Theorem ply1termlem 26435

Description: Lemma for ply1term 26436. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1termlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem ply1termlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1term.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
2		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12929	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2872	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzss1 13622	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
7		elfz1eq 13593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
8	7	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 = 𝑁)
9		iftrue 4491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
11		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 12	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
14		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	8, 15	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 14214	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 11257	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		eldifn 4082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
21	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		fzsn 13625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
24	23	eleq2d 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑁}))
25		elsn2g 4628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑁} ↔ 𝑘 = 𝑁))
26	24, 25	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
27	22, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
28	20, 27	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 = 𝑁)
29	28	iffalsed 4496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
30	29	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
31		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
32		eldifi 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
33		elfznn0 13679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		expcl 14147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 35	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
37	36	mul02d 11436	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
38	30, 37	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
39		fzfid 14041	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
40	6, 18, 38, 39	fsumss 15815	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
41	2	nn0zd 12644	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	31, 2	expcld 14214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑𝑁) ∈ ℂ)
43	11, 42	mulcld 11257	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ)
44		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑁))
45	9, 44	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
46	45	fsum1 15837	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
47	41, 43, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
48	40, 47	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
49	48	mpteq2dva 5202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁))))
50	1, 49	eqtr4id 2816	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ifcif 4485  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  ↑cexp 14129  Σcsu 15777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778

This theorem is used by:  ply1term  26436  coe1termlem  26491