Theorem expcld 14202

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14135	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  ℕ₀cn0 12521  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  absexpz  15382  binomlem  15908  incexclem  15915  incexc  15916  incexc2  15917  geoserg  15945  pwdif  15947  pwm1geoser  15948  geolim  15949  geolim2  15950  geo2sum2  15953  geomulcvg  15955  bpolycl  16130  bpolydiflem  16132  efaddlem  16171  oexpneg  16427  pwp1fsum  16473  oddpwp1fsum  16474  cphipval  25455  dvexp3  26190  itgpowd  26262  ply1termlem  26413  dgrcolem2  26484  dvply1  26498  aareccl  26542  aalioulem1  26548  taylfvallem1  26573  tayl0  26578  dvtaylp  26586  taylthlem2  26590  radcnvlem1  26629  pserulm  26638  logtayl  26878  cxpeq  26975  atantayl2  27156  atantayl3  27157  dfef2  27188  ftalem1  27290  ftalem2  27291  ftalem5  27294  basellem4  27301  logexprlim  27442  nrt2irr  30897  psgnfzto1st  33491  fldext2rspun  34138  fldext2chn  34184  2sqr3minply  34236  cos9thpiminplylem2  34239  madjusmdetlem4  34286  oddpwdc  34811  eulerpartlemgs2  34837  signsplypnf  35004  signsply0  35005  breprexplemc  35086  breprexpnat  35088  bcprod  36269  knoppcnlem4  37144  knoppcnlem10  37150  knoppndvlem2  37161  knoppndvlem6  37165  knoppndvlem7  37166  knoppndvlem8  37167  knoppndvlem9  37168  knoppndvlem10  37169  knoppndvlem14  37173  knoppndvlem17  37176  lcmineqlem8  42863  lcmineqlem10  42865  lcmineqlem12  42867  dvrelogpow2b  42895  aks4d1p1p6  42900  aks4d1p1p7  42901  aks4d1p1  42903  2ap1caineq  42972  nicomachus  43133  exp11d  43147  dffltz  43426  fltmul  43427  fltdiv  43428  fltaccoprm  43432  flt4lem6  43450  fltltc  43453  fltnltalem  43454  3cubeslem3l  43477  3cubeslem3r  43478  3cubeslem4  43480  jm2.18  43775  jm2.22  43782  jm2.23  43783  radcnvrat  45084  binomcxplemnn0  45119  binomcxplemnotnn0  45126  expcnfg  46367  fprodexp  46370  climexp  46381  dvsinexp  46685  dvxpaek  46714  dvnxpaek  46716  ibliccsinexp  46725  iblioosinexp  46727  itgsinexplem1  46728  itgsinexp  46729  iblsplit  46740  stoweidlem1  46775  stoweidlem7  46781  wallispi2lem2  46846  wallispi2  46847  stirlinglem3  46850  stirlinglem4  46851  stirlinglem5  46852  stirlinglem7  46854  stirlinglem8  46855  stirlinglem10  46857  stirlinglem11  46858  stirlinglem13  46860  stirlinglem14  46861  stirlinglem15  46862  elaa2lem  47007  etransclem1  47009  etransclem4  47012  etransclem8  47016  etransclem18  47026  etransclem20  47028  etransclem21  47029  etransclem23  47031  etransclem35  47043  etransclem41  47049  etransclem46  47054  etransclem48  47056  sin3t  47668  cos3t  47669  sin5tlem1  47670  sin5tlem2  47671  sin5tlem3  47672  sin5tlem4  47673  sin5tlem5  47674  2pwp1prm  48401  lighneallem4  48422  oexpnegALTV  48502  fppr2odd  48556  altgsumbcALT  49192  dignn0flhalflem1  49454  nn0sumshdiglemA  49458  nn0sumshdiglemB  49459