Theorem deccarry 45954

Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12714, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
deccarry	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12674	. 2 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2		9nn 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12220	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6		peano2nn 12220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	nnmulcld 12261	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
9	8	addridd 11410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
10	4	nncni 12218	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12		nncn 12216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		1cnd 11205	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	adddid 11234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
15	11	mulridd 11227	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
16	15	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17		df-dec 12674	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
18	17	oveq1i 7414	. . . . . 6 ⊢ (;𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
20	5, 19	nnmulcld 12261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
22	2	nncni 12218	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
24	21, 23, 13	addassd 11232	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
25	18, 24	eqtr2id 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
26	16, 25	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (;𝐴9 + 1))
27	14, 26	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
28	9, 27	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (;𝐴9 + 1))
29	1, 28	eqtr2id 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℕcn 12208  9c9 12270  ;cdc 12673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-dec 12674

This theorem is referenced by: (None)