Theorem nnmulcld 12293

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410   · cmul 11109  ℕcn 12237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-addass 11169  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12238

This theorem is used by:  nnadddir  12296  bcm1k  14356  bcp1n  14357  permnn  14367  trireciplem  15921  efaddlem  16151  eftlub  16169  eirrlem  16264  modmulconst  16350  isprm5  16770  crth  16841  phimullem  16842  pcqmul  16917  pcaddlem  16952  pcbc  16964  oddprmdvds  16967  pockthlem  16969  pockthg  16970  vdwlem3  17047  vdwlem6  17050  vdwlem9  17053  torsubg  19928  ablfacrp  20142  dgrcolem1  26439  aalioulem5  26508  aaliou3lem2  26515  log2cnv  27118  log2tlbnd  27119  log2ublem2  27121  log2ub  27123  lgamgulmlem4  27205  wilthlem2  27242  ftalem7  27252  basellem5  27258  mumul  27354  fsumfldivdiaglem  27362  mpodvdsmulf1o  27367  dvdsmulf1o  27369  sgmmul  27374  chtublem  27384  bcmono  27450  bposlem3  27459  bposlem5  27461  gausslemma2dlem1a  27538  lgsquadlem2  27554  lgsquadlem3  27555  lgsquad2lem2  27558  2sqlem6  27596  2sqmod  27609  rplogsumlem1  27657  rplogsumlem2  27658  dchrisum0fmul  27679  vmalogdivsum2  27711  pntrsumbnd2  27740  pntpbnd1  27759  pntpbnd2  27760  ostth2lem2  27807  zringfrac  33853  fldext2rspun  34081  oddpwdc  34753  eulerpartlemgh  34777  subfaclim  35688  bcprod  36238  faclim2  36248  nnproddivdvdsd  42795  lcmineqlem14  42837  lcmineqlem15  42838  lcmineqlem16  42839  lcmineqlem19  42842  lcmineqlem20  42843  lcmineqlem22  42845  aks4d1p3  42873  aks6d1c1p5  42907  aks6d1c1  42911  aks6d1c2p1  42913  aks6d1c2p2  42914  flt4lem5  43410  flt4lem5e  43416  flt4lem5f  43417  jm2.27c  43762  relexpmulnn  44463  mccllem  46341  limsup10exlem  46514  wallispilem5  46811  wallispi2lem1  46813  wallispi2  46815  stirlinglem3  46818  stirlinglem8  46823  stirlinglem15  46830  dirkertrigeqlem3  46842  hoicvrrex  47298  deccarry  48076  fmtnoprmfac2  48347  sfprmdvdsmersenne  48383  lighneallem3  48387  proththdlem  48393  fppr2odd  48524  gpg3kgrtriexlem2  48877  gpg3kgrtriexlem5  48880  gpg3kgrtriexlem6  48881  gpg3kgrtriex  48882  blennnt2  49397