Theorem nnmulcld 12346

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12317	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448   · cmul 11189  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  bcm1k  14364  bcp1n  14365  permnn  14375  trireciplem  15910  efaddlem  16141  eftlub  16157  eirrlem  16252  modmulconst  16336  isprm5  16754  crth  16825  phimullem  16826  pcqmul  16900  pcaddlem  16935  pcbc  16947  oddprmdvds  16950  pockthlem  16952  pockthg  16953  vdwlem3  17030  vdwlem6  17033  vdwlem9  17036  torsubg  19896  ablfacrp  20110  dgrcolem1  26333  aalioulem5  26396  aaliou3lem2  26403  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ublem2  27008  log2ub  27010  lgamgulmlem4  27093  wilthlem2  27130  ftalem7  27140  basellem5  27146  mumul  27242  fsumfldivdiaglem  27250  mpodvdsmulf1o  27255  dvdsmulf1o  27257  sgmmul  27263  chtublem  27273  bcmono  27339  bposlem3  27348  bposlem5  27350  gausslemma2dlem1a  27427  lgsquadlem2  27443  lgsquadlem3  27444  lgsquad2lem2  27447  2sqlem6  27485  2sqmod  27498  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  dchrisum0fmul  27568  vmalogdivsum2  27600  pntrsumbnd2  27629  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  ostth2lem2  27696  zringfrac  33547  oddpwdc  34319  eulerpartlemgh  34343  subfaclim  35156  bcprod  35700  faclim2  35710  nnproddivdvdsd  41957  lcmineqlem14  41999  lcmineqlem15  42000  lcmineqlem16  42001  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  lcmineqlem22  42007  aks4d1p3  42035  aks6d1c1p5  42069  aks6d1c1  42073  aks6d1c2p1  42075  aks6d1c2p2  42076  nnadddir  42259  flt4lem5  42605  flt4lem5e  42611  flt4lem5f  42612  jm2.27c  42964  relexpmulnn  43671  mccllem  45518  limsup10exlem  45693  wallispilem5  45990  wallispi2lem1  45992  wallispi2  45994  stirlinglem3  45997  stirlinglem8  46002  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem3  46021  hoicvrrex  46477  deccarry  47226  fmtnoprmfac2  47441  sfprmdvdsmersenne  47477  lighneallem3  47481  proththdlem  47487  fppr2odd  47605  blennnt2  48323