Theorem ply1termlem 26415

Description: Lemma for ply1term 26416. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1term.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))

Assertion

Ref	Expression
ply1termlem	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑧, 𝑘)

Proof of Theorem ply1termlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1term.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
2		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 12920	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	eleqtrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
5		fzss1 13612	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑁...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
7		elfz1eq 13583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
8	7	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 = 𝑁)
9		iftrue 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 𝐴)
11		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	10, 12	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
14		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
15	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	8, 15	eqeltrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17	14, 16	expcld 14204	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
18	13, 17	mulcld 11248	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) ∈ ℂ)
19		eldifn 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ (𝑁...𝑁))
21	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	nn0zd 12635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℤ)
23		fzsn 13615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
24	23	eleq2d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ {𝑁}))
25		elsn2g 4632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ {𝑁} ↔ 𝑘 = 𝑁))
26	24, 25	bitrd 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
27	22, 26	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑘 ∈ (𝑁...𝑁) ↔ 𝑘 = 𝑁))
28	20, 27	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → ¬ 𝑘 = 𝑁)
29	28	iffalsed 4500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) = 0)
30	29	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (0 · (𝑧↑𝑘)))
31		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
32		eldifi 4085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
33		elfznn0 13669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35		expcl 14137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
36	31, 34, 35	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (𝑧↑𝑘) ∈ ℂ)
37	36	mul02d 11427	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (0 · (𝑧↑𝑘)) = 0)
38	30, 37	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (𝑁...𝑁))) → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = 0)
39		fzfid 14031	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
40	6, 18, 38, 39	fsumss 15803	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)))
41	2	nn0zd 12635	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	31, 2	expcld 14204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧↑𝑁) ∈ ℂ)
43	11, 42	mulcld 11248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ)
44		oveq2 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑧↑𝑘) = (𝑧↑𝑁))
45	9, 44	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
46	45	fsum1 15825	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 · (𝑧↑𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
47	41, 43, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑁...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
48	40, 47	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑧↑𝑁)))
49	48	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐴 · (𝑧↑𝑁))))
50	1, 49	eqtr4id 2819	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(if(𝑘 = 𝑁, 𝐴, 0) · (𝑧↑𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  0cc0 11119   · cmul 11124  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ℤ_≥cuz 12882  ...cfz 13555  ↑cexp 14119  Σcsu 15765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-sum 15766

This theorem is used by:  ply1term  26416  coe1termlem  26470