Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deccarry Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccarry 45629
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12664, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (999 + 1) = 1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
deccarry (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด9 + 1) = (๐ด + 1)0)

Proof of Theorem deccarry
StepHypRef Expression
1 df-dec 12624 . 2 (๐ด + 1)0 = (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0)
2 9nn 12256 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„•
3 peano2nn 12170 . . . . . . . 8 (9 โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„•)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (9 + 1) โˆˆ โ„•
54a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„•)
6 peano2nn 12170 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„•)
75, 6nnmulcld 12211 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„•)
87nncnd 12174 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„‚)
98addid1d 11360 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)))
104nncni 12168 . . . . . 6 (9 + 1) โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (9 + 1) โˆˆ โ„‚)
12 nncn 12166 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 1cnd 11155 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1411, 12, 13adddid 11184 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)))
1511mulid1d 11177 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท 1) = (9 + 1))
1615oveq2d 7374 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)))
17 df-dec 12624 . . . . . . 7 ๐ด9 = (((9 + 1) ยท ๐ด) + 9)
1817oveq1i 7368 . . . . . 6 (๐ด9 + 1) = ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1)
19 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
205, 19nnmulcld 12211 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„•)
2120nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
222nncni 12168 . . . . . . . 8 9 โˆˆ โ„‚
2322a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ 9 โˆˆ โ„‚)
2421, 23, 13addassd 11182 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((((9 + 1) ยท ๐ด) + 9) + 1) = (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)))
2518, 24eqtr2id 2786 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + (9 + 1)) = (๐ด9 + 1))
2616, 25eqtrd 2773 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท ๐ด) + ((9 + 1) ยท 1)) = (๐ด9 + 1))
2714, 26eqtrd 2773 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) = (๐ด9 + 1))
289, 27eqtrd 2773 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (((9 + 1) ยท (๐ด + 1)) + 0) = (๐ด9 + 1))
291, 28eqtr2id 2786 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด9 + 1) = (๐ด + 1)0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  9c9 12220  cdc 12623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-dec 12624
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator