Theorem deccarry 44691

Description: Add 1 to a 2 digit number with carry. This is a special case of decsucc 12407, but in closed form. As observed by ML, this theorem allows for carrying the 1 down multiple decimal constructors, so we can carry the 1 multiple times down a multi-digit number, e.g., by applying this theorem three times we get (;;999 + 1) = ;;;1000. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Revised by ML, 8-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 10-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
deccarry	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Proof of Theorem deccarry

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dec 12367	. 2 ⊢ ;(𝐴 + 1)0 = (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0)
2		9nn 12001	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℕ
3		peano2nn 11915	. . . . . . . 8 ⊢ (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (9 + 1) ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
6		peano2nn 11915	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
7	5, 6	nnmulcld 11956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 11919	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) ∈ ℂ)
9	8	addid1d 11105	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = ((9 + 1) · (𝐴 + 1)))
10	4	nncni 11913	. . . . . 6 ⊢ (9 + 1) ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℂ)
12		nncn 11911	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13		1cnd 10901	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14	11, 12, 13	adddid 10930	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)))
15	11	mulid1d 10923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 1) = (9 + 1))
16	15	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
17		df-dec 12367	. . . . . . 7 ⊢ ;𝐴9 = (((9 + 1) · 𝐴) + 9)
18	17	oveq1i 7265	. . . . . 6 ⊢ (;𝐴9 + 1) = ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1)
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ)
20	5, 19	nnmulcld 11956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℕ)
21	20	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
22	2	nncni 11913	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 9 ∈ ℂ)
24	21, 23, 13	addassd 10928	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((((9 + 1) · 𝐴) + 9) + 1) = (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)))
25	18, 24	eqtr2id 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + (9 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
26	16, 25	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · 𝐴) + ((9 + 1) · 1)) = (;𝐴9 + 1))
27	14, 26	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((9 + 1) · (𝐴 + 1)) = (;𝐴9 + 1))
28	9, 27	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (((9 + 1) · (𝐴 + 1)) + 0) = (;𝐴9 + 1))
29	1, 28	eqtr2id 2792	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (;𝐴9 + 1) = ;(𝐴 + 1)0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  ℕcn 11903  9c9 11965  ;cdc 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-dec 12367

This theorem is referenced by: (None)