Theorem nnmulcld 12384

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12352	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418   · cmul 11198  ℕcn 12328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-addass 11258  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-nn 12329

This theorem is used by:  nnadddir  12387  bcm1k  14452  bcp1n  14453  permnn  14463  trireciplem  16024  efaddlem  16252  eftlub  16270  eirrlem  16365  modmulconst  16451  isprm5  16876  crth  16948  phimullem  16949  pcqmul  17024  pcaddlem  17059  pcbc  17071  oddprmdvds  17074  pockthlem  17076  pockthg  17077  vdwlem3  17154  vdwlem6  17157  vdwlem9  17160  torsubg  20061  ablfacrp  20275  dgrcolem1  26585  aalioulem5  26656  aaliou3lem2  26663  log2cnv  27265  log2tlbnd  27266  log2ublem2  27268  log2ub  27270  lgamgulmlem4  27352  wilthlem2  27389  ftalem7  27399  basellem5  27405  mumul  27501  fsumfldivdiaglem  27509  mpodvdsmulf1o  27514  dvdsmulf1o  27516  sgmmul  27521  chtublem  27531  bcmono  27597  bposlem3  27606  bposlem5  27608  gausslemma2dlem1a  27685  lgsquadlem2  27701  lgsquadlem3  27702  lgsquad2lem2  27705  2sqlem6  27743  2sqmod  27756  rplogsumlem1  27804  rplogsumlem2  27805  dchrisum0fmul  27826  vmalogdivsum2  27858  pntrsumbnd2  27887  pntpbnd1  27906  pntpbnd2  27907  ostth2lem2  27954  flt4lem5  27973  flt4lem5e  27979  flt4lem5f  27980  zringfrac  34079  fldext2rspun  34307  oddpwdc  34979  eulerpartlemgh  35003  subfaclim  35932  bcprod  36482  faclim2  36492  nnproddivdvdsd  43030  lcmineqlem14  43072  lcmineqlem15  43073  lcmineqlem16  43074  lcmineqlem19  43077  lcmineqlem20  43078  lcmineqlem22  43080  aks4d1p3  43108  aks6d1c1p5  43142  aks6d1c1  43146  aks6d1c2p1  43148  aks6d1c2p2  43149  jm2.27c  43993  relexpmulnn  44694  mccllem  46578  limsup10exlem  46751  wallispilem5  47048  wallispi2lem1  47050  wallispi2  47052  stirlinglem3  47055  stirlinglem8  47060  stirlinglem15  47067  dirkertrigeqlem3  47079  hoicvrrex  47535  deccarry  48350  fmtnoprmfac2  48621  sfprmdvdsmersenne  48657  lighneallem3  48661  proththdlem  48667  fppr2odd  48798  gpg3kgrtriexlem2  49151  gpg3kgrtriexlem5  49154  gpg3kgrtriexlem6  49155  gpg3kgrtriex  49156  blennnt2  49670