Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deccarry Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccarry 46738
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12758, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (999 + 1) = 1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
deccarry (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด9 + 1) = (๐ด + 1)0)

Proof of Theorem deccarry
StepHypRef Expression
1 df-dec 12718 . 2 (๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0)
2 9nn 12350 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„•
3 peano2nn 12264 . . . . . . . 8 (9 โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„•)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (9 + 1) โˆˆ โ„•
54a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„•)
6 peano2nn 12264 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
75, 6nnmulcld 12305 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
87nncnd 12268 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„‚)
98addridd 11454 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)))
104nncni 12262 . . . . . 6 (9 + 1) โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„‚)
12 nncn 12260 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11249 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1411, 12, 13adddid 11278 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)))
1511mulridd 11271 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1))
1615oveq2d 7442 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)))
17 df-dec 12718 . . . . . . 7 ๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9)
1817oveq1i 7436 . . . . . 6 (๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1)
19 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
205, 19nnmulcld 12305 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12268 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
222nncni 12262 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
2421, 23, 13addassd 11276 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)))
2518, 24eqtr2id 2781 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (๐ด9 + 1))
2616, 25eqtrd 2768 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (๐ด9 + 1))
2714, 26eqtrd 2768 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (๐ด9 + 1))
289, 27eqtrd 2768 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (๐ด9 + 1))
291, 28eqtr2id 2781 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด9 + 1) = (๐ด + 1)0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   ยท cmul 11153  โ„•cn 12252  9c9 12314  cdc 12717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-dec 12718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator