Theorem nnmulcld 12230

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367   · cmul 11043  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  nnadddir  12233  bcm1k  14277  bcp1n  14278  permnn  14288  trireciplem  15827  efaddlem  16058  eftlub  16076  eirrlem  16171  modmulconst  16257  isprm5  16677  crth  16748  phimullem  16749  pcqmul  16824  pcaddlem  16859  pcbc  16871  oddprmdvds  16874  pockthlem  16876  pockthg  16877  vdwlem3  16954  vdwlem6  16957  vdwlem9  16960  torsubg  19829  ablfacrp  20043  dgrcolem1  26238  aalioulem5  26302  aaliou3lem2  26309  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  log2ublem2  26911  log2ub  26913  lgamgulmlem4  26995  wilthlem2  27032  ftalem7  27042  basellem5  27048  mumul  27144  fsumfldivdiaglem  27152  mpodvdsmulf1o  27157  dvdsmulf1o  27159  sgmmul  27164  chtublem  27174  bcmono  27240  bposlem3  27249  bposlem5  27251  gausslemma2dlem1a  27328  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  lgsquad2lem2  27348  2sqlem6  27386  2sqmod  27399  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  dchrisum0fmul  27469  vmalogdivsum2  27501  pntrsumbnd2  27530  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  ostth2lem2  27597  zringfrac  33614  fldext2rspun  33826  oddpwdc  34498  eulerpartlemgh  34522  subfaclim  35370  bcprod  35920  faclim2  35930  nnproddivdvdsd  42439  lcmineqlem14  42481  lcmineqlem15  42482  lcmineqlem16  42483  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem20  42487  lcmineqlem22  42489  aks4d1p3  42517  aks6d1c1p5  42551  aks6d1c1  42555  aks6d1c2p1  42557  aks6d1c2p2  42558  flt4lem5  43083  flt4lem5e  43089  flt4lem5f  43090  jm2.27c  43435  relexpmulnn  44136  mccllem  46027  limsup10exlem  46200  wallispilem5  46497  wallispi2lem1  46499  wallispi2  46501  stirlinglem3  46504  stirlinglem8  46509  stirlinglem15  46516  dirkertrigeqlem3  46528  hoicvrrex  46984  deccarry  47759  fmtnoprmfac2  48030  sfprmdvdsmersenne  48066  lighneallem3  48070  proththdlem  48076  fppr2odd  48207  gpg3kgrtriexlem2  48560  gpg3kgrtriexlem5  48563  gpg3kgrtriexlem6  48564  gpg3kgrtriex  48565  blennnt2  49065