Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltmul 41020
Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any ๐‘ โˆˆ โ„•0, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltmul.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
fltmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fltmul.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fltmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fltmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
fltmul.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
Assertion
Ref Expression
fltmul (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem fltmul
StepHypRef Expression
1 fltmul.s . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
2 fltmul.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2expcld 14060 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4 fltmul.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54, 2expcld 14060 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
6 fltmul.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
76, 2expcld 14060 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
83, 5, 7adddid 11187 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘))) = (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
9 fltmul.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
109oveq2d 7377 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘))) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
118, 10eqtr3d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
121, 4, 2mulexpd 14075 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
131, 6, 2mulexpd 14075 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
1412, 13oveq12d 7379 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
15 fltmul.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
161, 15, 2mulexpd 14075 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
1711, 14, 163eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057   + caddc 11062   ยท cmul 11064  โ„•0cn0 12421  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator