Theorem nnmulcld 12298

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12269	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410   · cmul 11139  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-addass 11199  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  bcm1k  14338  bcp1n  14339  permnn  14349  trireciplem  15883  efaddlem  16114  eftlub  16132  eirrlem  16227  modmulconst  16312  isprm5  16731  crth  16802  phimullem  16803  pcqmul  16878  pcaddlem  16913  pcbc  16925  oddprmdvds  16928  pockthlem  16930  pockthg  16931  vdwlem3  17008  vdwlem6  17011  vdwlem9  17014  torsubg  19840  ablfacrp  20054  dgrcolem1  26236  aalioulem5  26301  aaliou3lem2  26308  log2cnv  26911  log2tlbnd  26912  log2ublem2  26914  log2ub  26916  lgamgulmlem4  26999  wilthlem2  27036  ftalem7  27046  basellem5  27052  mumul  27148  fsumfldivdiaglem  27156  mpodvdsmulf1o  27161  dvdsmulf1o  27163  sgmmul  27169  chtublem  27179  bcmono  27245  bposlem3  27254  bposlem5  27256  gausslemma2dlem1a  27333  lgsquadlem2  27349  lgsquadlem3  27350  lgsquad2lem2  27353  2sqlem6  27391  2sqmod  27404  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  dchrisum0fmul  27474  vmalogdivsum2  27506  pntrsumbnd2  27535  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  ostth2lem2  27602  zringfrac  33574  fldext2rspun  33728  oddpwdc  34391  eulerpartlemgh  34415  subfaclim  35215  bcprod  35760  faclim2  35770  nnproddivdvdsd  42018  lcmineqlem14  42060  lcmineqlem15  42061  lcmineqlem16  42062  lcmineqlem19  42065  lcmineqlem20  42066  lcmineqlem22  42068  aks4d1p3  42096  aks6d1c1p5  42130  aks6d1c1  42134  aks6d1c2p1  42136  aks6d1c2p2  42137  nnadddir  42288  flt4lem5  42648  flt4lem5e  42654  flt4lem5f  42655  jm2.27c  43006  relexpmulnn  43708  mccllem  45606  limsup10exlem  45781  wallispilem5  46078  wallispi2lem1  46080  wallispi2  46082  stirlinglem3  46085  stirlinglem8  46090  stirlinglem15  46097  dirkertrigeqlem3  46109  hoicvrrex  46565  deccarry  47320  fmtnoprmfac2  47561  sfprmdvdsmersenne  47597  lighneallem3  47601  proththdlem  47607  fppr2odd  47725  gpg3kgrtriexlem2  48066  gpg3kgrtriexlem5  48069  gpg3kgrtriexlem6  48070  gpg3kgrtriex  48071  blennnt2  48549