Theorem expcld 13360

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℕ₀cn0 11745  ↑cexp 13279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-seq 13220  df-exp 13280

This theorem is referenced by:  absexpz  14499  binomlem  15017  incexclem  15024  incexc  15025  incexc2  15026  geoserg  15054  pwdif  15056  pwm1geoser  15057  pwm1geoserOLD  15058  geolim  15059  geolim2  15060  geo2sum2  15063  geomulcvg  15065  bpolycl  15239  bpolydiflem  15241  efaddlem  15279  oexpneg  15527  pwp1fsum  15575  oddpwp1fsum  15576  cphipval  23529  dvexp3  24258  ply1termlem  24476  dgrcolem2  24547  dvply1  24556  aareccl  24598  aalioulem1  24604  taylfvallem1  24628  tayl0  24633  dvtaylp  24641  taylthlem2  24645  radcnvlem1  24684  pserulm  24693  logtayl  24924  cxpeq  25019  atantayl2  25197  atantayl3  25198  dfef2  25230  ftalem1  25332  ftalem2  25333  ftalem5  25336  basellem4  25343  logexprlim  25483  psgnfzto1st  30669  madjusmdetlem4  30710  oddpwdc  31229  eulerpartlemgs2  31255  signsplypnf  31437  signsply0  31438  breprexplemc  31520  breprexpnat  31522  bcprod  32578  knoppcnlem4  33444  knoppcnlem10  33450  knoppndvlem2  33461  knoppndvlem6  33465  knoppndvlem7  33466  knoppndvlem8  33467  knoppndvlem9  33468  knoppndvlem10  33469  knoppndvlem14  33473  knoppndvlem17  33476  dffltz  38768  fltne  38769  fltltc  38770  fltnltalem  38771  jm2.18  39070  jm2.22  39077  jm2.23  39078  itgpowd  39306  radcnvrat  40184  binomcxplemnn0  40219  binomcxplemnotnn0  40226  expcnfg  41414  fprodexp  41417  climexp  41428  dvsinexp  41736  dvxpaek  41766  dvnxpaek  41768  ibliccsinexp  41777  iblioosinexp  41779  itgsinexplem1  41780  itgsinexp  41781  iblsplit  41792  stoweidlem1  41828  stoweidlem7  41834  wallispi2lem2  41899  wallispi2  41900  stirlinglem3  41903  stirlinglem4  41904  stirlinglem5  41905  stirlinglem7  41907  stirlinglem8  41908  stirlinglem10  41910  stirlinglem11  41911  stirlinglem13  41913  stirlinglem14  41914  stirlinglem15  41915  elaa2lem  42060  etransclem1  42062  etransclem4  42065  etransclem8  42069  etransclem18  42079  etransclem20  42081  etransclem21  42082  etransclem23  42084  etransclem35  42096  etransclem41  42102  etransclem46  42107  etransclem48  42109  2pwp1prm  43233  lighneallem4  43257  oexpnegALTV  43324  fppr2odd  43378  altgsumbcALT  43879  dignn0flhalflem1  44156  nn0sumshdiglemA  44160  nn0sumshdiglemB  44161