Theorem dvdsexpad 40073

Description: Deduction associated with dvdsexpim 40069. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsexpad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
dvdsexpad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
dvdsexpad.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvdsexpad.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpad	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))

Proof of Theorem dvdsexpad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsexpad.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)
2		dvdsexpad.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		dvdsexpad.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4		dvdsexpad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		dvdsexpim 40069	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∥ 𝐵 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
7	1, 6	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5068  (class class class)co 7232  ℕ₀cn0 12115  ℤcz 12201  ↑cexp 13662   ∥ cdvds 15843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464  df-seq 13602  df-exp 13663  df-dvds 15844

This theorem is referenced by:  fltdvdsabdvdsc  40211