Theorem expcld 13792

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13728	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  absexpz  14945  binomlem  15469  incexclem  15476  incexc  15477  incexc2  15478  geoserg  15506  pwdif  15508  pwm1geoser  15509  geolim  15510  geolim2  15511  geo2sum2  15514  geomulcvg  15516  bpolycl  15690  bpolydiflem  15692  efaddlem  15730  oexpneg  15982  pwp1fsum  16028  oddpwp1fsum  16029  cphipval  24312  dvexp3  25047  itgpowd  25119  ply1termlem  25269  dgrcolem2  25340  dvply1  25349  aareccl  25391  aalioulem1  25397  taylfvallem1  25421  tayl0  25426  dvtaylp  25434  taylthlem2  25438  radcnvlem1  25477  pserulm  25486  logtayl  25720  cxpeq  25815  atantayl2  25993  atantayl3  25994  dfef2  26025  ftalem1  26127  ftalem2  26128  ftalem5  26131  basellem4  26138  logexprlim  26278  psgnfzto1st  31274  madjusmdetlem4  31682  oddpwdc  32221  eulerpartlemgs2  32247  signsplypnf  32429  signsply0  32430  breprexplemc  32512  breprexpnat  32514  bcprod  33610  knoppcnlem4  34603  knoppcnlem10  34609  knoppndvlem2  34620  knoppndvlem6  34624  knoppndvlem7  34625  knoppndvlem8  34626  knoppndvlem9  34627  knoppndvlem10  34628  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem17  34635  lcmineqlem8  39972  lcmineqlem10  39974  lcmineqlem12  39976  dvrelogpow2b  40004  aks4d1p1p6  40009  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p1  40012  2ap1caineq  40029  exp11d  40246  dffltz  40387  fltmul  40388  fltdiv  40389  fltaccoprm  40393  flt4lem6  40411  fltltc  40414  fltnltalem  40415  3cubeslem3l  40424  3cubeslem3r  40425  3cubeslem4  40427  jm2.18  40726  jm2.22  40733  jm2.23  40734  radcnvrat  41821  binomcxplemnn0  41856  binomcxplemnotnn0  41863  expcnfg  43022  fprodexp  43025  climexp  43036  dvsinexp  43342  dvxpaek  43371  dvnxpaek  43373  ibliccsinexp  43382  iblioosinexp  43384  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  iblsplit  43397  stoweidlem1  43432  stoweidlem7  43438  wallispi2lem2  43503  wallispi2  43504  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem5  43509  stirlinglem7  43511  stirlinglem8  43512  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  stirlinglem13  43517  stirlinglem14  43518  stirlinglem15  43519  elaa2lem  43664  etransclem1  43666  etransclem4  43669  etransclem8  43673  etransclem18  43683  etransclem20  43685  etransclem21  43686  etransclem23  43688  etransclem35  43700  etransclem41  43706  etransclem46  43711  etransclem48  43713  2pwp1prm  44929  lighneallem4  44950  oexpnegALTV  45017  fppr2odd  45071  altgsumbcALT  45577  dignn0flhalflem1  45849  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854