Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlem1 31303
Description: Lemma for eulerpart 31318. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐽   𝐻,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . 4 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 nnex 11445 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2rabex2 5090 . . 3 𝐽 ∈ V
4 nn0ex 11713 . . 3 0 ∈ V
5 eqid 2773 . . 3 (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) = (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
6 eulerpart.h . . 3 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
73, 4, 5, 6fpwrelmapffs 30247 . 2 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
8 eulerpart.m . . . 4 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
9 ssrab2 3941 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽)
104pwex 5131 . . . . . . . 8 𝒫 ℕ0 ∈ V
11 inss1 4087 . . . . . . . 8 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0
12 mapss 8250 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ0 ∈ V ∧ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0) → ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽))
1310, 11, 12mp2an 680 . . . . . . 7 ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽)
149, 13sstri 3862 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑𝑚 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽)
156, 14eqsstri 3886 . . . . 5 𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽)
16 resmpt 5748 . . . . 5 (𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) → ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
188, 17eqtr4i 2800 . . 3 𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻)
19 f1oeq1 6431 . . 3 (𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) → (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)))
2018, 19ax-mp 5 . 2 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0𝑚 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
217, 20mpbir 223 1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3083  {crab 3087  Vcvv 3410  cin 3823  wss 3824  c0 4173  𝒫 cpw 4417   class class class wbr 4926  {copab 4988  cmpt 5005   × cxp 5402  ccnv 5403  cres 5406  cima 5407  1-1-ontowf1o 6185  cfv 6186  (class class class)co 6975  cmpo 6977   supp csupp 7632  𝑚 cmap 8205  Fincfn 8305  1c1 10335   · cmul 10339  cle 10474  cn 11438  2c2 11494  0cn0 11706  cexp 13243  Σcsu 14902  cdvds 15466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-ac2 9682  ax-cnex 10390  ax-1cn 10392  ax-addcl 10394
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-en 8306  df-dom 8307  df-fin 8309  df-card 9161  df-acn 9164  df-ac 9335  df-nn 11439  df-n0 11707
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  31308  eulerpartlemgvv  31312  eulerpartlemgf  31315
  Copyright terms: Public domain W3C validator