Theorem od1 19782

Description: The order of the group identity is one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
od1	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)

Proof of Theorem od1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		od1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 19185	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		1nn 12353	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ ℕ)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
7	1, 6	mulg1 19300	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 )
8	3, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 )
9		od1.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	1, 9, 6, 2	odlem2 19762	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 ) → (𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1))
11	3, 5, 8, 10	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1))
12		elfz1eq 13675	. 2 ⊢ ((𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	11, 12	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208  ℕcn 12342  ...cfz 13646  Basecbs 17396  0_gc0g 17619  Grpcgrp 19153  ._gcmg 19286  odcod 19747

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-seq 14152  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-mulg 19287  df-od 19751

This theorem is used by:  odeq1  19783  0subgALT  19791  torsubg  20077  oddvdssubg  20078  pgpfaclem2  20307