Theorem nnmulcld 12313

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413   · cmul 11129  ℕcn 12257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-addass 11189  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12258

This theorem is used by:  nnadddir  12316  bcm1k  14379  bcp1n  14380  permnn  14390  trireciplem  15951  efaddlem  16179  eftlub  16197  eirrlem  16292  modmulconst  16378  isprm5  16798  crth  16869  phimullem  16870  pcqmul  16945  pcaddlem  16980  pcbc  16992  oddprmdvds  16995  pockthlem  16997  pockthg  16998  vdwlem3  17075  vdwlem6  17078  vdwlem9  17081  torsubg  19981  ablfacrp  20195  dgrcolem1  26499  aalioulem5  26572  aaliou3lem2  26579  log2cnv  27181  log2tlbnd  27182  log2ublem2  27184  log2ub  27186  lgamgulmlem4  27268  wilthlem2  27305  ftalem7  27315  basellem5  27321  mumul  27417  fsumfldivdiaglem  27425  mpodvdsmulf1o  27430  dvdsmulf1o  27432  sgmmul  27437  chtublem  27447  bcmono  27513  bposlem3  27522  bposlem5  27524  gausslemma2dlem1a  27601  lgsquadlem2  27617  lgsquadlem3  27618  lgsquad2lem2  27621  2sqlem6  27659  2sqmod  27672  rplogsumlem1  27720  rplogsumlem2  27721  dchrisum0fmul  27742  vmalogdivsum2  27774  pntrsumbnd2  27803  pntpbnd1  27822  pntpbnd2  27823  ostth2lem2  27870  zringfrac  33964  fldext2rspun  34192  oddpwdc  34865  eulerpartlemgh  34889  subfaclim  35767  bcprod  36317  faclim2  36327  nnproddivdvdsd  42866  lcmineqlem14  42908  lcmineqlem15  42909  lcmineqlem16  42910  lcmineqlem19  42913  lcmineqlem20  42914  lcmineqlem22  42916  aks4d1p3  42944  aks6d1c1p5  42978  aks6d1c1  42982  aks6d1c2p1  42984  aks6d1c2p2  42985  flt4lem5  43496  flt4lem5e  43502  flt4lem5f  43503  jm2.27c  43848  relexpmulnn  44549  mccllem  46427  limsup10exlem  46600  wallispilem5  46897  wallispi2lem1  46899  wallispi2  46901  stirlinglem3  46904  stirlinglem8  46909  stirlinglem15  46916  dirkertrigeqlem3  46928  hoicvrrex  47384  deccarry  48199  fmtnoprmfac2  48470  sfprmdvdsmersenne  48506  lighneallem3  48510  proththdlem  48516  fppr2odd  48647  gpg3kgrtriexlem2  49000  gpg3kgrtriexlem5  49003  gpg3kgrtriexlem6  49004  gpg3kgrtriex  49005  blennnt2  49519