Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltmul 41377
Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (There does not seem to be a standard term for Fermat or Pythagorean triples extended to any ๐‘ โˆˆ โ„•0, so the label is more about the context in which this theorem is used). (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltmul.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
fltmul.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fltmul.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
fltmul.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
fltmul.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
fltmul.1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
Assertion
Ref Expression
fltmul (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))

Proof of Theorem fltmul
StepHypRef Expression
1 fltmul.s . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
2 fltmul.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
31, 2expcld 14111 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘†โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4 fltmul.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54, 2expcld 14111 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
6 fltmul.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
76, 2expcld 14111 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
83, 5, 7adddid 11238 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘))) = (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
9 fltmul.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘)) = (๐ถโ†‘๐‘))
109oveq2d 7425 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท ((๐ดโ†‘๐‘) + (๐ตโ†‘๐‘))) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
118, 10eqtr3d 2775 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
121, 4, 2mulexpd 14126 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)))
131, 6, 2mulexpd 14126 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘)))
1412, 13oveq12d 7427 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = (((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ดโ†‘๐‘)) + ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ตโ†‘๐‘))))
15 fltmul.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
161, 15, 2mulexpd 14126 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘) = ((๐‘†โ†‘๐‘) ยท (๐ถโ†‘๐‘)))
1711, 14, 163eqtr4d 2783 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘† ยท ๐ด)โ†‘๐‘) + ((๐‘† ยท ๐ต)โ†‘๐‘)) = ((๐‘† ยท ๐ถ)โ†‘๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator