Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlem1 34369
Description: Lemma for eulerpart 34384. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐽   𝐻,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . 4 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 nnex 12272 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2rabex2 5341 . . 3 𝐽 ∈ V
4 nn0ex 12532 . . 3 0 ∈ V
5 eqid 2737 . . 3 (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) = (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
6 eulerpart.h . . 3 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
73, 4, 5, 6fpwrelmapffs 32745 . 2 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
8 eulerpart.m . . . 4 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
9 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽)
104pwex 5380 . . . . . . . 8 𝒫 ℕ0 ∈ V
11 inss1 4237 . . . . . . . 8 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0
12 mapss 8929 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ0 ∈ V ∧ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0) → ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽))
1310, 11, 12mp2an 692 . . . . . . 7 ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽)
149, 13sstri 3993 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽)
156, 14eqsstri 4030 . . . . 5 𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽)
16 resmpt 6055 . . . . 5 (𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽) → ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
188, 17eqtr4i 2768 . . 3 𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻)
19 f1oeq1 6836 . . 3 (𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) → (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)))
2018, 19ax-mp 5 . 2 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
217, 20mpbir 231 1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  {copab 5205  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  cres 5687  cima 5688  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cexp 14102  Σcsu 15722  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-fin 8989  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-nn 12267  df-n0 12527
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  34374  eulerpartlemgvv  34378  eulerpartlemgf  34381
  Copyright terms: Public domain W3C validator