Theorem fltmul 43068

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any 𝑁 ∈ ℕ₀, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltmul.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltmul.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltmul	⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁))

Proof of Theorem fltmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltmul.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		fltmul.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 14108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltmul.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 14108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltmul.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 14108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
8	3, 5, 7	adddid 11169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑𝑁) · ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁))) = (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
9		fltmul.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
10	9	oveq2d 7383	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆↑𝑁) · ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁))) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
11	8, 10	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
12	1, 4, 2	mulexpd 14123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)))
13	1, 6, 2	mulexpd 14123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁)))
14	12, 13	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = (((𝑆↑𝑁) · (𝐴↑𝑁)) + ((𝑆↑𝑁) · (𝐵↑𝑁))))
15		fltmul.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
16	1, 15, 2	mulexpd 14123	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁) = ((𝑆↑𝑁) · (𝐶↑𝑁)))
17	11, 14, 16	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 · 𝐴)↑𝑁) + ((𝑆 · 𝐵)↑𝑁)) = ((𝑆 · 𝐶)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by: (None)