![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > deccarry | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12758, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
deccarry | โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dec 12718 | . 2 โข ;(๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) | |
2 | 9nn 12350 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ | |
3 | peano2nn 12264 | . . . . . . . 8 โข (9 โ โ โ (9 + 1) โ โ) | |
4 | 2, 3 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข (9 + 1) โ โ |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
6 | peano2nn 12264 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | |
7 | 5, 6 | nnmulcld 12305 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
8 | 7 | nncnd 12268 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
9 | 8 | addridd 11454 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1))) |
10 | 4 | nncni 12262 | . . . . . 6 โข (9 + 1) โ โ |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
12 | nncn 12260 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
13 | 1cnd 11249 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ 1 โ โ) | |
14 | 11, 12, 13 | adddid 11278 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1))) |
15 | 11 | mulridd 11271 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1)) |
16 | 15 | oveq2d 7442 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
17 | df-dec 12718 | . . . . . . 7 โข ;๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) | |
18 | 17 | oveq1i 7436 | . . . . . 6 โข (;๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) |
19 | id 22 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
20 | 5, 19 | nnmulcld 12305 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
21 | 20 | nncnd 12268 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
22 | 2 | nncni 12262 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ 9 โ โ) |
24 | 21, 23, 13 | addassd 11276 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
25 | 18, 24 | eqtr2id 2781 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
26 | 16, 25 | eqtrd 2768 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
27 | 14, 26 | eqtrd 2768 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
28 | 9, 27 | eqtrd 2768 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (;๐ด9 + 1)) |
29 | 1, 28 | eqtr2id 2781 | 1 โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11146 0cc0 11148 1c1 11149 + caddc 11151 ยท cmul 11153 โcn 12252 9c9 12314 ;cdc 12717 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-ov 7429 df-om 7879 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-er 8733 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-ltxr 11293 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-4 12317 df-5 12318 df-6 12319 df-7 12320 df-8 12321 df-9 12322 df-dec 12718 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |