Theorem deccarry 47323

Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12774, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
deccarry	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12734	. 2 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2		9nn 12364	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6		peano2nn 12278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	nnmulcld 12319	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12282	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
9	8	addridd 11461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
10	4	nncni 12276	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12		nncn 12274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		1cnd 11256	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	adddid 11285	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
15	11	mulridd 11278	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
16	15	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17		df-dec 12734	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
18	17	oveq1i 7441	. . . . . 6 ⊢ (;𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
20	5, 19	nnmulcld 12319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
22	2	nncni 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
24	21, 23, 13	addassd 11283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
25	18, 24	eqtr2id 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
26	16, 25	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (;𝐴9 + 1))
27	14, 26	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
28	9, 27	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (;𝐴9 + 1))
29	1, 28	eqtr2id 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕcn 12266  9c9 12328  ;cdc 12733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-dec 12734

This theorem is referenced by: (None)