Theorem nnmulcld 12221

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12189	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356   · cmul 11034  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-addass 11094  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  nnadddir  12224  bcm1k  14268  bcp1n  14269  permnn  14279  trireciplem  15818  efaddlem  16049  eftlub  16067  eirrlem  16162  modmulconst  16248  isprm5  16668  crth  16739  phimullem  16740  pcqmul  16815  pcaddlem  16850  pcbc  16862  oddprmdvds  16865  pockthlem  16867  pockthg  16868  vdwlem3  16945  vdwlem6  16948  vdwlem9  16951  torsubg  19820  ablfacrp  20034  dgrcolem1  26256  aalioulem5  26320  aaliou3lem2  26327  log2cnv  26926  log2tlbnd  26927  log2ublem2  26929  log2ub  26931  lgamgulmlem4  27013  wilthlem2  27050  ftalem7  27060  basellem5  27066  mumul  27162  fsumfldivdiaglem  27170  mpodvdsmulf1o  27175  dvdsmulf1o  27177  sgmmul  27182  chtublem  27192  bcmono  27258  bposlem3  27267  bposlem5  27269  gausslemma2dlem1a  27346  lgsquadlem2  27362  lgsquadlem3  27363  lgsquad2lem2  27366  2sqlem6  27404  2sqmod  27417  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  dchrisum0fmul  27487  vmalogdivsum2  27519  pntrsumbnd2  27548  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  ostth2lem2  27615  zringfrac  33637  fldext2rspun  33866  oddpwdc  34538  eulerpartlemgh  34562  subfaclim  35416  bcprod  35966  faclim2  35976  nnproddivdvdsd  42485  lcmineqlem14  42527  lcmineqlem15  42528  lcmineqlem16  42529  lcmineqlem19  42532  lcmineqlem20  42533  lcmineqlem22  42535  aks4d1p3  42563  aks6d1c1p5  42597  aks6d1c1  42601  aks6d1c2p1  42603  aks6d1c2p2  42604  flt4lem5  43100  flt4lem5e  43106  flt4lem5f  43107  jm2.27c  43452  relexpmulnn  44153  mccllem  46042  limsup10exlem  46215  wallispilem5  46512  wallispi2lem1  46514  wallispi2  46516  stirlinglem3  46519  stirlinglem8  46524  stirlinglem15  46531  dirkertrigeqlem3  46543  hoicvrrex  46999  deccarry  47774  fmtnoprmfac2  48045  sfprmdvdsmersenne  48081  lighneallem3  48085  proththdlem  48091  fppr2odd  48222  gpg3kgrtriexlem2  48575  gpg3kgrtriexlem5  48578  gpg3kgrtriexlem6  48579  gpg3kgrtriex  48580  blennnt2  49080