![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > eulerpartlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for eulerpart 33870. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
eulerpart.p | โข ๐ = {๐ โ (โ0 โm โ) โฃ ((โก๐ โ โ) โ Fin โง ฮฃ๐ โ โ ((๐โ๐) ยท ๐) = ๐)} |
eulerpart.o | โข ๐ = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ โ (โก๐ โ โ) ยฌ 2 โฅ ๐} |
eulerpart.d | โข ๐ท = {๐ โ ๐ โฃ โ๐ โ โ (๐โ๐) โค 1} |
eulerpart.j | โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} |
eulerpart.f | โข ๐น = (๐ฅ โ ๐ฝ, ๐ฆ โ โ0 โฆ ((2โ๐ฆ) ยท ๐ฅ)) |
eulerpart.h | โข ๐ป = {๐ โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โฃ (๐ supp โ ) โ Fin} |
eulerpart.m | โข ๐ = (๐ โ ๐ป โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) |
Ref | Expression |
---|---|
eulerpartlem1 | โข ๐:๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eulerpart.j | . . . 4 โข ๐ฝ = {๐ง โ โ โฃ ยฌ 2 โฅ ๐ง} | |
2 | nnex 12215 | . . . 4 โข โ โ V | |
3 | 1, 2 | rabex2 5324 | . . 3 โข ๐ฝ โ V |
4 | nn0ex 12475 | . . 3 โข โ0 โ V | |
5 | eqid 2724 | . . 3 โข (๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) = (๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) | |
6 | eulerpart.h | . . 3 โข ๐ป = {๐ โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โฃ (๐ supp โ ) โ Fin} | |
7 | 3, 4, 5, 6 | fpwrelmapffs 32428 | . 2 โข ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป):๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin) |
8 | eulerpart.m | . . . 4 โข ๐ = (๐ โ ๐ป โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) | |
9 | ssrab2 4069 | . . . . . . 7 โข {๐ โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โฃ (๐ supp โ ) โ Fin} โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) | |
10 | 4 | pwex 5368 | . . . . . . . 8 โข ๐ซ โ0 โ V |
11 | inss1 4220 | . . . . . . . 8 โข (๐ซ โ0 โฉ Fin) โ ๐ซ โ0 | |
12 | mapss 8879 | . . . . . . . 8 โข ((๐ซ โ0 โ V โง (๐ซ โ0 โฉ Fin) โ ๐ซ โ0) โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ)) | |
13 | 10, 11, 12 | mp2an 689 | . . . . . . 7 โข ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) |
14 | 9, 13 | sstri 3983 | . . . . . 6 โข {๐ โ ((๐ซ โ0 โฉ Fin) โm ๐ฝ) โฃ (๐ supp โ ) โ Fin} โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) |
15 | 6, 14 | eqsstri 4008 | . . . . 5 โข ๐ป โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) |
16 | resmpt 6027 | . . . . 5 โข (๐ป โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โ ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป) = (๐ โ ๐ป โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))})) | |
17 | 15, 16 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป) = (๐ โ ๐ป โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) |
18 | 8, 17 | eqtr4i 2755 | . . 3 โข ๐ = ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป) |
19 | f1oeq1 6811 | . . 3 โข (๐ = ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป) โ (๐:๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin) โ ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป):๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin))) | |
20 | 18, 19 | ax-mp 5 | . 2 โข (๐:๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin) โ ((๐ โ (๐ซ โ0 โm ๐ฝ) โฆ {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ (๐ฅ โ ๐ฝ โง ๐ฆ โ (๐โ๐ฅ))}) โพ ๐ป):๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin)) |
21 | 7, 20 | mpbir 230 | 1 โข ๐:๐ปโ1-1-ontoโ(๐ซ (๐ฝ ร โ0) โฉ Fin) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwral 3053 {crab 3424 Vcvv 3466 โฉ cin 3939 โ wss 3940 โ c0 4314 ๐ซ cpw 4594 class class class wbr 5138 {copab 5200 โฆ cmpt 5221 ร cxp 5664 โกccnv 5665 โพ cres 5668 โ cima 5669 โ1-1-ontoโwf1o 6532 โcfv 6533 (class class class)co 7401 โ cmpo 7403 supp csupp 8140 โm cmap 8816 Fincfn 8935 1c1 11107 ยท cmul 11111 โค cle 11246 โcn 12209 2c2 12264 โ0cn0 12469 โcexp 14024 ฮฃcsu 15629 โฅ cdvds 16194 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5275 ax-sep 5289 ax-nul 5296 ax-pow 5353 ax-pr 5417 ax-un 7718 ax-ac2 10454 ax-cnex 11162 ax-1cn 11164 ax-addcl 11166 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3959 df-nul 4315 df-if 4521 df-pw 4596 df-sn 4621 df-pr 4623 df-op 4627 df-uni 4900 df-int 4941 df-iun 4989 df-br 5139 df-opab 5201 df-mpt 5222 df-tr 5256 df-id 5564 df-eprel 5570 df-po 5578 df-so 5579 df-fr 5621 df-se 5622 df-we 5623 df-xp 5672 df-rel 5673 df-cnv 5674 df-co 5675 df-dm 5676 df-rn 5677 df-res 5678 df-ima 5679 df-pred 6290 df-ord 6357 df-on 6358 df-lim 6359 df-suc 6360 df-iota 6485 df-fun 6535 df-fn 6536 df-f 6537 df-f1 6538 df-fo 6539 df-f1o 6540 df-fv 6541 df-isom 6542 df-riota 7357 df-ov 7404 df-oprab 7405 df-mpo 7406 df-om 7849 df-1st 7968 df-2nd 7969 df-supp 8141 df-frecs 8261 df-wrecs 8292 df-recs 8366 df-rdg 8405 df-1o 8461 df-er 8699 df-map 8818 df-en 8936 df-dom 8937 df-fin 8939 df-card 9930 df-acn 9933 df-ac 10107 df-nn 12210 df-n0 12470 |
This theorem is referenced by: eulerpartgbij 33860 eulerpartlemgvv 33864 eulerpartlemgf 33867 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |