Theorem nnmulcld 12265

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409   · cmul 11115  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-addass 11175  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213

This theorem is referenced by:  bcm1k  14275  bcp1n  14276  permnn  14286  trireciplem  15808  efaddlem  16036  eftlub  16052  eirrlem  16147  modmulconst  16231  isprm5  16644  crth  16711  phimullem  16712  pcqmul  16786  pcaddlem  16821  pcbc  16833  oddprmdvds  16836  pockthlem  16838  pockthg  16839  vdwlem3  16916  vdwlem6  16919  vdwlem9  16922  torsubg  19722  ablfacrp  19936  dgrcolem1  25787  aalioulem5  25849  aaliou3lem2  25856  log2cnv  26449  log2tlbnd  26450  log2ublem2  26452  log2ub  26454  lgamgulmlem4  26536  wilthlem2  26573  ftalem7  26583  basellem5  26589  mumul  26685  fsumfldivdiaglem  26693  dvdsmulf1o  26698  sgmmul  26704  chtublem  26714  bcmono  26780  bposlem3  26789  bposlem5  26791  gausslemma2dlem1a  26868  lgsquadlem2  26884  lgsquadlem3  26885  lgsquad2lem2  26888  2sqlem6  26926  2sqmod  26939  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  dchrisum0fmul  27009  vmalogdivsum2  27041  pntrsumbnd2  27070  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  ostth2lem2  27137  oddpwdc  33353  eulerpartlemgh  33377  subfaclim  34179  bcprod  34708  faclim2  34718  nnproddivdvdsd  40866  lcmineqlem14  40907  lcmineqlem15  40908  lcmineqlem16  40909  lcmineqlem19  40912  lcmineqlem20  40913  lcmineqlem22  40915  aks4d1p3  40943  aks6d1c2p1  40956  aks6d1c2p2  40957  nnadddir  41184  flt4lem5  41392  flt4lem5e  41398  flt4lem5f  41399  jm2.27c  41746  relexpmulnn  42460  mccllem  44313  limsup10exlem  44488  wallispilem5  44785  wallispi2lem1  44787  wallispi2  44789  stirlinglem3  44792  stirlinglem8  44797  stirlinglem15  44804  dirkertrigeqlem3  44816  hoicvrrex  45272  deccarry  46019  fmtnoprmfac2  46235  sfprmdvdsmersenne  46271  lighneallem3  46275  proththdlem  46281  fppr2odd  46399  blennnt2  47275