Theorem expcld 14143

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14077	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060

This theorem is referenced by:  absexpz  15285  binomlem  15808  incexclem  15815  incexc  15816  incexc2  15817  geoserg  15845  pwdif  15847  pwm1geoser  15848  geolim  15849  geolim2  15850  geo2sum2  15853  geomulcvg  15855  bpolycl  16029  bpolydiflem  16031  efaddlem  16070  oexpneg  16322  pwp1fsum  16368  oddpwp1fsum  16369  cphipval  25184  dvexp3  25923  itgpowd  25998  ply1termlem  26150  dgrcolem2  26222  dvply1  26231  aareccl  26274  aalioulem1  26280  taylfvallem1  26304  tayl0  26309  dvtaylp  26318  taylthlem2  26322  taylthlem2OLD  26323  radcnvlem1  26362  pserulm  26371  logtayl  26607  cxpeq  26705  atantayl2  26883  atantayl3  26884  dfef2  26916  ftalem1  27018  ftalem2  27019  ftalem5  27022  basellem4  27029  logexprlim  27171  nrt2irr  30296  psgnfzto1st  32839  madjusmdetlem4  33431  oddpwdc  33974  eulerpartlemgs2  34000  signsplypnf  34182  signsply0  34183  breprexplemc  34264  breprexpnat  34266  bcprod  35332  knoppcnlem4  35971  knoppcnlem10  35977  knoppndvlem2  35988  knoppndvlem6  35992  knoppndvlem7  35993  knoppndvlem8  35994  knoppndvlem9  35995  knoppndvlem10  35996  knoppndvlem14  36000  knoppndvlem17  36003  lcmineqlem8  41507  lcmineqlem10  41509  lcmineqlem12  41511  dvrelogpow2b  41539  aks4d1p1p6  41544  aks4d1p1p7  41545  aks4d1p1  41547  2ap1caineq  41617  nicomachus  41872  exp11d  41885  dffltz  42058  fltmul  42059  fltdiv  42060  fltaccoprm  42064  flt4lem6  42082  fltltc  42085  fltnltalem  42086  3cubeslem3l  42106  3cubeslem3r  42107  3cubeslem4  42109  jm2.18  42409  jm2.22  42416  jm2.23  42417  radcnvrat  43751  binomcxplemnn0  43786  binomcxplemnotnn0  43793  expcnfg  44979  fprodexp  44982  climexp  44993  dvsinexp  45299  dvxpaek  45328  dvnxpaek  45330  ibliccsinexp  45339  iblioosinexp  45341  itgsinexplem1  45342  itgsinexp  45343  iblsplit  45354  stoweidlem1  45389  stoweidlem7  45395  wallispi2lem2  45460  wallispi2  45461  stirlinglem3  45464  stirlinglem4  45465  stirlinglem5  45466  stirlinglem7  45468  stirlinglem8  45469  stirlinglem10  45471  stirlinglem11  45472  stirlinglem13  45474  stirlinglem14  45475  stirlinglem15  45476  elaa2lem  45621  etransclem1  45623  etransclem4  45626  etransclem8  45630  etransclem18  45640  etransclem20  45642  etransclem21  45643  etransclem23  45645  etransclem35  45657  etransclem41  45663  etransclem46  45668  etransclem48  45670  2pwp1prm  46929  lighneallem4  46950  oexpnegALTV  47017  fppr2odd  47071  altgsumbcALT  47417  dignn0flhalflem1  47688  nn0sumshdiglemA  47692  nn0sumshdiglemB  47693