Theorem nnmulcld 12431

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451   · cmul 11244  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-addass 11304  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376

This theorem is used by:  nnadddir  12434  bcm1k  14500  bcp1n  14501  permnn  14511  trireciplem  16075  efaddlem  16303  eftlub  16321  eirrlem  16416  modmulconst  16502  isprm5  16927  crth  16999  phimullem  17000  pcqmul  17075  pcaddlem  17110  pcbc  17122  oddprmdvds  17125  pockthlem  17127  pockthg  17128  vdwlem3  17205  vdwlem6  17208  vdwlem9  17211  torsubg  20119  ablfacrp  20333  dgrcolem1  26647  aalioulem5  26720  aaliou3lem2  26727  log2cnv  27329  log2tlbnd  27330  log2ublem2  27332  log2ub  27334  lgamgulmlem4  27416  wilthlem2  27453  ftalem7  27463  basellem5  27469  mumul  27565  fsumfldivdiaglem  27573  mpodvdsmulf1o  27578  dvdsmulf1o  27580  sgmmul  27585  chtublem  27595  bcmono  27661  bposlem3  27670  bposlem5  27672  gausslemma2dlem1a  27749  lgsquadlem2  27765  lgsquadlem3  27766  lgsquad2lem2  27769  2sqlem6  27807  2sqmod  27820  rplogsumlem1  27868  rplogsumlem2  27869  dchrisum0fmul  27890  vmalogdivsum2  27922  pntrsumbnd2  27951  pntpbnd1  27970  pntpbnd2  27971  ostth2lem2  28018  flt4lem5  28037  flt4lem5e  28043  flt4lem5f  28044  zringfrac  34189  fldext2rspun  34425  oddpwdc  35097  eulerpartlemgh  35121  subfaclim  36161  bcprod  36718  faclim2  36728  nnproddivdvdsd  43316  lcmineqlem14  43358  lcmineqlem15  43359  lcmineqlem16  43360  lcmineqlem19  43363  lcmineqlem20  43364  lcmineqlem22  43366  aks4d1p3  43394  aks6d1c1p5  43428  aks6d1c1  43432  aks6d1c2p1  43434  aks6d1c2p2  43435  jm2.27c  44280  relexpmulnn  44970  mccllem  46882  limsup10exlem  47055  wallispilem5  47352  wallispi2lem1  47354  wallispi2  47356  stirlinglem3  47359  stirlinglem8  47364  stirlinglem15  47371  dirkertrigeqlem3  47383  hoicvrrex  47839  deccarry  48654  fmtnoprmfac2  48925  sfprmdvdsmersenne  48961  lighneallem3  48965  proththdlem  48971  fppr2odd  49102  gpg3kgrtriexlem2  49455  gpg3kgrtriexlem5  49458  gpg3kgrtriexlem6  49459  gpg3kgrtriex  49460  blennnt2  50032