Theorem ply1termlem 25364

Description: Lemma for ply1term 25365. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1termlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ply1termlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1term.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
2		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12620	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzss1 13295	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
7		elfz1eq 13267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 = 𝑁)
9		iftrue 4465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
11		simpll 764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 12	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
14		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	8, 15	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 13864	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 10995	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		eldifn 4062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
21	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		fzsn 13298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
24	23	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑁}))
25		elsn2g 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑁} ↔ 𝑘 = 𝑁))
26	24, 25	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
27	22, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
28	20, 27	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 = 𝑁)
29	28	iffalsed 4470	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
30	29	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
31		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
32		eldifi 4061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
33		elfznn0 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		expcl 13800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 35	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
37	36	mul02d 11173	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
38	30, 37	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
39		fzfid 13693	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
40	6, 18, 38, 39	fsumss 15437	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
41	2	nn0zd 12424	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	31, 2	expcld 13864	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑𝑁) ∈ ℂ)
43	11, 42	mulcld 10995	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ)
44		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑁))
45	9, 44	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
46	45	fsum1 15459	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
47	41, 43, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
48	40, 47	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
49	48	mpteq2dva 5174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁))))
50	1, 49	eqtr4id 2797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ↑cexp 13782  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  ply1term  25365  coe1termlem  25419