MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1termlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1termlem 25580
Description: Lemma for ply1term 25581. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1 ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)))
Assertion
Ref Expression
ply1termlem ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ด   ๐‘˜,๐‘,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ง,๐‘˜)

Proof of Theorem ply1termlem
StepHypRef Expression
1 ply1term.1 . 2 ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)))
2 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
3 nn0uz 12810 . . . . . . 7 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
42, 3eleqtrdi 2844 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
5 fzss1 13486 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐‘...๐‘) โŠ† (0...๐‘))
64, 5syl 17 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘...๐‘) โŠ† (0...๐‘))
7 elfz1eq 13458 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
9 iftrue 4493 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) = ๐ด)
11 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1310, 12eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
14 simplr 768 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
152adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
168, 15eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1714, 16expcld 14057 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
1813, 17mulcld 11180 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)) โ†’ (if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
19 eldifn 4088 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘))
2019adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘))
212adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2221nn0zd 12530 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
23 fzsn 13489 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘...๐‘) = {๐‘})
2423eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ {๐‘}))
25 elsn2g 4625 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ {๐‘} โ†” ๐‘˜ = ๐‘))
2624, 25bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘) โ†” ๐‘˜ = ๐‘))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘) โ†” ๐‘˜ = ๐‘))
2820, 27mtbid 324 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ ยฌ ๐‘˜ = ๐‘)
2928iffalsed 4498 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) = 0)
3029oveq1d 7373 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ (if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (0 ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
31 simpr 486 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
32 eldifi 4087 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘))
33 elfznn0 13540 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
35 expcl 13991 . . . . . . . 8 ((๐‘ง โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3631, 34, 35syl2an 597 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3736mul02d 11358 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ (0 ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = 0)
3830, 37eqtrd 2773 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((0...๐‘) โˆ– (๐‘...๐‘))) โ†’ (if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = 0)
39 fzfid 13884 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (0...๐‘) โˆˆ Fin)
406, 18, 38, 39fsumss 15615 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)))
412nn0zd 12530 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
4231, 2expcld 14057 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4311, 42mulcld 11180 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
44 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘งโ†‘๐‘˜) = (๐‘งโ†‘๐‘))
459, 44oveq12d 7376 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)))
4645fsum1 15637 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)))
4741, 43, 46syl2anc 585 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)))
4840, 47eqtr3d 2775 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘)))
4948mpteq2dva 5206 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))) = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐ด ยท (๐‘งโ†‘๐‘))))
501, 49eqtr4id 2792 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(if(๐‘˜ = ๐‘, ๐ด, 0) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ– cdif 3908   โŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   ยท cmul 11061  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  ฮฃcsu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  ply1term  25581  coe1termlem  25635
  Copyright terms: Public domain W3C validator