Theorem nnmulcld 12196

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356   · cmul 11029  ℕcn 12143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-addass 11089  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12144

This theorem is referenced by:  bcm1k  14236  bcp1n  14237  permnn  14247  trireciplem  15783  efaddlem  16014  eftlub  16032  eirrlem  16127  modmulconst  16213  isprm5  16632  crth  16703  phimullem  16704  pcqmul  16779  pcaddlem  16814  pcbc  16826  oddprmdvds  16829  pockthlem  16831  pockthg  16832  vdwlem3  16909  vdwlem6  16912  vdwlem9  16915  torsubg  19781  ablfacrp  19995  dgrcolem1  26233  aalioulem5  26298  aaliou3lem2  26305  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  log2ublem2  26911  log2ub  26913  lgamgulmlem4  26996  wilthlem2  27033  ftalem7  27043  basellem5  27049  mumul  27145  fsumfldivdiaglem  27153  mpodvdsmulf1o  27158  dvdsmulf1o  27160  sgmmul  27166  chtublem  27176  bcmono  27242  bposlem3  27251  bposlem5  27253  gausslemma2dlem1a  27330  lgsquadlem2  27346  lgsquadlem3  27347  lgsquad2lem2  27350  2sqlem6  27388  2sqmod  27401  rplogsumlem1  27449  rplogsumlem2  27450  dchrisum0fmul  27471  vmalogdivsum2  27503  pntrsumbnd2  27532  pntpbnd1  27551  pntpbnd2  27552  ostth2lem2  27599  zringfrac  33584  fldext2rspun  33788  oddpwdc  34460  eulerpartlemgh  34484  subfaclim  35331  bcprod  35881  faclim2  35891  nnproddivdvdsd  42193  lcmineqlem14  42235  lcmineqlem15  42236  lcmineqlem16  42237  lcmineqlem19  42240  lcmineqlem20  42241  lcmineqlem22  42243  aks4d1p3  42271  aks6d1c1p5  42305  aks6d1c1  42309  aks6d1c2p1  42311  aks6d1c2p2  42312  nnadddir  42467  flt4lem5  42835  flt4lem5e  42841  flt4lem5f  42842  jm2.27c  43191  relexpmulnn  43892  mccllem  45785  limsup10exlem  45958  wallispilem5  46255  wallispi2lem1  46257  wallispi2  46259  stirlinglem3  46262  stirlinglem8  46267  stirlinglem15  46274  dirkertrigeqlem3  46286  hoicvrrex  46742  deccarry  47499  fmtnoprmfac2  47755  sfprmdvdsmersenne  47791  lighneallem3  47795  proththdlem  47801  fppr2odd  47919  gpg3kgrtriexlem2  48272  gpg3kgrtriexlem5  48275  gpg3kgrtriexlem6  48276  gpg3kgrtriex  48277  blennnt2  48777