Theorem expcld 13716

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13653	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℕ₀cn0 12090  ↑cexp 13635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-exp 13636

This theorem is referenced by:  absexpz  14869  binomlem  15393  incexclem  15400  incexc  15401  incexc2  15402  geoserg  15430  pwdif  15432  pwm1geoser  15433  geolim  15434  geolim2  15435  geo2sum2  15438  geomulcvg  15440  bpolycl  15614  bpolydiflem  15616  efaddlem  15654  oexpneg  15906  pwp1fsum  15952  oddpwp1fsum  15953  cphipval  24140  dvexp3  24875  itgpowd  24947  ply1termlem  25097  dgrcolem2  25168  dvply1  25177  aareccl  25219  aalioulem1  25225  taylfvallem1  25249  tayl0  25254  dvtaylp  25262  taylthlem2  25266  radcnvlem1  25305  pserulm  25314  logtayl  25548  cxpeq  25643  atantayl2  25821  atantayl3  25822  dfef2  25853  ftalem1  25955  ftalem2  25956  ftalem5  25959  basellem4  25966  logexprlim  26106  psgnfzto1st  31091  madjusmdetlem4  31494  oddpwdc  32033  eulerpartlemgs2  32059  signsplypnf  32241  signsply0  32242  breprexplemc  32324  breprexpnat  32326  bcprod  33422  knoppcnlem4  34413  knoppcnlem10  34419  knoppndvlem2  34430  knoppndvlem6  34434  knoppndvlem7  34435  knoppndvlem8  34436  knoppndvlem9  34437  knoppndvlem10  34438  knoppndvlem14  34442  knoppndvlem17  34445  lcmineqlem8  39778  lcmineqlem10  39780  lcmineqlem12  39782  dvrelogpow2b  39809  aks4d1p1p6  39814  aks4d1p1p7  39815  aks4d1p1  39817  2ap1caineq  39823  exp11d  40033  dffltz  40174  fltmul  40175  fltdiv  40176  fltaccoprm  40180  flt4lem6  40198  fltltc  40201  fltnltalem  40202  3cubeslem3l  40211  3cubeslem3r  40212  3cubeslem4  40214  jm2.18  40513  jm2.22  40520  jm2.23  40521  radcnvrat  41605  binomcxplemnn0  41640  binomcxplemnotnn0  41647  expcnfg  42807  fprodexp  42810  climexp  42821  dvsinexp  43127  dvxpaek  43156  dvnxpaek  43158  ibliccsinexp  43167  iblioosinexp  43169  itgsinexplem1  43170  itgsinexp  43171  iblsplit  43182  stoweidlem1  43217  stoweidlem7  43223  wallispi2lem2  43288  wallispi2  43289  stirlinglem3  43292  stirlinglem4  43293  stirlinglem5  43294  stirlinglem7  43296  stirlinglem8  43297  stirlinglem10  43299  stirlinglem11  43300  stirlinglem13  43302  stirlinglem14  43303  stirlinglem15  43304  elaa2lem  43449  etransclem1  43451  etransclem4  43454  etransclem8  43458  etransclem18  43468  etransclem20  43470  etransclem21  43471  etransclem23  43473  etransclem35  43485  etransclem41  43491  etransclem46  43496  etransclem48  43498  2pwp1prm  44714  lighneallem4  44735  oexpnegALTV  44802  fppr2odd  44856  altgsumbcALT  45362  dignn0flhalflem1  45634  nn0sumshdiglemA  45638  nn0sumshdiglemB  45639