Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deccarry Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccarry 42156
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 11824, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g. by applying this theorem three times we get (999 + 1) = 1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
deccarry (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴9 + 1) = (𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry
StepHypRef Expression
1 df-dec 11783 . 2 (𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2 9nn 11416 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ
3 peano2nn 11327 . . . . . . . 8 (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (9 + 1) ∈ ℕ
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6 peano2nn 11327 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
75, 6nnmulcld 11365 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
87nncnd 11331 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
98addid1d 10527 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
104nncni 11324 . . . . . 6 (9 + 1) ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12 nncn 11322 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13 1cnd 10324 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1411, 12, 13adddid 10354 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
1511mulid1d 10347 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
1615oveq2d 6895 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17 df-dec 11783 . . . . . . 7 𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
1817oveq1i 6889 . . . . . 6 (𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
205, 19nnmulcld 11365 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
2120nncnd 11331 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
222nncni 11324 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
2421, 23, 13addassd 10352 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
2518, 24syl5req 2847 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (𝐴9 + 1))
2616, 25eqtrd 2834 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (𝐴9 + 1))
2714, 26eqtrd 2834 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (𝐴9 + 1))
289, 27eqtrd 2834 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (𝐴9 + 1))
291, 28syl5req 2847 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴9 + 1) = (𝐴 + 1)0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6879  cc 10223  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   · cmul 10230  cn 11313  9c9 11374  cdc 11782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-ltxr 10369  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-dec 11783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator