MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcld 11678
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnmulcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 nnmulcl 11649 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145   · cmul 10530  cn 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-addass 10590  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627
This theorem is referenced by:  bcm1k  13663  bcp1n  13664  permnn  13674  trireciplem  15205  efaddlem  15434  eftlub  15450  eirrlem  15545  modmulconst  15629  isprm5  16039  crth  16103  phimullem  16104  pcqmul  16178  pcaddlem  16212  pcbc  16224  oddprmdvds  16227  pockthlem  16229  pockthg  16230  vdwlem3  16307  vdwlem6  16310  vdwlem9  16313  torsubg  18903  ablfacrp  19117  dgrcolem1  24790  aalioulem5  24852  aaliou3lem2  24859  log2cnv  25449  log2tlbnd  25450  log2ublem2  25452  log2ub  25454  lgamgulmlem4  25536  wilthlem2  25573  ftalem7  25583  basellem5  25589  mumul  25685  fsumfldivdiaglem  25693  dvdsmulf1o  25698  sgmmul  25704  chtublem  25714  bcmono  25780  bposlem3  25789  bposlem5  25791  gausslemma2dlem1a  25868  lgsquadlem2  25884  lgsquadlem3  25885  lgsquad2lem2  25888  2sqlem6  25926  2sqmod  25939  rplogsumlem1  25987  rplogsumlem2  25988  dchrisum0fmul  26009  vmalogdivsum2  26041  pntrsumbnd2  26070  pntpbnd1  26089  pntpbnd2  26090  ostth2lem2  26137  oddpwdc  31511  eulerpartlemgh  31535  subfaclim  32332  bcprod  32867  faclim2  32877  nnadddir  39041  jm2.27c  39482  relexpmulnn  39932  mccllem  41754  limsup10exlem  41929  wallispilem5  42231  wallispi2lem1  42233  wallispi2  42235  stirlinglem3  42238  stirlinglem8  42243  stirlinglem15  42250  dirkertrigeqlem3  42262  hoicvrrex  42715  deccarry  43388  fmtnoprmfac2  43606  sfprmdvdsmersenne  43645  lighneallem3  43649  proththdlem  43655  fppr2odd  43773  blennnt2  44577
  Copyright terms: Public domain W3C validator