Theorem nnmulcld 12266

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396   · cmul 11078  ℕcn 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-addass 11138  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211

This theorem is referenced by:  nnadddir  12269  bcm1k  14328  bcp1n  14329  permnn  14339  trireciplem  15892  efaddlem  16123  eftlub  16141  eirrlem  16236  modmulconst  16322  isprm5  16742  crth  16813  phimullem  16814  pcqmul  16889  pcaddlem  16924  pcbc  16936  oddprmdvds  16939  pockthlem  16941  pockthg  16942  vdwlem3  17019  vdwlem6  17022  vdwlem9  17025  torsubg  19894  ablfacrp  20108  dgrcolem1  26330  aalioulem5  26397  aaliou3lem2  26404  log2cnv  27006  log2tlbnd  27007  log2ublem2  27009  log2ub  27011  lgamgulmlem4  27093  wilthlem2  27130  ftalem7  27140  basellem5  27146  mumul  27242  fsumfldivdiaglem  27250  mpodvdsmulf1o  27255  dvdsmulf1o  27257  sgmmul  27262  chtublem  27272  bcmono  27338  bposlem3  27347  bposlem5  27349  gausslemma2dlem1a  27426  lgsquadlem2  27442  lgsquadlem3  27443  lgsquad2lem2  27446  2sqlem6  27484  2sqmod  27497  rplogsumlem1  27545  rplogsumlem2  27546  dchrisum0fmul  27567  vmalogdivsum2  27599  pntrsumbnd2  27628  pntpbnd1  27647  pntpbnd2  27648  ostth2lem2  27695  zringfrac  33747  fldext2rspun  33976  oddpwdc  34648  eulerpartlemgh  34672  subfaclim  35535  bcprod  36085  faclim2  36095  nnproddivdvdsd  42614  lcmineqlem14  42656  lcmineqlem15  42657  lcmineqlem16  42658  lcmineqlem19  42661  lcmineqlem20  42662  lcmineqlem22  42664  aks4d1p3  42692  aks6d1c1p5  42726  aks6d1c1  42730  aks6d1c2p1  42732  aks6d1c2p2  42733  flt4lem5  43229  flt4lem5e  43235  flt4lem5f  43236  jm2.27c  43581  relexpmulnn  44282  mccllem  46170  limsup10exlem  46343  wallispilem5  46640  wallispi2lem1  46642  wallispi2  46644  stirlinglem3  46647  stirlinglem8  46652  stirlinglem15  46659  dirkertrigeqlem3  46671  hoicvrrex  47127  deccarry  47902  fmtnoprmfac2  48173  sfprmdvdsmersenne  48209  lighneallem3  48213  proththdlem  48219  fppr2odd  48350  gpg3kgrtriexlem2  48703  gpg3kgrtriexlem5  48706  gpg3kgrtriexlem6  48707  gpg3kgrtriex  48708  blennnt2  49208