Theorem 3prm 16719

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12598	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 12387	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 12914	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 721	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 13534	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		n2dvds3 16396	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		breq1 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
8	6, 7	mtbiri 329	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
10		3m1e2 12339	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
11	10	oveq2i 7402	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
12	9, 11	eleq2s 2879	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
13	12	rgen 3077	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
14		isprm3 16708	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
15	4, 13, 14	mpbir2an 721	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  1c1 11068   < clt 11210   − cmin 11408  2c2 12266  3c3 12267  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-prm 16697

This theorem is referenced by:  ge2nprmge4  16727  3lcm2e6  16758  prmo3  17068  4001lem4  17171  lt6abl  19926  2logb9irr  26848  2logb3irr  26850  ppi3  27223  cht3  27225  bpos1  27335  2sqr3nconstr  34039  cos9thpinconstrlem2  34048  fmtno0prm  48128  m2prm  48161  ppivalnnnprm  48198  6gbe  48354  7gbow  48355  8gbe  48356  9gbo  48357  11gbo  48358  sbgoldbwt  48360  sbgoldbst  48361  sbgoldbo  48370  nnsum3primesle9  48377  nnsum4primeseven  48383  nnsum4primesevenALTV  48384  zlmodzxznm  49080