Theorem nnmulcld 12026

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271   · cmul 10877  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-addass 10937  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  bcm1k  14027  bcp1n  14028  permnn  14038  trireciplem  15572  efaddlem  15800  eftlub  15816  eirrlem  15911  modmulconst  15995  isprm5  16410  crth  16477  phimullem  16478  pcqmul  16552  pcaddlem  16587  pcbc  16599  oddprmdvds  16602  pockthlem  16604  pockthg  16605  vdwlem3  16682  vdwlem6  16685  vdwlem9  16688  torsubg  19453  ablfacrp  19667  dgrcolem1  25432  aalioulem5  25494  aaliou3lem2  25501  log2cnv  26092  log2tlbnd  26093  log2ublem2  26095  log2ub  26097  lgamgulmlem4  26179  wilthlem2  26216  ftalem7  26226  basellem5  26232  mumul  26328  fsumfldivdiaglem  26336  dvdsmulf1o  26341  sgmmul  26347  chtublem  26357  bcmono  26423  bposlem3  26432  bposlem5  26434  gausslemma2dlem1a  26511  lgsquadlem2  26527  lgsquadlem3  26528  lgsquad2lem2  26531  2sqlem6  26569  2sqmod  26582  rplogsumlem1  26630  rplogsumlem2  26631  dchrisum0fmul  26652  vmalogdivsum2  26684  pntrsumbnd2  26713  pntpbnd1  26732  pntpbnd2  26733  ostth2lem2  26780  oddpwdc  32317  eulerpartlemgh  32341  subfaclim  33146  bcprod  33700  faclim2  33710  nnproddivdvdsd  40006  lcmineqlem14  40047  lcmineqlem15  40048  lcmineqlem16  40049  lcmineqlem19  40052  lcmineqlem20  40053  lcmineqlem22  40055  aks4d1p3  40083  nnadddir  40297  flt4lem5  40484  flt4lem5e  40490  flt4lem5f  40491  jm2.27c  40826  relexpmulnn  41287  mccllem  43109  limsup10exlem  43284  wallispilem5  43581  wallispi2lem1  43583  wallispi2  43585  stirlinglem3  43588  stirlinglem8  43593  stirlinglem15  43600  dirkertrigeqlem3  43612  hoicvrrex  44065  deccarry  44772  fmtnoprmfac2  44988  sfprmdvdsmersenne  45024  lighneallem3  45028  proththdlem  45034  fppr2odd  45152  blennnt2  45904