Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eulerpartlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eulerpartlem1 34214
Description: Lemma for eulerpart 34229. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p 𝑃 = {𝑓 ∈ (ℕ0m ℕ) ∣ ((𝑓 “ ℕ) ∈ Fin ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑓𝑘) · 𝑘) = 𝑁)}
eulerpart.o 𝑂 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ (𝑔 “ ℕ) ¬ 2 ∥ 𝑛}
eulerpart.d 𝐷 = {𝑔𝑃 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ≤ 1}
eulerpart.j 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
eulerpart.f 𝐹 = (𝑥𝐽, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((2↑𝑦) · 𝑥))
eulerpart.h 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
eulerpart.m 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
Assertion
Ref Expression
eulerpartlem1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑦,𝐽   𝐻,𝑟
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝐽(𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔,𝑘,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem eulerpartlem1
StepHypRef Expression
1 eulerpart.j . . . 4 𝐽 = {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧}
2 nnex 12264 . . . 4 ℕ ∈ V
31, 2rabex2 5333 . . 3 𝐽 ∈ V
4 nn0ex 12524 . . 3 0 ∈ V
5 eqid 2726 . . 3 (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) = (𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
6 eulerpart.h . . 3 𝐻 = {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin}
73, 4, 5, 6fpwrelmapffs 32648 . 2 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
8 eulerpart.m . . . 4 𝑀 = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
9 ssrab2 4073 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽)
104pwex 5376 . . . . . . . 8 𝒫 ℕ0 ∈ V
11 inss1 4227 . . . . . . . 8 (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0
12 mapss 8910 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ0 ∈ V ∧ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ℕ0) → ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . . 7 ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽)
149, 13sstri 3988 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ((𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↑m 𝐽) ∣ (𝑟 supp ∅) ∈ Fin} ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽)
156, 14eqsstri 4013 . . . . 5 𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽)
16 resmpt 6038 . . . . 5 (𝐻 ⊆ (𝒫 ℕ0m 𝐽) → ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}))
1715, 16ax-mp 5 . . . 4 ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) = (𝑟𝐻 ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))})
188, 17eqtr4i 2757 . . 3 𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻)
19 f1oeq1 6823 . . 3 (𝑀 = ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻) → (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)))
2018, 19ax-mp 5 . 2 (𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin) ↔ ((𝑟 ∈ (𝒫 ℕ0m 𝐽) ↦ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐽𝑦 ∈ (𝑟𝑥))}) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin))
217, 20mpbir 230 1 𝑀:𝐻1-1-onto→(𝒫 (𝐽 × ℕ0) ∩ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462  cin 3945  wss 3946  c0 4322  𝒫 cpw 4597   class class class wbr 5145  {copab 5207  cmpt 5228   × cxp 5672  ccnv 5673  cres 5676  cima 5677  1-1-ontowf1o 6545  cfv 6546  (class class class)co 7416  cmpo 7418   supp csupp 8166  m cmap 8847  Fincfn 8966  1c1 11150   · cmul 11154  cle 11290  cn 12258  2c2 12313  0cn0 12518  cexp 14075  Σcsu 15685  cdvds 16251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-ac2 10497  ax-cnex 11205  ax-1cn 11207  ax-addcl 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-fin 8970  df-card 9975  df-acn 9978  df-ac 10152  df-nn 12259  df-n0 12519
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  34219  eulerpartlemgvv  34223  eulerpartlemgf  34226
  Copyright terms: Public domain W3C validator