Theorem nnmulcld 12026

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11997	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275   · cmul 10876  ℕcn 11973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-addass 10936  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974

This theorem is referenced by:  bcm1k  14029  bcp1n  14030  permnn  14040  trireciplem  15574  efaddlem  15802  eftlub  15818  eirrlem  15913  modmulconst  15997  isprm5  16412  crth  16479  phimullem  16480  pcqmul  16554  pcaddlem  16589  pcbc  16601  oddprmdvds  16604  pockthlem  16606  pockthg  16607  vdwlem3  16684  vdwlem6  16687  vdwlem9  16690  torsubg  19455  ablfacrp  19669  dgrcolem1  25434  aalioulem5  25496  aaliou3lem2  25503  log2cnv  26094  log2tlbnd  26095  log2ublem2  26097  log2ub  26099  lgamgulmlem4  26181  wilthlem2  26218  ftalem7  26228  basellem5  26234  mumul  26330  fsumfldivdiaglem  26338  dvdsmulf1o  26343  sgmmul  26349  chtublem  26359  bcmono  26425  bposlem3  26434  bposlem5  26436  gausslemma2dlem1a  26513  lgsquadlem2  26529  lgsquadlem3  26530  lgsquad2lem2  26533  2sqlem6  26571  2sqmod  26584  rplogsumlem1  26632  rplogsumlem2  26633  dchrisum0fmul  26654  vmalogdivsum2  26686  pntrsumbnd2  26715  pntpbnd1  26734  pntpbnd2  26735  ostth2lem2  26782  oddpwdc  32321  eulerpartlemgh  32345  subfaclim  33150  bcprod  33704  faclim2  33714  nnproddivdvdsd  40009  lcmineqlem14  40050  lcmineqlem15  40051  lcmineqlem16  40052  lcmineqlem19  40055  lcmineqlem20  40056  lcmineqlem22  40058  aks4d1p3  40086  nnadddir  40300  flt4lem5  40487  flt4lem5e  40493  flt4lem5f  40494  jm2.27c  40829  relexpmulnn  41317  mccllem  43138  limsup10exlem  43313  wallispilem5  43610  wallispi2lem1  43612  wallispi2  43614  stirlinglem3  43617  stirlinglem8  43622  stirlinglem15  43629  dirkertrigeqlem3  43641  hoicvrrex  44094  deccarry  44803  fmtnoprmfac2  45019  sfprmdvdsmersenne  45055  lighneallem3  45059  proththdlem  45065  fppr2odd  45183  blennnt2  45935