Theorem nnmulcld 12181

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12152	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349   · cmul 11014  ℕcn 12128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-addass 11074  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129

This theorem is referenced by:  bcm1k  14222  bcp1n  14223  permnn  14233  trireciplem  15769  efaddlem  16000  eftlub  16018  eirrlem  16113  modmulconst  16199  isprm5  16618  crth  16689  phimullem  16690  pcqmul  16765  pcaddlem  16800  pcbc  16812  oddprmdvds  16815  pockthlem  16817  pockthg  16818  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901  torsubg  19733  ablfacrp  19947  dgrcolem1  26177  aalioulem5  26242  aaliou3lem2  26249  log2cnv  26852  log2tlbnd  26853  log2ublem2  26855  log2ub  26857  lgamgulmlem4  26940  wilthlem2  26977  ftalem7  26987  basellem5  26993  mumul  27089  fsumfldivdiaglem  27097  mpodvdsmulf1o  27102  dvdsmulf1o  27104  sgmmul  27110  chtublem  27120  bcmono  27186  bposlem3  27195  bposlem5  27197  gausslemma2dlem1a  27274  lgsquadlem2  27290  lgsquadlem3  27291  lgsquad2lem2  27294  2sqlem6  27332  2sqmod  27345  rplogsumlem1  27393  rplogsumlem2  27394  dchrisum0fmul  27415  vmalogdivsum2  27447  pntrsumbnd2  27476  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  ostth2lem2  27543  zringfrac  33491  fldext2rspun  33649  oddpwdc  34322  eulerpartlemgh  34346  subfaclim  35161  bcprod  35711  faclim2  35721  nnproddivdvdsd  41973  lcmineqlem14  42015  lcmineqlem15  42016  lcmineqlem16  42017  lcmineqlem19  42020  lcmineqlem20  42021  lcmineqlem22  42023  aks4d1p3  42051  aks6d1c1p5  42085  aks6d1c1  42089  aks6d1c2p1  42091  aks6d1c2p2  42092  nnadddir  42243  flt4lem5  42623  flt4lem5e  42629  flt4lem5f  42630  jm2.27c  42980  relexpmulnn  43682  mccllem  45578  limsup10exlem  45753  wallispilem5  46050  wallispi2lem1  46052  wallispi2  46054  stirlinglem3  46057  stirlinglem8  46062  stirlinglem15  46069  dirkertrigeqlem3  46081  hoicvrrex  46537  deccarry  47295  fmtnoprmfac2  47551  sfprmdvdsmersenne  47587  lighneallem3  47591  proththdlem  47597  fppr2odd  47715  gpg3kgrtriexlem2  48068  gpg3kgrtriexlem5  48071  gpg3kgrtriexlem6  48072  gpg3kgrtriex  48073  blennnt2  48574