Theorem expcld 14187

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-seq 14044  df-exp 14104

This theorem is referenced by:  absexpz  15345  binomlem  15866  incexclem  15873  incexc  15874  incexc2  15875  geoserg  15903  pwdif  15905  pwm1geoser  15906  geolim  15907  geolim2  15908  geo2sum2  15911  geomulcvg  15913  bpolycl  16089  bpolydiflem  16091  efaddlem  16130  oexpneg  16383  pwp1fsum  16429  oddpwp1fsum  16430  cphipval  25278  dvexp3  26017  itgpowd  26092  ply1termlem  26243  dgrcolem2  26315  dvply1  26326  aareccl  26369  aalioulem1  26375  taylfvallem1  26399  tayl0  26404  dvtaylp  26413  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  radcnvlem1  26457  pserulm  26466  logtayl  26703  cxpeq  26801  atantayl2  26982  atantayl3  26983  dfef2  27015  ftalem1  27117  ftalem2  27118  ftalem5  27121  basellem4  27128  logexprlim  27270  nrt2irr  30493  psgnfzto1st  33126  fldext2rspun  33733  fldext2chn  33770  2sqr3minply  33792  madjusmdetlem4  33830  oddpwdc  34357  eulerpartlemgs2  34383  signsplypnf  34566  signsply0  34567  breprexplemc  34648  breprexpnat  34650  bcprod  35739  knoppcnlem4  36498  knoppcnlem10  36504  knoppndvlem2  36515  knoppndvlem6  36519  knoppndvlem7  36520  knoppndvlem8  36521  knoppndvlem9  36522  knoppndvlem10  36523  knoppndvlem14  36527  knoppndvlem17  36530  lcmineqlem8  42038  lcmineqlem10  42040  lcmineqlem12  42042  dvrelogpow2b  42070  aks4d1p1p6  42075  aks4d1p1p7  42076  aks4d1p1  42078  2ap1caineq  42147  nicomachus  42351  exp11d  42366  dffltz  42649  fltmul  42650  fltdiv  42651  fltaccoprm  42655  flt4lem6  42673  fltltc  42676  fltnltalem  42677  3cubeslem3l  42702  3cubeslem3r  42703  3cubeslem4  42705  jm2.18  43005  jm2.22  43012  jm2.23  43013  radcnvrat  44338  binomcxplemnn0  44373  binomcxplemnotnn0  44380  expcnfg  45611  fprodexp  45614  climexp  45625  dvsinexp  45931  dvxpaek  45960  dvnxpaek  45962  ibliccsinexp  45971  iblioosinexp  45973  itgsinexplem1  45974  itgsinexp  45975  iblsplit  45986  stoweidlem1  46021  stoweidlem7  46027  wallispi2lem2  46092  wallispi2  46093  stirlinglem3  46096  stirlinglem4  46097  stirlinglem5  46098  stirlinglem7  46100  stirlinglem8  46101  stirlinglem10  46103  stirlinglem11  46104  stirlinglem13  46106  stirlinglem14  46107  stirlinglem15  46108  elaa2lem  46253  etransclem1  46255  etransclem4  46258  etransclem8  46262  etransclem18  46272  etransclem20  46274  etransclem21  46275  etransclem23  46277  etransclem35  46289  etransclem41  46295  etransclem46  46300  etransclem48  46302  2pwp1prm  47581  lighneallem4  47602  oexpnegALTV  47669  fppr2odd  47723  altgsumbcALT  48274  dignn0flhalflem1  48541  nn0sumshdiglemA  48545  nn0sumshdiglemB  48546