Theorem nnmulcld 12215

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12186	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369   · cmul 11049  ℕcn 12162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-addass 11109  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163

This theorem is referenced by:  bcm1k  14256  bcp1n  14257  permnn  14267  trireciplem  15804  efaddlem  16035  eftlub  16053  eirrlem  16148  modmulconst  16234  isprm5  16653  crth  16724  phimullem  16725  pcqmul  16800  pcaddlem  16835  pcbc  16847  oddprmdvds  16850  pockthlem  16852  pockthg  16853  vdwlem3  16930  vdwlem6  16933  vdwlem9  16936  torsubg  19768  ablfacrp  19982  dgrcolem1  26212  aalioulem5  26277  aaliou3lem2  26284  log2cnv  26887  log2tlbnd  26888  log2ublem2  26890  log2ub  26892  lgamgulmlem4  26975  wilthlem2  27012  ftalem7  27022  basellem5  27028  mumul  27124  fsumfldivdiaglem  27132  mpodvdsmulf1o  27137  dvdsmulf1o  27139  sgmmul  27145  chtublem  27155  bcmono  27221  bposlem3  27230  bposlem5  27232  gausslemma2dlem1a  27309  lgsquadlem2  27325  lgsquadlem3  27326  lgsquad2lem2  27329  2sqlem6  27367  2sqmod  27380  rplogsumlem1  27428  rplogsumlem2  27429  dchrisum0fmul  27450  vmalogdivsum2  27482  pntrsumbnd2  27511  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  ostth2lem2  27578  zringfrac  33518  fldext2rspun  33670  oddpwdc  34338  eulerpartlemgh  34362  subfaclim  35168  bcprod  35718  faclim2  35728  nnproddivdvdsd  41981  lcmineqlem14  42023  lcmineqlem15  42024  lcmineqlem16  42025  lcmineqlem19  42028  lcmineqlem20  42029  lcmineqlem22  42031  aks4d1p3  42059  aks6d1c1p5  42093  aks6d1c1  42097  aks6d1c2p1  42099  aks6d1c2p2  42100  nnadddir  42251  flt4lem5  42631  flt4lem5e  42637  flt4lem5f  42638  jm2.27c  42989  relexpmulnn  43691  mccllem  45588  limsup10exlem  45763  wallispilem5  46060  wallispi2lem1  46062  wallispi2  46064  stirlinglem3  46067  stirlinglem8  46072  stirlinglem15  46079  dirkertrigeqlem3  46091  hoicvrrex  46547  deccarry  47305  fmtnoprmfac2  47561  sfprmdvdsmersenne  47597  lighneallem3  47601  proththdlem  47607  fppr2odd  47725  gpg3kgrtriexlem2  48068  gpg3kgrtriexlem5  48071  gpg3kgrtriexlem6  48072  gpg3kgrtriex  48073  blennnt2  48571