Theorem edgssv2 29142

Description: An edge of a simple graph is an unordered pair of vertices, i.e. a subset of the set of vertices of size 2. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.) (Revised by AV, 23-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
edgssv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
edgssv2.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
edgssv2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘𝐶) = 2))

Proof of Theorem edgssv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgssv2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2825	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgusgr 29104	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
4	2, 3	sylan2b 594	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
5		elpwi 4587	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝐶 ⊆ (Vtx‘𝐺))
6	5	anim1i 615	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2) → (𝐶 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2))
8		edgssv2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → 𝑉 = (Vtx‘𝐺))
10	9	sseq2d 3996	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ⊆ 𝑉 ↔ 𝐶 ⊆ (Vtx‘𝐺)))
11	10	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ((𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘𝐶) = 2) ↔ (𝐶 ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝐶) = 2)))
12	7, 11	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘𝐶) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  ‘cfv 6540  2c2 12302  ♯chash 14350  Vtxcvtx 28940  Edgcedg 28991  USGraphcusgr 29093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-hash 14351  df-edg 28992  df-usgr 29095

This theorem is referenced by:  isubgr3stgrlem8  47874