Theorem nnmulcld 12304

Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
nnmulcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnmulcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		nnmulcl 12272	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419   · cmul 11120  ℕcn 12248

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-addass 11180  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12249

This theorem is used by:  nnadddir  12307  bcm1k  14369  bcp1n  14370  permnn  14380  trireciplem  15939  efaddlem  16169  eftlub  16187  eirrlem  16282  modmulconst  16368  isprm5  16788  crth  16859  phimullem  16860  pcqmul  16935  pcaddlem  16970  pcbc  16982  oddprmdvds  16985  pockthlem  16987  pockthg  16988  vdwlem3  17065  vdwlem6  17068  vdwlem9  17071  torsubg  19968  ablfacrp  20182  dgrcolem1  26481  aalioulem5  26550  aaliou3lem2  26557  log2cnv  27160  log2tlbnd  27161  log2ublem2  27163  log2ub  27165  lgamgulmlem4  27247  wilthlem2  27284  ftalem7  27294  basellem5  27300  mumul  27396  fsumfldivdiaglem  27404  mpodvdsmulf1o  27409  dvdsmulf1o  27411  sgmmul  27416  chtublem  27426  bcmono  27492  bposlem3  27501  bposlem5  27503  gausslemma2dlem1a  27580  lgsquadlem2  27596  lgsquadlem3  27597  lgsquad2lem2  27600  2sqlem6  27638  2sqmod  27651  rplogsumlem1  27699  rplogsumlem2  27700  dchrisum0fmul  27721  vmalogdivsum2  27753  pntrsumbnd2  27782  pntpbnd1  27801  pntpbnd2  27802  ostth2lem2  27849  zringfrac  33908  fldext2rspun  34136  oddpwdc  34809  eulerpartlemgh  34833  subfaclim  35717  bcprod  36267  faclim2  36277  nnproddivdvdsd  42825  lcmineqlem14  42867  lcmineqlem15  42868  lcmineqlem16  42869  lcmineqlem19  42872  lcmineqlem20  42873  lcmineqlem22  42875  aks4d1p3  42903  aks6d1c1p5  42937  aks6d1c1  42941  aks6d1c2p1  42943  aks6d1c2p2  42944  flt4lem5  43440  flt4lem5e  43446  flt4lem5f  43447  jm2.27c  43792  relexpmulnn  44493  mccllem  46371  limsup10exlem  46544  wallispilem5  46841  wallispi2lem1  46843  wallispi2  46845  stirlinglem3  46848  stirlinglem8  46853  stirlinglem15  46860  dirkertrigeqlem3  46872  hoicvrrex  47328  deccarry  48106  fmtnoprmfac2  48377  sfprmdvdsmersenne  48413  lighneallem3  48417  proththdlem  48423  fppr2odd  48554  gpg3kgrtriexlem2  48907  gpg3kgrtriexlem5  48910  gpg3kgrtriexlem6  48911  gpg3kgrtriex  48912  blennnt2  49426