Theorem nnmulcld 12215

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362   · cmul 11065  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-addass 11125  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  bcm1k  14225  bcp1n  14226  permnn  14236  trireciplem  15758  efaddlem  15986  eftlub  16002  eirrlem  16097  modmulconst  16181  isprm5  16594  crth  16661  phimullem  16662  pcqmul  16736  pcaddlem  16771  pcbc  16783  oddprmdvds  16786  pockthlem  16788  pockthg  16789  vdwlem3  16866  vdwlem6  16869  vdwlem9  16872  torsubg  19646  ablfacrp  19859  dgrcolem1  25671  aalioulem5  25733  aaliou3lem2  25740  log2cnv  26331  log2tlbnd  26332  log2ublem2  26334  log2ub  26336  lgamgulmlem4  26418  wilthlem2  26455  ftalem7  26465  basellem5  26471  mumul  26567  fsumfldivdiaglem  26575  dvdsmulf1o  26580  sgmmul  26586  chtublem  26596  bcmono  26662  bposlem3  26671  bposlem5  26673  gausslemma2dlem1a  26750  lgsquadlem2  26766  lgsquadlem3  26767  lgsquad2lem2  26770  2sqlem6  26808  2sqmod  26821  rplogsumlem1  26869  rplogsumlem2  26870  dchrisum0fmul  26891  vmalogdivsum2  26923  pntrsumbnd2  26952  pntpbnd1  26971  pntpbnd2  26972  ostth2lem2  27019  oddpwdc  33043  eulerpartlemgh  33067  subfaclim  33869  bcprod  34397  faclim2  34407  nnproddivdvdsd  40531  lcmineqlem14  40572  lcmineqlem15  40573  lcmineqlem16  40574  lcmineqlem19  40577  lcmineqlem20  40578  lcmineqlem22  40580  aks4d1p3  40608  aks6d1c2p1  40621  aks6d1c2p2  40622  nnadddir  40844  flt4lem5  41046  flt4lem5e  41052  flt4lem5f  41053  jm2.27c  41389  relexpmulnn  42103  mccllem  43958  limsup10exlem  44133  wallispilem5  44430  wallispi2lem1  44432  wallispi2  44434  stirlinglem3  44437  stirlinglem8  44442  stirlinglem15  44449  dirkertrigeqlem3  44461  hoicvrrex  44917  deccarry  45663  fmtnoprmfac2  45879  sfprmdvdsmersenne  45915  lighneallem3  45919  proththdlem  45925  fppr2odd  46043  blennnt2  46795