Theorem nnmulcld 11491

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 11462	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6974   · cmul 10338  ℕcn 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-addass 10398  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-nn 11438

This theorem is referenced by:  bcm1k  13488  bcp1n  13489  permnn  13499  trireciplem  15075  efaddlem  15304  eftlub  15320  eirrlem  15415  modmulconst  15499  isprm5  15905  crth  15969  phimullem  15970  pcqmul  16044  pcaddlem  16078  pcbc  16090  oddprmdvds  16093  pockthlem  16095  pockthg  16096  vdwlem3  16173  vdwlem6  16176  vdwlem9  16179  torsubg  18742  ablfacrp  18950  dgrcolem1  24578  aalioulem5  24640  aaliou3lem2  24647  log2cnv  25236  log2tlbnd  25237  log2ublem2  25239  log2ub  25241  lgamgulmlem4  25323  wilthlem2  25360  ftalem7  25370  basellem5  25376  mumul  25472  fsumfldivdiaglem  25480  dvdsmulf1o  25485  sgmmul  25491  chtublem  25501  bcmono  25567  bposlem3  25576  bposlem5  25578  gausslemma2dlem1a  25655  lgsquadlem2  25671  lgsquadlem3  25672  lgsquad2lem2  25675  2sqlem6  25713  2sqmod  25726  rplogsumlem1  25774  rplogsumlem2  25775  dchrisum0fmul  25796  vmalogdivsum2  25828  pntrsumbnd2  25857  pntpbnd1  25876  pntpbnd2  25877  ostth2lem2  25924  oddpwdc  31286  eulerpartlemgh  31310  subfaclim  32049  bcprod  32519  faclim2  32529  jm2.27c  39029  relexpmulnn  39446  mccllem  41334  limsup10exlem  41509  wallispilem5  41810  wallispi2lem1  41812  wallispi2  41814  stirlinglem3  41817  stirlinglem8  41822  stirlinglem15  41829  dirkertrigeqlem3  41841  hoicvrrex  42294  deccarry  42942  fmtnoprmfac2  43122  sfprmdvdsmersenne  43161  lighneallem3  43165  proththdlem  43171  fppr2odd  43289  blennnt2  44042