Theorem od1 19429

Description: The order of the group identity is one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
od1	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)

Proof of Theorem od1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		od1.2	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18852	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		1nn 12225	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ ℕ)
6		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
7	1, 6	mulg1 18963	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ (Base‘𝐺) → (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 )
8	3, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 )
9		od1.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
10	1, 9, 6, 2	odlem2 19409	. . 3 ⊢ (( 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 1 ∈ ℕ ∧ (1(.g‘𝐺) 0 ) = 0 ) → (𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1))
11	3, 5, 8, 10	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1))
12		elfz1eq 13514	. 2 ⊢ ((𝑂‘ 0 ) ∈ (1...1) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	11, 12	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113  ℕcn 12214  ...cfz 13486  Basecbs 17146  0_gc0g 17387  Grpcgrp 18821  ._gcmg 18952  odcod 19394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-mulg 18953  df-od 19398

This theorem is referenced by:  odeq1  19430  0subgALT  19438  torsubg  19724  oddvdssubg  19725  pgpfaclem2  19954