Theorem expcld 14169

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14102	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  ℕ₀cn0 12506  ↑cexp 14084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-exp 14085

This theorem is referenced by:  absexpz  15329  binomlem  15850  incexclem  15857  incexc  15858  incexc2  15859  geoserg  15887  pwdif  15889  pwm1geoser  15890  geolim  15891  geolim2  15892  geo2sum2  15895  geomulcvg  15897  bpolycl  16073  bpolydiflem  16075  efaddlem  16114  oexpneg  16369  pwp1fsum  16415  oddpwp1fsum  16416  cphipval  25200  dvexp3  25939  itgpowd  26014  ply1termlem  26165  dgrcolem2  26237  dvply1  26248  aareccl  26291  aalioulem1  26297  taylfvallem1  26321  tayl0  26326  dvtaylp  26335  taylthlem2  26339  taylthlem2OLD  26340  radcnvlem1  26379  pserulm  26388  logtayl  26626  cxpeq  26724  atantayl2  26905  atantayl3  26906  dfef2  26938  ftalem1  27040  ftalem2  27041  ftalem5  27044  basellem4  27051  logexprlim  27193  nrt2irr  30459  psgnfzto1st  33121  fldext2rspun  33728  fldext2chn  33767  2sqr3minply  33819  cos9thpiminplylem2  33822  madjusmdetlem4  33866  oddpwdc  34391  eulerpartlemgs2  34417  signsplypnf  34587  signsply0  34588  breprexplemc  34669  breprexpnat  34671  bcprod  35760  knoppcnlem4  36519  knoppcnlem10  36525  knoppndvlem2  36536  knoppndvlem6  36540  knoppndvlem7  36541  knoppndvlem8  36542  knoppndvlem9  36543  knoppndvlem10  36544  knoppndvlem14  36548  knoppndvlem17  36551  lcmineqlem8  42054  lcmineqlem10  42056  lcmineqlem12  42058  dvrelogpow2b  42086  aks4d1p1p6  42091  aks4d1p1p7  42092  aks4d1p1  42094  2ap1caineq  42163  nicomachus  42330  exp11d  42344  dffltz  42632  fltmul  42633  fltdiv  42634  fltaccoprm  42638  flt4lem6  42656  fltltc  42659  fltnltalem  42660  3cubeslem3l  42684  3cubeslem3r  42685  3cubeslem4  42687  jm2.18  42987  jm2.22  42994  jm2.23  42995  radcnvrat  44313  binomcxplemnn0  44348  binomcxplemnotnn0  44355  expcnfg  45600  fprodexp  45603  climexp  45614  dvsinexp  45920  dvxpaek  45949  dvnxpaek  45951  ibliccsinexp  45960  iblioosinexp  45962  itgsinexplem1  45963  itgsinexp  45964  iblsplit  45975  stoweidlem1  46010  stoweidlem7  46016  wallispi2lem2  46081  wallispi2  46082  stirlinglem3  46085  stirlinglem4  46086  stirlinglem5  46087  stirlinglem7  46089  stirlinglem8  46090  stirlinglem10  46092  stirlinglem11  46093  stirlinglem13  46095  stirlinglem14  46096  stirlinglem15  46097  elaa2lem  46242  etransclem1  46244  etransclem4  46247  etransclem8  46251  etransclem18  46261  etransclem20  46263  etransclem21  46264  etransclem23  46266  etransclem35  46278  etransclem41  46284  etransclem46  46289  etransclem48  46291  2pwp1prm  47583  lighneallem4  47604  oexpnegALTV  47671  fppr2odd  47725  altgsumbcALT  48308  dignn0flhalflem1  48575  nn0sumshdiglemA  48579  nn0sumshdiglemB  48580