Theorem fltdvdsabdvdsc 42996

Description: Any factor of both 𝐴 and 𝐵 also divides 𝐶. This establishes the validity of fltabcoprmex 42997. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Proof of Theorem fltdvdsabdvdsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdvdsabdvdsc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltdvdsabdvdsc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		gcdnncl 16446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
5		fltdvdsabdvdsc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12474	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℤ)
9	1, 6	nnexpcld 14180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
11	2, 6	nnexpcld 14180	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12526	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13	4	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14	1	nnzd 12526	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	2	nnzd 12526	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
16		gcddvds 16442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
17	14, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	17	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
19	13, 14, 6, 18	dvdsexpad 42702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
20	17	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
21	13, 15, 6, 20	dvdsexpad 42702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
22	8, 10, 12, 19, 21	dvds2addd 16231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
23		fltdvdsabdvdsc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
24	22, 23	breqtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁))
25		fltdvdsabdvdsc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
26		dvdsexpnn 42703	. . 3 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
27	4, 25, 5, 26	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
28	24, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368   + caddc 11041  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ↑cexp 13996   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434

This theorem is referenced by:  flt4lem2  43005