Theorem expcld 14069

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  absexpz  15228  binomlem  15752  incexclem  15759  incexc  15760  incexc2  15761  geoserg  15789  pwdif  15791  pwm1geoser  15792  geolim  15793  geolim2  15794  geo2sum2  15797  geomulcvg  15799  bpolycl  15975  bpolydiflem  15977  efaddlem  16016  oexpneg  16272  pwp1fsum  16318  oddpwp1fsum  16319  cphipval  25199  dvexp3  25938  itgpowd  26013  ply1termlem  26164  dgrcolem2  26236  dvply1  26247  aareccl  26290  aalioulem1  26296  taylfvallem1  26320  tayl0  26325  dvtaylp  26334  taylthlem2  26338  taylthlem2OLD  26339  radcnvlem1  26378  pserulm  26387  logtayl  26625  cxpeq  26723  atantayl2  26904  atantayl3  26905  dfef2  26937  ftalem1  27039  ftalem2  27040  ftalem5  27043  basellem4  27050  logexprlim  27192  nrt2irr  30548  psgnfzto1st  33187  fldext2rspun  33839  fldext2chn  33885  2sqr3minply  33937  cos9thpiminplylem2  33940  madjusmdetlem4  33987  oddpwdc  34511  eulerpartlemgs2  34537  signsplypnf  34707  signsply0  34708  breprexplemc  34789  breprexpnat  34791  bcprod  35932  knoppcnlem4  36696  knoppcnlem10  36702  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem6  36717  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem8  36719  knoppndvlem9  36720  knoppndvlem10  36721  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem17  36728  lcmineqlem8  42300  lcmineqlem10  42302  lcmineqlem12  42304  dvrelogpow2b  42332  aks4d1p1p6  42337  aks4d1p1p7  42338  aks4d1p1  42340  2ap1caineq  42409  nicomachus  42577  exp11d  42591  dffltz  42887  fltmul  42888  fltdiv  42889  fltaccoprm  42893  flt4lem6  42911  fltltc  42914  fltnltalem  42915  3cubeslem3l  42938  3cubeslem3r  42939  3cubeslem4  42941  jm2.18  43240  jm2.22  43247  jm2.23  43248  radcnvrat  44565  binomcxplemnn0  44600  binomcxplemnotnn0  44607  expcnfg  45847  fprodexp  45850  climexp  45861  dvsinexp  46165  dvxpaek  46194  dvnxpaek  46196  ibliccsinexp  46205  iblioosinexp  46207  itgsinexplem1  46208  itgsinexp  46209  iblsplit  46220  stoweidlem1  46255  stoweidlem7  46261  wallispi2lem2  46326  wallispi2  46327  stirlinglem3  46330  stirlinglem4  46331  stirlinglem5  46332  stirlinglem7  46334  stirlinglem8  46335  stirlinglem10  46337  stirlinglem11  46338  stirlinglem13  46340  stirlinglem14  46341  stirlinglem15  46342  elaa2lem  46487  etransclem1  46489  etransclem4  46492  etransclem8  46496  etransclem18  46506  etransclem20  46508  etransclem21  46509  etransclem23  46511  etransclem35  46523  etransclem41  46529  etransclem46  46534  etransclem48  46536  2pwp1prm  47845  lighneallem4  47866  oexpnegALTV  47933  fppr2odd  47987  altgsumbcALT  48609  dignn0flhalflem1  48871  nn0sumshdiglemA  48875  nn0sumshdiglemB  48876