![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > deccarry | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12722, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
deccarry | โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dec 12682 | . 2 โข ;(๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) | |
2 | 9nn 12314 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ | |
3 | peano2nn 12228 | . . . . . . . 8 โข (9 โ โ โ (9 + 1) โ โ) | |
4 | 2, 3 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข (9 + 1) โ โ |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
6 | peano2nn 12228 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | |
7 | 5, 6 | nnmulcld 12269 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
8 | 7 | nncnd 12232 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
9 | 8 | addridd 11418 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1))) |
10 | 4 | nncni 12226 | . . . . . 6 โข (9 + 1) โ โ |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
12 | nncn 12224 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
13 | 1cnd 11213 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ 1 โ โ) | |
14 | 11, 12, 13 | adddid 11242 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1))) |
15 | 11 | mulridd 11235 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1)) |
16 | 15 | oveq2d 7421 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
17 | df-dec 12682 | . . . . . . 7 โข ;๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) | |
18 | 17 | oveq1i 7415 | . . . . . 6 โข (;๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) |
19 | id 22 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
20 | 5, 19 | nnmulcld 12269 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
21 | 20 | nncnd 12232 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
22 | 2 | nncni 12226 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ 9 โ โ) |
24 | 21, 23, 13 | addassd 11240 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
25 | 18, 24 | eqtr2id 2779 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
26 | 16, 25 | eqtrd 2766 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
27 | 14, 26 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
28 | 9, 27 | eqtrd 2766 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (;๐ด9 + 1)) |
29 | 1, 28 | eqtr2id 2779 | 1 โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 ยท cmul 11117 โcn 12216 9c9 12278 ;cdc 12681 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-ltxr 11257 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-dec 12682 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |