Theorem nnmulcld 12239

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   · cmul 11073  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-addass 11133  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  bcm1k  14280  bcp1n  14281  permnn  14291  trireciplem  15828  efaddlem  16059  eftlub  16077  eirrlem  16172  modmulconst  16258  isprm5  16677  crth  16748  phimullem  16749  pcqmul  16824  pcaddlem  16859  pcbc  16871  oddprmdvds  16874  pockthlem  16876  pockthg  16877  vdwlem3  16954  vdwlem6  16957  vdwlem9  16960  torsubg  19784  ablfacrp  19998  dgrcolem1  26179  aalioulem5  26244  aaliou3lem2  26251  log2cnv  26854  log2tlbnd  26855  log2ublem2  26857  log2ub  26859  lgamgulmlem4  26942  wilthlem2  26979  ftalem7  26989  basellem5  26995  mumul  27091  fsumfldivdiaglem  27099  mpodvdsmulf1o  27104  dvdsmulf1o  27106  sgmmul  27112  chtublem  27122  bcmono  27188  bposlem3  27197  bposlem5  27199  gausslemma2dlem1a  27276  lgsquadlem2  27292  lgsquadlem3  27293  lgsquad2lem2  27296  2sqlem6  27334  2sqmod  27347  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  dchrisum0fmul  27417  vmalogdivsum2  27449  pntrsumbnd2  27478  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  ostth2lem2  27545  zringfrac  33525  fldext2rspun  33677  oddpwdc  34345  eulerpartlemgh  34369  subfaclim  35175  bcprod  35725  faclim2  35735  nnproddivdvdsd  41988  lcmineqlem14  42030  lcmineqlem15  42031  lcmineqlem16  42032  lcmineqlem19  42035  lcmineqlem20  42036  lcmineqlem22  42038  aks4d1p3  42066  aks6d1c1p5  42100  aks6d1c1  42104  aks6d1c2p1  42106  aks6d1c2p2  42107  nnadddir  42258  flt4lem5  42638  flt4lem5e  42644  flt4lem5f  42645  jm2.27c  42996  relexpmulnn  43698  mccllem  45595  limsup10exlem  45770  wallispilem5  46067  wallispi2lem1  46069  wallispi2  46071  stirlinglem3  46074  stirlinglem8  46079  stirlinglem15  46086  dirkertrigeqlem3  46098  hoicvrrex  46554  deccarry  47312  fmtnoprmfac2  47568  sfprmdvdsmersenne  47604  lighneallem3  47608  proththdlem  47614  fppr2odd  47732  gpg3kgrtriexlem2  48075  gpg3kgrtriexlem5  48078  gpg3kgrtriexlem6  48079  gpg3kgrtriex  48080  blennnt2  48578