Theorem constr01 33747

Description: 0 and 1 are in all steps of the construction of constructible points. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
constr01	⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥,𝑏,𝑐   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥,𝑓   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥,𝐶   𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem constr01

Dummy variables 𝑛 𝑜 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrsscn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	sseq2d 4028	. . 3 ⊢ (𝑚 = ∅ → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘∅)))
4		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
5	4	sseq2d 4028	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)))
6		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
7	6	sseq2d 4028	. . 3 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛)))
8		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
9	8	sseq2d 4028	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚) ↔ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁)))
10		constr0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
11	10	constr0 33742	. . . 4 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
12	11	eqimss2i 4057	. . 3 ⊢ {0, 1} ⊆ (𝐶‘∅)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛))
14		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
15		c0ex 11253	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ V
16	15	prid1 4767	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 0 ∈ {0, 1})
18	13, 17	sseldd 3996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → 0 ∈ (𝐶‘𝑛))
19	10, 14, 18	constrsslem 33746	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ⊆ (𝐶‘suc 𝑛))
20	13, 19	sstrd 4006	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛)) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛))
21	20	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ On → ({0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘suc 𝑛)))
22		0ellim 6449	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑚 → ∅ ∈ 𝑚)
23		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑜 = ∅ → (𝐶‘𝑜) = (𝐶‘∅))
24	23, 11	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑜 = ∅ → (𝐶‘𝑜) = {0, 1})
25	24	ssiun2s 5053	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 𝑚 → {0, 1} ⊆ ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
26	22, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑚 → {0, 1} ⊆ ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
27		vex 3482	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑚 → 𝑚 ∈ V)
29		id 22	. . . . . 6 ⊢ (Lim 𝑚 → Lim 𝑚)
30	10, 28, 29	constrlim 33744	. . . . 5 ⊢ (Lim 𝑚 → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
31	26, 30	sseqtrrd 4037	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑚 → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚))
32	31	a1d 25	. . 3 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑛) → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑚)))
33	3, 5, 7, 9, 12, 21, 32	tfinds 7881	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ On → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))
34	1, 33	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → {0, 1} ⊆ (𝐶‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {cpr 4633  ∪ ciun 4996   ↦ cmpt 5231  Oncon0 6386  Lim wlim 6387  suc csuc 6388  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  reccrdg 8448  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  ∗ccj 15132  ℑcim 15134  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  constrss  33748  constrelextdg2  33752