Theorem eulerpartlem1 32018

Description: Lemma for eulerpart 32033. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpart.p	⊢ 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m ℕ) ∣ ((◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓‘𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o	⊢ 𝑂 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (◡𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d	⊢ 𝐷 = {𝑔 ∈ 𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j	⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h	⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m	⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlem1	⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐽   𝐻,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpart.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2		nnex 11819	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
3	1, 2	rabex2 5216	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ V
4		nn0ex 12079	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) = (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
6		eulerpart.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
7	3, 4, 5, 6	fpwrelmapffs 30761	. 2 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
8		eulerpart.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
9		ssrab2 3983	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽)
10	4	pwex 5262	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 ℕ0 ∈ V
11		inss1 4133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0
12		mapss 8559	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 ℕ0 ∈ V ∧ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0) → ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽))
13	10, 11, 12	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽)
14	9, 13	sstri 3900	. . . . . 6 ⊢ {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽)
15	6, 14	eqsstri 3925	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽)
16		resmpt 5894	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) → ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟 ∈ 𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))})
18	8, 17	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻)
19		f1oeq1 6638	. . 3 ⊢ (𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻) → (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)))
20	18, 19	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0 ↑m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ (𝑟‘𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
21	7, 20	mpbir 234	1 ⊢ 𝑀:𝐻–1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  {crab 3058  Vcvv 3401   ∩ cin 3856   ⊆ wss 3857  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4503   class class class wbr 5043  {copab 5105   ↦ cmpt 5124   × cxp 5538  ^◡ccnv 5539   ↾ cres 5542   “ cima 5543  –1-1-onto→wf1o 6368  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ∈ cmpo 7204   supp csupp 7892   ↑_m cmap 8497  Fincfn 8615  1c1 10713   · cmul 10717   ≤ cle 10851  ℕcn 11813  2c2 11868  ℕ₀cn0 12073  ↑cexp 13618  Σcsu 15232   ∥ cdvds 15796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-ac2 10060  ax-cnex 10768  ax-1cn 10770  ax-addcl 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-er 8380  df-map 8499  df-en 8616  df-dom 8617  df-fin 8619  df-card 9538  df-acn 9541  df-ac 9713  df-nn 11814  df-n0 12074

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  32023  eulerpartlemgvv  32027  eulerpartlemgf  32030