Theorem eulerpartlem1 34345

Description: Lemma for eulerpart 34360. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlem1	⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐽   𝐻,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		nnex 12244	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
3	1, 2	rabex2 5311	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ V
4		nn0ex 12505	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) = (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
6		eulerpart.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7	3, 4, 5, 6	fpwrelmapffs 32657	. 2 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
8		eulerpart.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
9		ssrab2 4055	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽)
10	4	pwex 5350	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ℕ0 ∈ V
11		inss1 4212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0
12		mapss 8901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 ℕ0 ∈ V ∧ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0) → ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽)
14	9, 13	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽)
15	6, 14	eqsstri 4005	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽)
16		resmpt 6024	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) → ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
18	8, 17	eqtr4i 2761	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻)
19		f1oeq1 6805	. . 3 ⊢ (𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻) → (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
21	7, 20	mpbir 231	1 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  {crab 3415  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  𝒫 cpw 4575   class class class wbr 5119  {copab 5181   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   “ cima 5657  –1-1-onto→wf1o 6529  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405   supp csupp 8157   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957  1c1 11128   · cmul 11132   ≤ cle 11268  ℕcn 12238  2c2 12293  ℕ₀cn0 12499  ↑cexp 14077  Σcsu 15700   ∥ cdvds 16270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-ac2 10475  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-fin 8961  df-card 9951  df-acn 9954  df-ac 10128  df-nn 12239  df-n0 12500

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  34350  eulerpartlemgvv  34354  eulerpartlemgf  34357