Theorem nnmulcld 11956

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11927	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255   · cmul 10807  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  bcm1k  13957  bcp1n  13958  permnn  13968  trireciplem  15502  efaddlem  15730  eftlub  15746  eirrlem  15841  modmulconst  15925  isprm5  16340  crth  16407  phimullem  16408  pcqmul  16482  pcaddlem  16517  pcbc  16529  oddprmdvds  16532  pockthlem  16534  pockthg  16535  vdwlem3  16612  vdwlem6  16615  vdwlem9  16618  torsubg  19370  ablfacrp  19584  dgrcolem1  25339  aalioulem5  25401  aaliou3lem2  25408  log2cnv  25999  log2tlbnd  26000  log2ublem2  26002  log2ub  26004  lgamgulmlem4  26086  wilthlem2  26123  ftalem7  26133  basellem5  26139  mumul  26235  fsumfldivdiaglem  26243  dvdsmulf1o  26248  sgmmul  26254  chtublem  26264  bcmono  26330  bposlem3  26339  bposlem5  26341  gausslemma2dlem1a  26418  lgsquadlem2  26434  lgsquadlem3  26435  lgsquad2lem2  26438  2sqlem6  26476  2sqmod  26489  rplogsumlem1  26537  rplogsumlem2  26538  dchrisum0fmul  26559  vmalogdivsum2  26591  pntrsumbnd2  26620  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  ostth2lem2  26687  oddpwdc  32221  eulerpartlemgh  32245  subfaclim  33050  bcprod  33610  faclim2  33620  nnproddivdvdsd  39937  lcmineqlem14  39978  lcmineqlem15  39979  lcmineqlem16  39980  lcmineqlem19  39983  lcmineqlem20  39984  lcmineqlem22  39986  aks4d1p3  40014  nnadddir  40221  flt4lem5  40403  flt4lem5e  40409  flt4lem5f  40410  jm2.27c  40745  relexpmulnn  41206  mccllem  43028  limsup10exlem  43203  wallispilem5  43500  wallispi2lem1  43502  wallispi2  43504  stirlinglem3  43507  stirlinglem8  43512  stirlinglem15  43519  dirkertrigeqlem3  43531  hoicvrrex  43984  deccarry  44691  fmtnoprmfac2  44907  sfprmdvdsmersenne  44943  lighneallem3  44947  proththdlem  44953  fppr2odd  45071  blennnt2  45823