Theorem nnmulcld 12210

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368   · cmul 11043  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  bcm1k  14250  bcp1n  14251  permnn  14261  trireciplem  15797  efaddlem  16028  eftlub  16046  eirrlem  16141  modmulconst  16227  isprm5  16646  crth  16717  phimullem  16718  pcqmul  16793  pcaddlem  16828  pcbc  16840  oddprmdvds  16843  pockthlem  16845  pockthg  16846  vdwlem3  16923  vdwlem6  16926  vdwlem9  16929  torsubg  19795  ablfacrp  20009  dgrcolem1  26247  aalioulem5  26312  aaliou3lem2  26319  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  log2ublem2  26925  log2ub  26927  lgamgulmlem4  27010  wilthlem2  27047  ftalem7  27057  basellem5  27063  mumul  27159  fsumfldivdiaglem  27167  mpodvdsmulf1o  27172  dvdsmulf1o  27174  sgmmul  27180  chtublem  27190  bcmono  27256  bposlem3  27265  bposlem5  27267  gausslemma2dlem1a  27344  lgsquadlem2  27360  lgsquadlem3  27361  lgsquad2lem2  27364  2sqlem6  27402  2sqmod  27415  rplogsumlem1  27463  rplogsumlem2  27464  dchrisum0fmul  27485  vmalogdivsum2  27517  pntrsumbnd2  27546  pntpbnd1  27565  pntpbnd2  27566  ostth2lem2  27613  zringfrac  33647  fldext2rspun  33860  oddpwdc  34532  eulerpartlemgh  34556  subfaclim  35404  bcprod  35954  faclim2  35964  nnproddivdvdsd  42370  lcmineqlem14  42412  lcmineqlem15  42413  lcmineqlem16  42414  lcmineqlem19  42417  lcmineqlem20  42418  lcmineqlem22  42420  aks4d1p3  42448  aks6d1c1p5  42482  aks6d1c1  42486  aks6d1c2p1  42488  aks6d1c2p2  42489  nnadddir  42640  flt4lem5  43008  flt4lem5e  43014  flt4lem5f  43015  jm2.27c  43364  relexpmulnn  44065  mccllem  45957  limsup10exlem  46130  wallispilem5  46427  wallispi2lem1  46429  wallispi2  46431  stirlinglem3  46434  stirlinglem8  46439  stirlinglem15  46446  dirkertrigeqlem3  46458  hoicvrrex  46914  deccarry  47671  fmtnoprmfac2  47927  sfprmdvdsmersenne  47963  lighneallem3  47967  proththdlem  47973  fppr2odd  48091  gpg3kgrtriexlem2  48444  gpg3kgrtriexlem5  48447  gpg3kgrtriexlem6  48448  gpg3kgrtriex  48449  blennnt2  48949