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
11	10	constr0 33930	. . . 4 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
12	11	eqimss2i 3976	. . 3 ⊢ {0, 1} ⊆ (𝐶‘∅)
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛))
14		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
15		c0ex 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4695	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 0 ∈ {0, 1})
18	13, 17	sseldd 3916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 0 ∈ (𝐶‘𝑛))
19	10, 14, 18	constrsslem 33934	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘suc 𝑛))
20	13, 19	sstrd 3925	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛))
21	20	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ On → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛)))
22		0ellim 6375	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑚 → ∅ ∈ 𝑚)
23		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = ∅ → (𝐶‘𝑜) = (𝐶‘∅))
24	23, 11	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = ∅ → (𝐶‘𝑜) = {0, 1})
25	24	ssiun2s 4979	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑚 → {0, 1} ⊆ ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
26	22, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑚 → {0, 1} ⊆ ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
27		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑚 → 𝑚 ∈ V)
29		id 22	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑚 → Lim 𝑚)
30	10, 28, 29	constrlim 33932	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑚 → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
31	26, 30	sseqtrrd 3952	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑚 → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚))
32	31	a1d 25	. . 3 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚)))
33	3, 5, 7, 9, 12, 21, 32	tfinds 7801	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ On → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))
34	1, 33	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  {cpr 4558  ∪ ciun 4922   ↦ cmpt 5154  Oncon0 6311  Lim wlim 6312  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  reccrdg 8339  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11369  ∗ccj 15050  ℑcim 15052  abscabs 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371

This theorem is referenced by:  constrss  33936  constrelextdg2  33940  constrextdg2lem  33941