Theorem expcld 14067

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14000	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℕ₀cn0 12399  ↑cexp 13982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-seq 13923  df-exp 13983

This theorem is referenced by:  absexpz  15226  binomlem  15750  incexclem  15757  incexc  15758  incexc2  15759  geoserg  15787  pwdif  15789  pwm1geoser  15790  geolim  15791  geolim2  15792  geo2sum2  15795  geomulcvg  15797  bpolycl  15973  bpolydiflem  15975  efaddlem  16014  oexpneg  16270  pwp1fsum  16316  oddpwp1fsum  16317  cphipval  25197  dvexp3  25936  itgpowd  26011  ply1termlem  26162  dgrcolem2  26234  dvply1  26245  aareccl  26288  aalioulem1  26294  taylfvallem1  26318  tayl0  26323  dvtaylp  26332  taylthlem2  26336  taylthlem2OLD  26337  radcnvlem1  26376  pserulm  26385  logtayl  26623  cxpeq  26721  atantayl2  26902  atantayl3  26903  dfef2  26935  ftalem1  27037  ftalem2  27038  ftalem5  27041  basellem4  27048  logexprlim  27190  nrt2irr  30497  psgnfzto1st  33136  fldext2rspun  33788  fldext2chn  33834  2sqr3minply  33886  cos9thpiminplylem2  33889  madjusmdetlem4  33936  oddpwdc  34460  eulerpartlemgs2  34486  signsplypnf  34656  signsply0  34657  breprexplemc  34738  breprexpnat  34740  bcprod  35881  knoppcnlem4  36639  knoppcnlem10  36645  knoppndvlem2  36656  knoppndvlem6  36660  knoppndvlem7  36661  knoppndvlem8  36662  knoppndvlem9  36663  knoppndvlem10  36664  knoppndvlem14  36668  knoppndvlem17  36671  lcmineqlem8  42229  lcmineqlem10  42231  lcmineqlem12  42233  dvrelogpow2b  42261  aks4d1p1p6  42266  aks4d1p1p7  42267  aks4d1p1  42269  2ap1caineq  42338  nicomachus  42509  exp11d  42523  dffltz  42819  fltmul  42820  fltdiv  42821  fltaccoprm  42825  flt4lem6  42843  fltltc  42846  fltnltalem  42847  3cubeslem3l  42870  3cubeslem3r  42871  3cubeslem4  42873  jm2.18  43172  jm2.22  43179  jm2.23  43180  radcnvrat  44497  binomcxplemnn0  44532  binomcxplemnotnn0  44539  expcnfg  45779  fprodexp  45782  climexp  45793  dvsinexp  46097  dvxpaek  46126  dvnxpaek  46128  ibliccsinexp  46137  iblioosinexp  46139  itgsinexplem1  46140  itgsinexp  46141  iblsplit  46152  stoweidlem1  46187  stoweidlem7  46193  wallispi2lem2  46258  wallispi2  46259  stirlinglem3  46262  stirlinglem4  46263  stirlinglem5  46264  stirlinglem7  46266  stirlinglem8  46267  stirlinglem10  46269  stirlinglem11  46270  stirlinglem13  46272  stirlinglem14  46273  stirlinglem15  46274  elaa2lem  46419  etransclem1  46421  etransclem4  46424  etransclem8  46428  etransclem18  46438  etransclem20  46440  etransclem21  46441  etransclem23  46443  etransclem35  46455  etransclem41  46461  etransclem46  46466  etransclem48  46468  2pwp1prm  47777  lighneallem4  47798  oexpnegALTV  47865  fppr2odd  47919  altgsumbcALT  48541  dignn0flhalflem1  48803  nn0sumshdiglemA  48807  nn0sumshdiglemB  48808