Theorem fltdvdsabdvdsc 43088

Description: Any factor of both 𝐴 and 𝐵 also divides 𝐶. This establishes the validity of fltabcoprmex 43089. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Proof of Theorem fltdvdsabdvdsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdvdsabdvdsc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltdvdsabdvdsc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		gcdnncl 16467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
5		fltdvdsabdvdsc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12489	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℤ)
9	1, 6	nnexpcld 14198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
11	2, 6	nnexpcld 14198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13	4	nnzd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14	1	nnzd 12541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	2	nnzd 12541	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
16		gcddvds 16463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
17	14, 15, 16	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	17	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
19	13, 14, 6, 18	dvdsexpad 42809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
20	17	simprd 496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
21	13, 15, 6, 20	dvdsexpad 42809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
22	8, 10, 12, 19, 21	dvds2addd 16252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
23		fltdvdsabdvdsc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
24	22, 23	breqtrd 5098	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁))
25		fltdvdsabdvdsc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
26		dvdsexpnn 42810	. . 3 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
27	4, 25, 5, 26	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
28	24, 27	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356   + caddc 11032  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455

This theorem is referenced by:  flt4lem2  43097