Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  deccarry Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem deccarry 43379
Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12131, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (999 + 1) = 1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
deccarry (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴9 + 1) = (𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry
StepHypRef Expression
1 df-dec 12091 . 2 (𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2 9nn 11727 . . . . . . . 8 9 ∈ ℕ
3 peano2nn 11642 . . . . . . . 8 (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7 (9 + 1) ∈ ℕ
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6 peano2nn 11642 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
75, 6nnmulcld 11682 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
87nncnd 11646 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
98addid1d 10832 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
104nncni 11640 . . . . . 6 (9 + 1) ∈ ℂ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12 nncn 11638 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13 1cnd 10628 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1411, 12, 13adddid 10657 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
1511mulid1d 10650 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
1615oveq2d 7167 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17 df-dec 12091 . . . . . . 7 𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
1817oveq1i 7161 . . . . . 6 (𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
205, 19nnmulcld 11682 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
2120nncnd 11646 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
222nncni 11640 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
2421, 23, 13addassd 10655 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
2518, 24syl5req 2873 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (𝐴9 + 1))
2616, 25eqtrd 2860 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (𝐴9 + 1))
2714, 26eqtrd 2860 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (𝐴9 + 1))
289, 27eqtrd 2860 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (𝐴9 + 1))
291, 28syl5req 2873 1 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴9 + 1) = (𝐴 + 1)0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cn 11630  9c9 11691  cdc 12090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-dec 12091
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator