![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > deccarry | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12664, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
deccarry | โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-dec 12624 | . 2 โข ;(๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) | |
2 | 9nn 12256 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ | |
3 | peano2nn 12170 | . . . . . . . 8 โข (9 โ โ โ (9 + 1) โ โ) | |
4 | 2, 3 | ax-mp 5 | . . . . . . 7 โข (9 + 1) โ โ |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
6 | peano2nn 12170 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | |
7 | 5, 6 | nnmulcld 12211 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
8 | 7 | nncnd 12174 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โ โ) |
9 | 8 | addid1d 11360 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1))) |
10 | 4 | nncni 12168 | . . . . . 6 โข (9 + 1) โ โ |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (9 + 1) โ โ) |
12 | nncn 12166 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
13 | 1cnd 11155 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ 1 โ โ) | |
14 | 11, 12, 13 | adddid 11184 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1))) |
15 | 11 | mulid1d 11177 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1)) |
16 | 15 | oveq2d 7374 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
17 | df-dec 12624 | . . . . . . 7 โข ;๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) | |
18 | 17 | oveq1i 7368 | . . . . . 6 โข (;๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) |
19 | id 22 | . . . . . . . . 9 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
20 | 5, 19 | nnmulcld 12211 | . . . . . . . 8 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
21 | 20 | nncnd 12174 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท ๐ด) โ โ) |
22 | 2 | nncni 12168 | . . . . . . . 8 โข 9 โ โ |
23 | 22 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ 9 โ โ) |
24 | 21, 23, 13 | addassd 11182 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1))) |
25 | 18, 24 | eqtr2id 2786 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
26 | 16, 25 | eqtrd 2773 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
27 | 14, 26 | eqtrd 2773 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (;๐ด9 + 1)) |
28 | 9, 27 | eqtrd 2773 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (;๐ด9 + 1)) |
29 | 1, 28 | eqtr2id 2786 | 1 โข (๐ด โ โ โ (;๐ด9 + 1) = ;(๐ด + 1)0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7358 โcc 11054 0cc0 11056 1c1 11057 + caddc 11059 ยท cmul 11061 โcn 12158 9c9 12220 ;cdc 12623 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-ov 7361 df-om 7804 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-ltxr 11199 df-nn 12159 df-2 12221 df-3 12222 df-4 12223 df-5 12224 df-6 12225 df-7 12226 df-8 12227 df-9 12228 df-dec 12624 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |