Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltmul 41866
Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any ๐‘ โˆˆ โ„•0, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltmul.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
fltmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fltmul.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fltmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fltmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
fltmul.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
Assertion
Ref Expression
fltmul (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem fltmul
StepHypRef Expression
1 fltmul.s . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
2 fltmul.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2expcld 14108 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4 fltmul.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54, 2expcld 14108 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
6 fltmul.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
76, 2expcld 14108 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
83, 5, 7adddid 11235 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘))) = (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
9 fltmul.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
109oveq2d 7417 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘))) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
118, 10eqtr3d 2766 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
121, 4, 2mulexpd 14123 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
131, 6, 2mulexpd 14123 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
1412, 13oveq12d 7419 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
15 fltmul.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
161, 15, 2mulexpd 14123 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
1711, 14, 163eqtr4d 2774 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104   + caddc 11109   ยท cmul 11111  โ„•0cn0 12469  โ†‘cexp 14024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-exp 14025
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator