Theorem nnmulcld 12178

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   · cmul 11011  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-addass 11071  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  bcm1k  14222  bcp1n  14223  permnn  14233  trireciplem  15769  efaddlem  16000  eftlub  16018  eirrlem  16113  modmulconst  16199  isprm5  16618  crth  16689  phimullem  16690  pcqmul  16765  pcaddlem  16800  pcbc  16812  oddprmdvds  16815  pockthlem  16817  pockthg  16818  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901  torsubg  19766  ablfacrp  19980  dgrcolem1  26206  aalioulem5  26271  aaliou3lem2  26278  log2cnv  26881  log2tlbnd  26882  log2ublem2  26884  log2ub  26886  lgamgulmlem4  26969  wilthlem2  27006  ftalem7  27016  basellem5  27022  mumul  27118  fsumfldivdiaglem  27126  mpodvdsmulf1o  27131  dvdsmulf1o  27133  sgmmul  27139  chtublem  27149  bcmono  27215  bposlem3  27224  bposlem5  27226  gausslemma2dlem1a  27303  lgsquadlem2  27319  lgsquadlem3  27320  lgsquad2lem2  27323  2sqlem6  27361  2sqmod  27374  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  dchrisum0fmul  27444  vmalogdivsum2  27476  pntrsumbnd2  27505  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  ostth2lem2  27572  zringfrac  33519  fldext2rspun  33695  oddpwdc  34367  eulerpartlemgh  34391  subfaclim  35232  bcprod  35782  faclim2  35792  nnproddivdvdsd  42041  lcmineqlem14  42083  lcmineqlem15  42084  lcmineqlem16  42085  lcmineqlem19  42088  lcmineqlem20  42089  lcmineqlem22  42091  aks4d1p3  42119  aks6d1c1p5  42153  aks6d1c1  42157  aks6d1c2p1  42159  aks6d1c2p2  42160  nnadddir  42311  flt4lem5  42691  flt4lem5e  42697  flt4lem5f  42698  jm2.27c  43048  relexpmulnn  43750  mccllem  45645  limsup10exlem  45818  wallispilem5  46115  wallispi2lem1  46117  wallispi2  46119  stirlinglem3  46122  stirlinglem8  46127  stirlinglem15  46134  dirkertrigeqlem3  46146  hoicvrrex  46602  deccarry  47350  fmtnoprmfac2  47606  sfprmdvdsmersenne  47642  lighneallem3  47646  proththdlem  47652  fppr2odd  47770  gpg3kgrtriexlem2  48123  gpg3kgrtriexlem5  48126  gpg3kgrtriexlem6  48127  gpg3kgrtriex  48128  blennnt2  48629