Theorem nnmulcld 12224

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361   · cmul 11037  ℕcn 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-addass 11097  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12169

This theorem is referenced by:  nnadddir  12227  bcm1k  14271  bcp1n  14272  permnn  14282  trireciplem  15821  efaddlem  16052  eftlub  16070  eirrlem  16165  modmulconst  16251  isprm5  16671  crth  16742  phimullem  16743  pcqmul  16818  pcaddlem  16853  pcbc  16865  oddprmdvds  16868  pockthlem  16870  pockthg  16871  vdwlem3  16948  vdwlem6  16951  vdwlem9  16954  torsubg  19823  ablfacrp  20037  dgrcolem1  26251  aalioulem5  26316  aaliou3lem2  26323  log2cnv  26924  log2tlbnd  26925  log2ublem2  26927  log2ub  26929  lgamgulmlem4  27012  wilthlem2  27049  ftalem7  27059  basellem5  27065  mumul  27161  fsumfldivdiaglem  27169  mpodvdsmulf1o  27174  dvdsmulf1o  27176  sgmmul  27181  chtublem  27191  bcmono  27257  bposlem3  27266  bposlem5  27268  gausslemma2dlem1a  27345  lgsquadlem2  27361  lgsquadlem3  27362  lgsquad2lem2  27365  2sqlem6  27403  2sqmod  27416  rplogsumlem1  27464  rplogsumlem2  27465  dchrisum0fmul  27486  vmalogdivsum2  27518  pntrsumbnd2  27547  pntpbnd1  27566  pntpbnd2  27567  ostth2lem2  27614  zringfrac  33632  fldext2rspun  33845  oddpwdc  34517  eulerpartlemgh  34541  subfaclim  35389  bcprod  35939  faclim2  35949  nnproddivdvdsd  42456  lcmineqlem14  42498  lcmineqlem15  42499  lcmineqlem16  42500  lcmineqlem19  42503  lcmineqlem20  42504  lcmineqlem22  42506  aks4d1p3  42534  aks6d1c1p5  42568  aks6d1c1  42572  aks6d1c2p1  42574  aks6d1c2p2  42575  flt4lem5  43100  flt4lem5e  43106  flt4lem5f  43107  jm2.27c  43456  relexpmulnn  44157  mccllem  46048  limsup10exlem  46221  wallispilem5  46518  wallispi2lem1  46520  wallispi2  46522  stirlinglem3  46525  stirlinglem8  46530  stirlinglem15  46537  dirkertrigeqlem3  46549  hoicvrrex  47005  deccarry  47774  fmtnoprmfac2  48045  sfprmdvdsmersenne  48081  lighneallem3  48085  proththdlem  48091  fppr2odd  48222  gpg3kgrtriexlem2  48575  gpg3kgrtriexlem5  48578  gpg3kgrtriexlem6  48579  gpg3kgrtriex  48580  blennnt2  49080