Theorem nnmulcld 12288

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411   · cmul 11104  ℕcn 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-addass 11164  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-nn 12233

This theorem is referenced by:  nnadddir  12291  bcm1k  14350  bcp1n  14351  permnn  14361  trireciplem  15915  efaddlem  16146  eftlub  16164  eirrlem  16259  modmulconst  16345  isprm5  16765  crth  16836  phimullem  16837  pcqmul  16912  pcaddlem  16947  pcbc  16959  oddprmdvds  16962  pockthlem  16964  pockthg  16965  vdwlem3  17042  vdwlem6  17045  vdwlem9  17048  torsubg  19923  ablfacrp  20137  dgrcolem1  26398  aalioulem5  26465  aaliou3lem2  26472  log2cnv  27074  log2tlbnd  27075  log2ublem2  27077  log2ub  27079  lgamgulmlem4  27161  wilthlem2  27198  ftalem7  27208  basellem5  27214  mumul  27310  fsumfldivdiaglem  27318  mpodvdsmulf1o  27323  dvdsmulf1o  27325  sgmmul  27330  chtublem  27340  bcmono  27406  bposlem3  27415  bposlem5  27417  gausslemma2dlem1a  27494  lgsquadlem2  27510  lgsquadlem3  27511  lgsquad2lem2  27514  2sqlem6  27552  2sqmod  27565  rplogsumlem1  27613  rplogsumlem2  27614  dchrisum0fmul  27635  vmalogdivsum2  27667  pntrsumbnd2  27696  pntpbnd1  27715  pntpbnd2  27716  ostth2lem2  27763  zringfrac  33788  fldext2rspun  34016  oddpwdc  34688  eulerpartlemgh  34712  subfaclim  35578  bcprod  36128  faclim2  36138  nnproddivdvdsd  42656  lcmineqlem14  42698  lcmineqlem15  42699  lcmineqlem16  42700  lcmineqlem19  42703  lcmineqlem20  42704  lcmineqlem22  42706  aks4d1p3  42734  aks6d1c1p5  42768  aks6d1c1  42772  aks6d1c2p1  42774  aks6d1c2p2  42775  flt4lem5  43273  flt4lem5e  43279  flt4lem5f  43280  jm2.27c  43625  relexpmulnn  44326  mccllem  46204  limsup10exlem  46377  wallispilem5  46674  wallispi2lem1  46676  wallispi2  46678  stirlinglem3  46681  stirlinglem8  46686  stirlinglem15  46693  dirkertrigeqlem3  46705  hoicvrrex  47161  deccarry  47936  fmtnoprmfac2  48207  sfprmdvdsmersenne  48243  lighneallem3  48247  proththdlem  48253  fppr2odd  48384  gpg3kgrtriexlem2  48737  gpg3kgrtriexlem5  48740  gpg3kgrtriexlem6  48741  gpg3kgrtriex  48742  blennnt2  49253