Theorem expcld 14329

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14262	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℕ₀cn0 12646  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  absexpz  15515  binomlem  16042  incexclem  16049  incexc  16050  incexc2  16051  geoserg  16079  pwdif  16081  pwm1geoser  16082  geolim  16083  geolim2  16084  geo2sum2  16087  geomulcvg  16089  bpolycl  16262  bpolydiflem  16264  efaddlem  16303  oexpneg  16559  pwp1fsum  16605  oddpwp1fsum  16606  cphipval  25619  dvexp3  26353  itgpowd  26425  ply1termlem  26576  dgrcolem2  26648  dvply1  26660  aareccl  26710  aalioulem1  26716  taylfvallem1  26741  tayl0  26746  dvtaylp  26754  taylthlem2  26758  radcnvlem1  26797  pserulm  26806  logtayl  27045  cxpeq  27142  atantayl2  27323  atantayl3  27324  dfef2  27355  ftalem1  27457  ftalem2  27458  ftalem5  27461  basellem4  27468  logexprlim  27609  fltdiv  28025  fltaccoprm  28029  flt4lem6  28045  nrt2irr  31131  psgnfzto1st  33765  fldext2rspun  34425  fldext2chn  34471  2sqr3minply  34523  cos9thpiminplylem2  34526  madjusmdetlem4  34573  oddpwdc  35097  eulerpartlemgs2  35123  signsplypnf  35290  signsply0  35291  breprexplemc  35372  breprexpnat  35374  bcprod  36718  knoppcnlem4  37577  knoppcnlem10  37583  knoppndvlem2  37594  knoppndvlem6  37598  knoppndvlem7  37599  knoppndvlem8  37600  knoppndvlem9  37601  knoppndvlem10  37602  knoppndvlem14  37606  knoppndvlem17  37609  lcmineqlem8  43352  lcmineqlem10  43354  lcmineqlem12  43356  dvrelogpow2b  43384  aks4d1p1p6  43389  aks4d1p1p7  43390  aks4d1p1  43392  2ap1caineq  43461  nicomachus  43635  exp11d  43649  dffltz  43936  fltmul  43937  fltltc  43938  fltnltalem  43939  3cubeslem3l  43962  3cubeslem3r  43963  3cubeslem4  43965  jm2.18  44261  jm2.22  44268  jm2.23  44269  radcnvrat  45559  binomcxplemnn0  45594  binomcxplemnotnn0  45601  expcnfg  46876  fprodexp  46879  climexp  46890  dvsinexp  47194  dvxpaek  47223  dvnxpaek  47225  ibliccsinexp  47234  iblioosinexp  47236  itgsinexplem1  47237  itgsinexp  47238  iblsplit  47249  stoweidlem1  47284  stoweidlem7  47290  wallispi2lem2  47355  wallispi2  47356  stirlinglem3  47359  stirlinglem4  47360  stirlinglem5  47361  stirlinglem7  47363  stirlinglem8  47364  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  stirlinglem13  47369  stirlinglem14  47370  stirlinglem15  47371  elaa2lem  47516  etransclem1  47518  etransclem4  47521  etransclem8  47525  etransclem18  47535  etransclem20  47537  etransclem21  47538  etransclem23  47540  etransclem35  47552  etransclem41  47558  etransclem46  47563  etransclem48  47565  sin3t  48190  cos3t  48191  sin5tlem1  48192  sin5tlem2  48193  sin5tlem3  48194  sin5tlem4  48195  sin5tlem5  48196  2pwp1prm  48947  lighneallem4  48968  oexpnegALTV  49048  fppr2odd  49102  linplyfv  49711  altgsumbcALT  49796  dignn0flhalflem1  50058  nn0sumshdiglemA  50062  nn0sumshdiglemB  50063