Theorem nnmulcld 12317

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431   · cmul 11158  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265

This theorem is referenced by:  bcm1k  14351  bcp1n  14352  permnn  14362  trireciplem  15895  efaddlem  16126  eftlub  16142  eirrlem  16237  modmulconst  16322  isprm5  16741  crth  16812  phimullem  16813  pcqmul  16887  pcaddlem  16922  pcbc  16934  oddprmdvds  16937  pockthlem  16939  pockthg  16940  vdwlem3  17017  vdwlem6  17020  vdwlem9  17023  torsubg  19887  ablfacrp  20101  dgrcolem1  26328  aalioulem5  26393  aaliou3lem2  26400  log2cnv  27002  log2tlbnd  27003  log2ublem2  27005  log2ub  27007  lgamgulmlem4  27090  wilthlem2  27127  ftalem7  27137  basellem5  27143  mumul  27239  fsumfldivdiaglem  27247  mpodvdsmulf1o  27252  dvdsmulf1o  27254  sgmmul  27260  chtublem  27270  bcmono  27336  bposlem3  27345  bposlem5  27347  gausslemma2dlem1a  27424  lgsquadlem2  27440  lgsquadlem3  27441  lgsquad2lem2  27444  2sqlem6  27482  2sqmod  27495  rplogsumlem1  27543  rplogsumlem2  27544  dchrisum0fmul  27565  vmalogdivsum2  27597  pntrsumbnd2  27626  pntpbnd1  27645  pntpbnd2  27646  ostth2lem2  27693  zringfrac  33562  oddpwdc  34336  eulerpartlemgh  34360  subfaclim  35173  bcprod  35718  faclim2  35728  nnproddivdvdsd  41982  lcmineqlem14  42024  lcmineqlem15  42025  lcmineqlem16  42026  lcmineqlem19  42029  lcmineqlem20  42030  lcmineqlem22  42032  aks4d1p3  42060  aks6d1c1p5  42094  aks6d1c1  42098  aks6d1c2p1  42100  aks6d1c2p2  42101  nnadddir  42284  flt4lem5  42637  flt4lem5e  42643  flt4lem5f  42644  jm2.27c  42996  relexpmulnn  43699  mccllem  45553  limsup10exlem  45728  wallispilem5  46025  wallispi2lem1  46027  wallispi2  46029  stirlinglem3  46032  stirlinglem8  46037  stirlinglem15  46044  dirkertrigeqlem3  46056  hoicvrrex  46512  deccarry  47261  fmtnoprmfac2  47492  sfprmdvdsmersenne  47528  lighneallem3  47532  proththdlem  47538  fppr2odd  47656  blennnt2  48439