Theorem od1 19773

Description: The order of the group identity is one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
od1	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)

Proof of Theorem od1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		od1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19176	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		1nn 12346	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ ℕ)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
7	1, 6	mulg1 19291	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 )
8	3, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 )
9		od1.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	1, 9, 6, 2	odlem2 19753	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 ) → (𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1))
11	3, 5, 8, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1))
12		elfz1eq 13668	. 2 ⊢ ((𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	11, 12	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201  ℕcn 12335  ...cfz 13639  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  odcod 19738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-mulg 19278  df-od 19742

This theorem is used by:  odeq1  19774  0subgALT  19782  torsubg  20068  oddvdssubg  20069  pgpfaclem2  20298