Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlem1 33855
Description: Lemma for eulerpart 33870. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p ๐‘ƒ = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m โ„•) โˆฃ ((โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin โˆง ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐‘“โ€˜๐‘˜) ยท ๐‘˜) = ๐‘)}
eulerpart.o ๐‘‚ = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ (โ—ก๐‘” โ€œ โ„•) ยฌ 2 โˆฅ ๐‘›}
eulerpart.d ๐ท = {๐‘” โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘”โ€˜๐‘›) โ‰ค 1}
eulerpart.j ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
eulerpart.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((2โ†‘๐‘ฆ) ยท ๐‘ฅ))
eulerpart.h ๐ป = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
eulerpart.m ๐‘€ = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1 ๐‘€:๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘Ÿ,๐‘ฆ,๐ฝ   ๐ป,๐‘Ÿ
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐ป(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›)   ๐ฝ(๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)   ๐‘‚(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘”,๐‘˜,๐‘›,๐‘Ÿ)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . 4 ๐ฝ = {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง}
2 nnex 12215 . . . 4 โ„• โˆˆ V
31, 2rabex2 5324 . . 3 ๐ฝ โˆˆ V
4 nn0ex 12475 . . 3 โ„•0 โˆˆ V
5 eqid 2724 . . 3 (๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) = (๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
6 eulerpart.h . . 3 ๐ป = {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin}
73, 4, 5, 6fpwrelmapffs 32428 . 2 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป):๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin)
8 eulerpart.m . . . 4 ๐‘€ = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
9 ssrab2 4069 . . . . . . 7 {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โІ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ)
104pwex 5368 . . . . . . . 8 ๐’ซ โ„•0 โˆˆ V
11 inss1 4220 . . . . . . . 8 (๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โІ ๐’ซ โ„•0
12 mapss 8879 . . . . . . . 8 ((๐’ซ โ„•0 โˆˆ V โˆง (๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โІ ๐’ซ โ„•0) โ†’ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โІ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ))
1310, 11, 12mp2an 689 . . . . . . 7 ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โІ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ)
149, 13sstri 3983 . . . . . 6 {๐‘Ÿ โˆˆ ((๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†‘m ๐ฝ) โˆฃ (๐‘Ÿ supp โˆ…) โˆˆ Fin} โІ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ)
156, 14eqsstri 4008 . . . . 5 ๐ป โІ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ)
16 resmpt 6027 . . . . 5 (๐ป โІ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป) = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป) = (๐‘Ÿ โˆˆ ๐ป โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))})
188, 17eqtr4i 2755 . . 3 ๐‘€ = ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป)
19 f1oeq1 6811 . . 3 (๐‘€ = ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป) โ†’ (๐‘€:๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป):๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin)))
2018, 19ax-mp 5 . 2 (๐‘€:๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin) โ†” ((๐‘Ÿ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โ†‘m ๐ฝ) โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ฝ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘Ÿโ€˜๐‘ฅ))}) โ†พ ๐ป):๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin))
217, 20mpbir 230 1 ๐‘€:๐ปโ€“1-1-ontoโ†’(๐’ซ (๐ฝ ร— โ„•0) โˆฉ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   โˆฉ cin 3939   โІ wss 3940  โˆ…c0 4314  ๐’ซ cpw 4594   class class class wbr 5138  {copab 5200   โ†ฆ cmpt 5221   ร— cxp 5664  โ—กccnv 5665   โ†พ cres 5668   โ€œ cima 5669  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6532  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   โˆˆ cmpo 7403   supp csupp 8140   โ†‘m cmap 8816  Fincfn 8935  1c1 11107   ยท cmul 11111   โ‰ค cle 11246  โ„•cn 12209  2c2 12264  โ„•0cn0 12469  โ†‘cexp 14024  ฮฃcsu 15629   โˆฅ cdvds 16194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-fin 8939  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-nn 12210  df-n0 12470
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  33860  eulerpartlemgvv  33864  eulerpartlemgf  33867
  Copyright terms: Public domain W3C validator