Theorem fltmul 42645

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any 𝑁 ∈ ℕ₀, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltmul.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltmul.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltmul	⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁))

Proof of Theorem fltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltmul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		fltmul.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 14186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 14186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltmul.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 14186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
8	3, 5, 7	adddid 11285	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑𝑁) · ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁))) = (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
9		fltmul.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
10	9	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑𝑁) · ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁))) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
11	8, 10	eqtr3d 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
12	1, 4, 2	mulexpd 14201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
13	1, 6, 2	mulexpd 14201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
14	12, 13	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
15		fltmul.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 15, 2	mulexpd 14201	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
17	11, 14, 16	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by: (None)