MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3prm 16032
Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
3prm 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm
StepHypRef Expression
1 3z 12008 . . 3 3 ∈ ℤ
2 1lt3 11803 . . 3 1 < 3
3 eluz2b1 12312 . . 3 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
41, 2, 3mpbir2an 710 . 2 3 ∈ (ℤ‘2)
5 elfz1eq 12918 . . . . 5 (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6 n2dvds3 15716 . . . . . 6 ¬ 2 ∥ 3
7 breq1 5055 . . . . . 6 (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
86, 7mtbiri 330 . . . . 5 (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
10 3m1e2 11758 . . . . 5 (3 − 1) = 2
1110oveq2i 7156 . . . 4 (2...(3 − 1)) = (2...2)
129, 11eleq2s 2934 . . 3 (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
1312rgen 3143 . 2 𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
14 isprm3 16021 . 2 (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
154, 13, 14mpbir2an 710 1 3 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7145  1c1 10530   < clt 10667  cmin 10862  2c2 11685  3c3 11686  cz 11974  cuz 12236  ...cfz 12890  cdvds 15603  cprime 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-fz 12891  df-seq 13370  df-exp 13431  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-prm 16010
This theorem is referenced by:  ge2nprmge4  16039  3lcm2e6  16066  prmo3  16371  4001lem4  16473  lt6abl  19011  2logb9irr  25377  2logb3irr  25379  ppi3  25752  cht3  25754  bpos1  25863  fmtno0prm  43938  m2prm  43971  6gbe  44152  7gbow  44153  8gbe  44154  9gbo  44155  11gbo  44156  sbgoldbwt  44158  sbgoldbst  44159  sbgoldbo  44168  nnsum3primesle9  44175  nnsum4primeseven  44181  nnsum4primesevenALTV  44182  zlmodzxznm  44768
  Copyright terms: Public domain W3C validator