Theorem fltdvdsabdvdsc 42823

Description: Any factor of both 𝐴 and 𝐵 also divides 𝐶. This establishes the validity of fltabcoprmex 42824. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Proof of Theorem fltdvdsabdvdsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdvdsabdvdsc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltdvdsabdvdsc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		gcdnncl 16432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
5		fltdvdsabdvdsc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12460	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℤ)
9	1, 6	nnexpcld 14166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
11	2, 6	nnexpcld 14166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13	4	nnzd 12512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14	1	nnzd 12512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	2	nnzd 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
16		gcddvds 16428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	17	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
19	13, 14, 6, 18	dvdsexpad 42529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
20	17	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
21	13, 15, 6, 20	dvdsexpad 42529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
22	8, 10, 12, 19, 21	dvds2addd 16217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
23		fltdvdsabdvdsc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
24	22, 23	breqtrd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁))
25		fltdvdsabdvdsc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
26		dvdsexpnn 42530	. . 3 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
27	4, 25, 5, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
28	24, 27	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356   + caddc 11027  ℕcn 12143  ℤcz 12486  ↑cexp 13982   ∥ cdvds 16177   gcd cgcd 16419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420

This theorem is referenced by:  flt4lem2  42832