Theorem 3prm 16728

Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
3prm	⊢ 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12648	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		1lt3 12437	. . 3 ⊢ 1 < 3
3		eluz2b1 12959	. . 3 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
4	1, 2, 3	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘2)
5		elfz1eq 13572	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6		n2dvds3 16405	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ∥ 3
7		breq1 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
8	6, 7	mtbiri 327	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
10		3m1e2 12392	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
11	10	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (2...(3 − 1)) = (2...2)
12	9, 11	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
13	12	rgen 3061	. 2 ⊢ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
14		isprm3 16717	. 2 ⊢ (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
15	4, 13, 14	mpbir2an 711	1 ⊢ 3 ∈ ℙ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   < clt 11293   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  ge2nprmge4  16735  3lcm2e6  16766  prmo3  17075  4001lem4  17178  lt6abl  19928  2logb9irr  26853  2logb3irr  26855  ppi3  27229  cht3  27231  bpos1  27342  fmtno0prm  47483  m2prm  47516  6gbe  47696  7gbow  47697  8gbe  47698  9gbo  47699  11gbo  47700  sbgoldbwt  47702  sbgoldbst  47703  sbgoldbo  47712  nnsum3primesle9  47719  nnsum4primeseven  47725  nnsum4primesevenALTV  47726  zlmodzxznm  48343