Theorem deccarry 48523

Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12873, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
deccarry	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12828	. 2 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2		9nn 12454	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 12360	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6		peano2nn 12360	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	nnmulcld 12404	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12364	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
9	8	addridd 11523	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
10	4	nncni 12358	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12		nncn 12356	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		1cnd 11315	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	adddid 11346	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
15	11	mulridd 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
16	15	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17		df-dec 12828	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
18	17	oveq1i 7440	. . . . . 6 ⊢ (;𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
20	5, 19	nnmulcld 12404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 12364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
22	2	nncni 12358	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
24	21, 23, 13	addassd 11344	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
25	18, 24	eqtr2id 2811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
26	16, 25	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (;𝐴9 + 1))
27	14, 26	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
28	9, 27	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (;𝐴9 + 1))
29	1, 28	eqtr2id 2811	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  0cc0 11213  1c1 11214   + caddc 11216   · cmul 11218  ℕcn 12348  9c9 12417  ;cdc 12827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-ltxr 11361  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-dec 12828

This theorem is used by: (None)