Theorem fltdvdsabdvdsc 43261

Description: Any factor of both 𝐴 and 𝐵 also divides 𝐶. This establishes the validity of fltabcoprmex 43262. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fltdvdsabdvdsc.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdvdsabdvdsc	⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Proof of Theorem fltdvdsabdvdsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdvdsabdvdsc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		fltdvdsabdvdsc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
3		gcdnncl 16564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ)
5		fltdvdsabdvdsc.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	4, 6	nnexpcld 14280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nnzd 12616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∈ ℤ)
9	1, 6	nnexpcld 14280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
11	2, 6	nnexpcld 14280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
13	4	nnzd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℤ)
14	1	nnzd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
15	2	nnzd 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
16		gcddvds 16560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
17	14, 15, 16	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴 ∧ (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵))
18	17	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐴)
19	13, 14, 6, 18	dvdsexpad 42982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐴↑𝑁))
20	17	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐵)
21	13, 15, 6, 20	dvdsexpad 42982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))
22	8, 10, 12, 19, 21	dvds2addd 16349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)))
23		fltdvdsabdvdsc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
24	22, 23	breqtrd 5141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁))
25		fltdvdsabdvdsc.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
26		dvdsexpnn 42983	. . 3 ⊢ (((𝐴 gcd 𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
27	4, 25, 5, 26	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶 ↔ ((𝐴 gcd 𝐵)↑𝑁) ∥ (𝐶↑𝑁)))
28	24, 27	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 gcd 𝐵) ∥ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411   + caddc 11102  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ↑cexp 14096   ∥ cdvds 16309   gcd cgcd 16551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552

This theorem is referenced by:  flt4lem2  43270