Theorem nnmulcld 12398

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12366	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424   · cmul 11212  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-addass 11272  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12343

This theorem is used by:  nnadddir  12401  bcm1k  14466  bcp1n  14467  permnn  14477  trireciplem  16040  efaddlem  16268  eftlub  16286  eirrlem  16381  modmulconst  16467  isprm5  16892  crth  16964  phimullem  16965  pcqmul  17040  pcaddlem  17075  pcbc  17087  oddprmdvds  17090  pockthlem  17092  pockthg  17093  vdwlem3  17170  vdwlem6  17173  vdwlem9  17176  torsubg  20077  ablfacrp  20291  dgrcolem1  26601  aalioulem5  26672  aaliou3lem2  26679  log2cnv  27281  log2tlbnd  27282  log2ublem2  27284  log2ub  27286  lgamgulmlem4  27368  wilthlem2  27405  ftalem7  27415  basellem5  27421  mumul  27517  fsumfldivdiaglem  27525  mpodvdsmulf1o  27530  dvdsmulf1o  27532  sgmmul  27537  chtublem  27547  bcmono  27613  bposlem3  27622  bposlem5  27624  gausslemma2dlem1a  27701  lgsquadlem2  27717  lgsquadlem3  27718  lgsquad2lem2  27721  2sqlem6  27759  2sqmod  27772  rplogsumlem1  27820  rplogsumlem2  27821  dchrisum0fmul  27842  vmalogdivsum2  27874  pntrsumbnd2  27903  pntpbnd1  27922  pntpbnd2  27923  ostth2lem2  27970  flt4lem5  27989  flt4lem5e  27995  flt4lem5f  27996  zringfrac  34136  fldext2rspun  34364  oddpwdc  35036  eulerpartlemgh  35060  subfaclim  36043  bcprod  36599  faclim2  36609  nnproddivdvdsd  43159  lcmineqlem14  43201  lcmineqlem15  43202  lcmineqlem16  43203  lcmineqlem19  43206  lcmineqlem20  43207  lcmineqlem22  43209  aks4d1p3  43237  aks6d1c1p5  43271  aks6d1c1  43275  aks6d1c2p1  43277  aks6d1c2p2  43278  jm2.27c  44123  relexpmulnn  44818  mccllem  46717  limsup10exlem  46890  wallispilem5  47187  wallispi2lem1  47189  wallispi2  47191  stirlinglem3  47194  stirlinglem8  47199  stirlinglem15  47206  dirkertrigeqlem3  47218  hoicvrrex  47674  deccarry  48489  fmtnoprmfac2  48760  sfprmdvdsmersenne  48796  lighneallem3  48800  proththdlem  48806  fppr2odd  48937  gpg3kgrtriexlem2  49290  gpg3kgrtriexlem5  49293  gpg3kgrtriexlem6  49294  gpg3kgrtriex  49295  blennnt2  49809