Theorem gcdle2d 41956

Description: The greatest common divisor of a positive integer and another integer is less than or equal to the positive integer. (Contributed by SN, 25-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
gcdle2d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gcdle2d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
gcdle2d	⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑁)

Proof of Theorem gcdle2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdle2d.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		gcdle2d.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		gcddvds 16477	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
5	1, 3, 4	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
6	5	simprd 494	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
7	1, 3	gcdcld 16482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
8	7	nn0zd 12614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
9		dvdsle 16286	. . 3 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑁))
10	8, 2, 9	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑁))
11	6, 10	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417   ≤ cle 11279  ℕcn 12242  ℤcz 12588   ∥ cdvds 16230   gcd cgcd 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469

This theorem is referenced by:  flt4lem7  42148