Theorem nnmulcld 11678

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11649	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135   · cmul 10531  ℕcn 11625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-addass 10591  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626

This theorem is referenced by:  bcm1k  13671  bcp1n  13672  permnn  13682  trireciplem  15209  efaddlem  15438  eftlub  15454  eirrlem  15549  modmulconst  15633  isprm5  16041  crth  16105  phimullem  16106  pcqmul  16180  pcaddlem  16214  pcbc  16226  oddprmdvds  16229  pockthlem  16231  pockthg  16232  vdwlem3  16309  vdwlem6  16312  vdwlem9  16315  torsubg  18967  ablfacrp  19181  dgrcolem1  24870  aalioulem5  24932  aaliou3lem2  24939  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  log2ublem2  25533  log2ub  25535  lgamgulmlem4  25617  wilthlem2  25654  ftalem7  25664  basellem5  25670  mumul  25766  fsumfldivdiaglem  25774  dvdsmulf1o  25779  sgmmul  25785  chtublem  25795  bcmono  25861  bposlem3  25870  bposlem5  25872  gausslemma2dlem1a  25949  lgsquadlem2  25965  lgsquadlem3  25966  lgsquad2lem2  25969  2sqlem6  26007  2sqmod  26020  rplogsumlem1  26068  rplogsumlem2  26069  dchrisum0fmul  26090  vmalogdivsum2  26122  pntrsumbnd2  26151  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  ostth2lem2  26218  oddpwdc  31722  eulerpartlemgh  31746  subfaclim  32548  bcprod  33083  faclim2  33093  nnproddivdvdsd  39289  lcmineqlem14  39330  lcmineqlem15  39331  lcmineqlem16  39332  lcmineqlem19  39335  lcmineqlem20  39336  lcmineqlem22  39338  nnadddir  39471  jm2.27c  39948  relexpmulnn  40410  mccllem  42239  limsup10exlem  42414  wallispilem5  42711  wallispi2lem1  42713  wallispi2  42715  stirlinglem3  42718  stirlinglem8  42723  stirlinglem15  42730  dirkertrigeqlem3  42742  hoicvrrex  43195  deccarry  43868  fmtnoprmfac2  44084  sfprmdvdsmersenne  44121  lighneallem3  44125  proththdlem  44131  fppr2odd  44249  blennnt2  45003