Theorem expcld 14102

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14035	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  ℕ₀cn0 12431  ↑cexp 14017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-seq 13958  df-exp 14018

This theorem is referenced by:  absexpz  15261  binomlem  15788  incexclem  15795  incexc  15796  incexc2  15797  geoserg  15825  pwdif  15827  pwm1geoser  15828  geolim  15829  geolim2  15830  geo2sum2  15833  geomulcvg  15835  bpolycl  16011  bpolydiflem  16013  efaddlem  16052  oexpneg  16308  pwp1fsum  16354  oddpwp1fsum  16355  cphipval  25223  dvexp3  25958  itgpowd  26030  ply1termlem  26181  dgrcolem2  26252  dvply1  26263  aareccl  26306  aalioulem1  26312  taylfvallem1  26336  tayl0  26341  dvtaylp  26350  taylthlem2  26354  taylthlem2OLD  26355  radcnvlem1  26394  pserulm  26403  logtayl  26640  cxpeq  26737  atantayl2  26918  atantayl3  26919  dfef2  26951  ftalem1  27053  ftalem2  27054  ftalem5  27057  basellem4  27064  logexprlim  27205  nrt2irr  30561  psgnfzto1st  33184  fldext2rspun  33845  fldext2chn  33891  2sqr3minply  33943  cos9thpiminplylem2  33946  madjusmdetlem4  33993  oddpwdc  34517  eulerpartlemgs2  34543  signsplypnf  34713  signsply0  34714  breprexplemc  34795  breprexpnat  34797  bcprod  35939  knoppcnlem4  36775  knoppcnlem10  36781  knoppndvlem2  36792  knoppndvlem6  36796  knoppndvlem7  36797  knoppndvlem8  36798  knoppndvlem9  36799  knoppndvlem10  36800  knoppndvlem14  36804  knoppndvlem17  36807  lcmineqlem8  42492  lcmineqlem10  42494  lcmineqlem12  42496  dvrelogpow2b  42524  aks4d1p1p6  42529  aks4d1p1p7  42530  aks4d1p1  42532  2ap1caineq  42601  nicomachus  42761  exp11d  42775  dffltz  43084  fltmul  43085  fltdiv  43086  fltaccoprm  43090  flt4lem6  43108  fltltc  43111  fltnltalem  43112  3cubeslem3l  43135  3cubeslem3r  43136  3cubeslem4  43138  jm2.18  43437  jm2.22  43444  jm2.23  43445  radcnvrat  44762  binomcxplemnn0  44797  binomcxplemnotnn0  44804  expcnfg  46042  fprodexp  46045  climexp  46056  dvsinexp  46360  dvxpaek  46389  dvnxpaek  46391  ibliccsinexp  46400  iblioosinexp  46402  itgsinexplem1  46403  itgsinexp  46404  iblsplit  46415  stoweidlem1  46450  stoweidlem7  46456  wallispi2lem2  46521  wallispi2  46522  stirlinglem3  46525  stirlinglem4  46526  stirlinglem5  46527  stirlinglem7  46529  stirlinglem8  46530  stirlinglem10  46532  stirlinglem11  46533  stirlinglem13  46535  stirlinglem14  46536  stirlinglem15  46537  elaa2lem  46682  etransclem1  46684  etransclem4  46687  etransclem8  46691  etransclem18  46701  etransclem20  46703  etransclem21  46704  etransclem23  46706  etransclem35  46718  etransclem41  46724  etransclem46  46729  etransclem48  46731  sin3t  47338  cos3t  47339  sin5tlem1  47340  sin5tlem2  47341  sin5tlem3  47342  sin5tlem4  47343  sin5tlem5  47344  2pwp1prm  48067  lighneallem4  48088  oexpnegALTV  48168  fppr2odd  48222  altgsumbcALT  48844  dignn0flhalflem1  49106  nn0sumshdiglemA  49110  nn0sumshdiglemB  49111