Theorem fltmul 42987

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any 𝑁 ∈ ℕ₀, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltmul.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltmul.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltmul	⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁))

Proof of Theorem fltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltmul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		fltmul.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 14081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 14081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltmul.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 14081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
8	3, 5, 7	adddid 11168	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑𝑁) · ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁))) = (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
9		fltmul.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
10	9	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑𝑁) · ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁))) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
11	8, 10	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
12	1, 4, 2	mulexpd 14096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
13	1, 6, 2	mulexpd 14096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
14	12, 13	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
15		fltmul.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 15, 2	mulexpd 14096	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
17	11, 14, 16	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by: (None)