MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcld 12213
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
nnmulcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
nnmulcld (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•)
2 nnmulcld.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
3 nnmulcl 12184 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-addass 11123  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161
This theorem is referenced by:  bcm1k  14222  bcp1n  14223  permnn  14233  trireciplem  15754  efaddlem  15982  eftlub  15998  eirrlem  16093  modmulconst  16177  isprm5  16590  crth  16657  phimullem  16658  pcqmul  16732  pcaddlem  16767  pcbc  16779  oddprmdvds  16782  pockthlem  16784  pockthg  16785  vdwlem3  16862  vdwlem6  16865  vdwlem9  16868  torsubg  19639  ablfacrp  19852  dgrcolem1  25650  aalioulem5  25712  aaliou3lem2  25719  log2cnv  26310  log2tlbnd  26311  log2ublem2  26313  log2ub  26315  lgamgulmlem4  26397  wilthlem2  26434  ftalem7  26444  basellem5  26450  mumul  26546  fsumfldivdiaglem  26554  dvdsmulf1o  26559  sgmmul  26565  chtublem  26575  bcmono  26641  bposlem3  26650  bposlem5  26652  gausslemma2dlem1a  26729  lgsquadlem2  26745  lgsquadlem3  26746  lgsquad2lem2  26749  2sqlem6  26787  2sqmod  26800  rplogsumlem1  26848  rplogsumlem2  26849  dchrisum0fmul  26870  vmalogdivsum2  26902  pntrsumbnd2  26931  pntpbnd1  26950  pntpbnd2  26951  ostth2lem2  26998  oddpwdc  32994  eulerpartlemgh  33018  subfaclim  33822  bcprod  34350  faclim2  34360  nnproddivdvdsd  40487  lcmineqlem14  40528  lcmineqlem15  40529  lcmineqlem16  40530  lcmineqlem19  40533  lcmineqlem20  40534  lcmineqlem22  40536  aks4d1p3  40564  aks6d1c2p1  40577  aks6d1c2p2  40578  nnadddir  40815  flt4lem5  41017  flt4lem5e  41023  flt4lem5f  41024  jm2.27c  41360  relexpmulnn  42055  mccllem  43912  limsup10exlem  44087  wallispilem5  44384  wallispi2lem1  44386  wallispi2  44388  stirlinglem3  44391  stirlinglem8  44396  stirlinglem15  44403  dirkertrigeqlem3  44415  hoicvrrex  44871  deccarry  45617  fmtnoprmfac2  45833  sfprmdvdsmersenne  45869  lighneallem3  45873  proththdlem  45879  fppr2odd  45997  blennnt2  46749
  Copyright terms: Public domain W3C validator