![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > deccarry | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12718, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
deccarry | โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dec 12678 | . 2 โข ;(๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) | |
2 | 9nn 12310 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ | |
3 | peano2nn 12224 | . . . . . . . 8 โข (9 โ โ โ (9 + 1) โ โ) | |
4 | 2, 3 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข (9 + 1) โ โ |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
6 | peano2nn 12224 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | |
7 | 5, 6 | nnmulcld 12265 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
8 | 7 | nncnd 12228 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
9 | 8 | addridd 11414 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1))) |
10 | 4 | nncni 12222 | . . . . . 6 โข (9 + 1) โ โ |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
12 | nncn 12220 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
13 | 1cnd 11209 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ 1 โ โ) | |
14 | 11, 12, 13 | adddid 11238 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1))) |
15 | 11 | mulridd 11231 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1)) |
16 | 15 | oveq2d 7425 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
17 | df-dec 12678 | . . . . . . 7 โข ;๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) | |
18 | 17 | oveq1i 7419 | . . . . . 6 โข (;๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) |
19 | id 22 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
20 | 5, 19 | nnmulcld 12265 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
21 | 20 | nncnd 12228 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
22 | 2 | nncni 12222 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ 9 โ โ) |
24 | 21, 23, 13 | addassd 11236 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
25 | 18, 24 | eqtr2id 2786 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
26 | 16, 25 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
27 | 14, 26 | eqtrd 2773 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
28 | 9, 27 | eqtrd 2773 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (;๐ด9 + 1)) |
29 | 1, 28 | eqtr2id 2786 | 1 โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7409 โcc 11108 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 ยท cmul 11115 โcn 12212 9c9 12274 ;cdc 12677 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7412 df-om 7856 df-2nd 7976 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-er 8703 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-ltxr 11253 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-dec 12678 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |