Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deccarry Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccarry 46591
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12722, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (999 + 1) = 1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
deccarry (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด9 + 1) = (๐ด + 1)0)

Proof of Theorem deccarry
StepHypRef Expression
1 df-dec 12682 . 2 (๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0)
2 9nn 12314 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„•
3 peano2nn 12228 . . . . . . . 8 (9 โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„•)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (9 + 1) โˆˆ โ„•
54a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„•)
6 peano2nn 12228 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
75, 6nnmulcld 12269 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
87nncnd 12232 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„‚)
98addridd 11418 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)))
104nncni 12226 . . . . . 6 (9 + 1) โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„‚)
12 nncn 12224 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11213 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1411, 12, 13adddid 11242 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)))
1511mulridd 11235 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1))
1615oveq2d 7421 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)))
17 df-dec 12682 . . . . . . 7 ๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9)
1817oveq1i 7415 . . . . . 6 (๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1)
19 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
205, 19nnmulcld 12269 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
222nncni 12226 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
2421, 23, 13addassd 11240 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)))
2518, 24eqtr2id 2779 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (๐ด9 + 1))
2616, 25eqtrd 2766 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (๐ด9 + 1))
2714, 26eqtrd 2766 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (๐ด9 + 1))
289, 27eqtrd 2766 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (๐ด9 + 1))
291, 28eqtr2id 2779 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด9 + 1) = (๐ด + 1)0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  9c9 12278  cdc 12681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator