Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltdvdsabdvdsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltdvdsabdvdsc 41869
Description: Any factor of both 𝐴 and 𝐵 also divides 𝐶. This establishes the validity of fltabcoprmex 41870. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltdvdsabdvdsc.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.b (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.c (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
fltdvdsabdvdsc (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Proof of Theorem fltdvdsabdvdsc
StepHypRef Expression
1 fltdvdsabdvdsc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 fltdvdsabdvdsc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 gcdnncl 16445 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
5 fltdvdsabdvdsc.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 12529 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6nnexpcld 14205 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
87nnzd 12582 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℤ)
91, 6nnexpcld 14205 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℕ)
109nnzd 12582 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
112, 6nnexpcld 14205 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℕ)
1211nnzd 12582 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℤ)
134nnzd 12582 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
141nnzd 12582 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
152nnzd 12582 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
16 gcddvds 16441 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
1817simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
1913, 14, 6, 18dvdsexpad 41712 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴𝑁))
2017simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
2113, 15, 6, 20dvdsexpad 41712 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵𝑁))
228, 10, 12, 19, 21dvds2addd 16232 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)))
23 fltdvdsabdvdsc.1 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
2422, 23breqtrd 5164 . 2 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶𝑁))
25 fltdvdsabdvdsc.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
26 dvdsexpnn 41720 . . 3 (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶𝑁)))
274, 25, 5, 26syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶𝑁)))
2824, 27mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   + caddc 11109  cn 12209  cz 12555  cexp 14024  cdvds 16194   gcd cgcd 16432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-dvds 16195  df-gcd 16433
This theorem is referenced by:  flt4lem2  41878
  Copyright terms: Public domain W3C validator