Theorem expcld 14099

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14032	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  absexpz  15258  binomlem  15785  incexclem  15792  incexc  15793  incexc2  15794  geoserg  15822  pwdif  15824  pwm1geoser  15825  geolim  15826  geolim2  15827  geo2sum2  15830  geomulcvg  15832  bpolycl  16008  bpolydiflem  16010  efaddlem  16049  oexpneg  16305  pwp1fsum  16351  oddpwp1fsum  16352  cphipval  25228  dvexp3  25963  itgpowd  26035  ply1termlem  26186  dgrcolem2  26257  dvply1  26268  aareccl  26310  aalioulem1  26316  taylfvallem1  26340  tayl0  26345  dvtaylp  26353  taylthlem2  26357  radcnvlem1  26396  pserulm  26405  logtayl  26642  cxpeq  26739  atantayl2  26920  atantayl3  26921  dfef2  26952  ftalem1  27054  ftalem2  27055  ftalem5  27058  basellem4  27065  logexprlim  27206  nrt2irr  30561  psgnfzto1st  33186  fldext2rspun  33866  fldext2chn  33912  2sqr3minply  33964  cos9thpiminplylem2  33967  madjusmdetlem4  34014  oddpwdc  34538  eulerpartlemgs2  34564  signsplypnf  34734  signsply0  34735  breprexplemc  34816  breprexpnat  34818  bcprod  35966  knoppcnlem4  36802  knoppcnlem10  36808  knoppndvlem2  36819  knoppndvlem6  36823  knoppndvlem7  36824  knoppndvlem8  36825  knoppndvlem9  36826  knoppndvlem10  36827  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem17  36834  lcmineqlem8  42521  lcmineqlem10  42523  lcmineqlem12  42525  dvrelogpow2b  42553  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p7  42559  aks4d1p1  42561  2ap1caineq  42630  nicomachus  42789  exp11d  42803  dffltz  43084  fltmul  43085  fltdiv  43086  fltaccoprm  43090  flt4lem6  43108  fltltc  43111  fltnltalem  43112  3cubeslem3l  43135  3cubeslem3r  43136  3cubeslem4  43138  jm2.18  43433  jm2.22  43440  jm2.23  43441  radcnvrat  44758  binomcxplemnn0  44793  binomcxplemnotnn0  44800  expcnfg  46036  fprodexp  46039  climexp  46050  dvsinexp  46354  dvxpaek  46383  dvnxpaek  46385  ibliccsinexp  46394  iblioosinexp  46396  itgsinexplem1  46397  itgsinexp  46398  iblsplit  46409  stoweidlem1  46444  stoweidlem7  46450  wallispi2lem2  46515  wallispi2  46516  stirlinglem3  46519  stirlinglem4  46520  stirlinglem5  46521  stirlinglem7  46523  stirlinglem8  46524  stirlinglem10  46526  stirlinglem11  46527  stirlinglem13  46529  stirlinglem14  46530  stirlinglem15  46531  elaa2lem  46676  etransclem1  46678  etransclem4  46681  etransclem8  46685  etransclem18  46695  etransclem20  46697  etransclem21  46698  etransclem23  46700  etransclem35  46712  etransclem41  46718  etransclem46  46723  etransclem48  46725  sin3t  47334  cos3t  47335  sin5tlem1  47336  sin5tlem2  47337  sin5tlem3  47338  sin5tlem4  47339  sin5tlem5  47340  2pwp1prm  48067  lighneallem4  48088  oexpnegALTV  48168  fppr2odd  48222  altgsumbcALT  48844  dignn0flhalflem1  49106  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111