Theorem nnmulcld 12284

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12252	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   · cmul 11100  ℕcn 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-addass 11160  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12229

This theorem is referenced by:  nnadddir  12287  bcm1k  14347  bcp1n  14348  permnn  14358  trireciplem  15912  efaddlem  16142  eftlub  16160  eirrlem  16255  modmulconst  16341  isprm5  16761  crth  16832  phimullem  16833  pcqmul  16908  pcaddlem  16943  pcbc  16955  oddprmdvds  16958  pockthlem  16960  pockthg  16961  vdwlem3  17038  vdwlem6  17041  vdwlem9  17044  torsubg  19919  ablfacrp  20133  dgrcolem1  26430  aalioulem5  26499  aaliou3lem2  26506  log2cnv  27109  log2tlbnd  27110  log2ublem2  27112  log2ub  27114  lgamgulmlem4  27196  wilthlem2  27233  ftalem7  27243  basellem5  27249  mumul  27345  fsumfldivdiaglem  27353  mpodvdsmulf1o  27358  dvdsmulf1o  27360  sgmmul  27365  chtublem  27375  bcmono  27441  bposlem3  27450  bposlem5  27452  gausslemma2dlem1a  27529  lgsquadlem2  27545  lgsquadlem3  27546  lgsquad2lem2  27549  2sqlem6  27587  2sqmod  27600  rplogsumlem1  27648  rplogsumlem2  27649  dchrisum0fmul  27670  vmalogdivsum2  27702  pntrsumbnd2  27731  pntpbnd1  27750  pntpbnd2  27751  ostth2lem2  27798  zringfrac  33844  fldext2rspun  34072  oddpwdc  34744  eulerpartlemgh  34768  subfaclim  35680  bcprod  36230  faclim2  36240  nnproddivdvdsd  42767  lcmineqlem14  42809  lcmineqlem15  42810  lcmineqlem16  42811  lcmineqlem19  42814  lcmineqlem20  42815  lcmineqlem22  42817  aks4d1p3  42845  aks6d1c1p5  42879  aks6d1c1  42883  aks6d1c2p1  42885  aks6d1c2p2  42886  flt4lem5  43382  flt4lem5e  43388  flt4lem5f  43389  jm2.27c  43734  relexpmulnn  44435  mccllem  46313  limsup10exlem  46486  wallispilem5  46783  wallispi2lem1  46785  wallispi2  46787  stirlinglem3  46790  stirlinglem8  46795  stirlinglem15  46802  dirkertrigeqlem3  46814  hoicvrrex  47270  deccarry  48048  fmtnoprmfac2  48319  sfprmdvdsmersenne  48355  lighneallem3  48359  proththdlem  48365  fppr2odd  48496  gpg3kgrtriexlem2  48849  gpg3kgrtriexlem5  48852  gpg3kgrtriexlem6  48853  gpg3kgrtriex  48854  blennnt2  49369