Theorem expcld 14111

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  absexpz  15271  binomlem  15795  incexclem  15802  incexc  15803  incexc2  15804  geoserg  15832  pwdif  15834  pwm1geoser  15835  geolim  15836  geolim2  15837  geo2sum2  15840  geomulcvg  15842  bpolycl  16018  bpolydiflem  16020  efaddlem  16059  oexpneg  16315  pwp1fsum  16361  oddpwp1fsum  16362  cphipval  25143  dvexp3  25882  itgpowd  25957  ply1termlem  26108  dgrcolem2  26180  dvply1  26191  aareccl  26234  aalioulem1  26240  taylfvallem1  26264  tayl0  26269  dvtaylp  26278  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  radcnvlem1  26322  pserulm  26331  logtayl  26569  cxpeq  26667  atantayl2  26848  atantayl3  26849  dfef2  26881  ftalem1  26983  ftalem2  26984  ftalem5  26987  basellem4  26994  logexprlim  27136  nrt2irr  30402  psgnfzto1st  33062  fldext2rspun  33677  fldext2chn  33718  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem2  33773  madjusmdetlem4  33820  oddpwdc  34345  eulerpartlemgs2  34371  signsplypnf  34541  signsply0  34542  breprexplemc  34623  breprexpnat  34625  bcprod  35725  knoppcnlem4  36484  knoppcnlem10  36490  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem6  36505  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem8  36507  knoppndvlem9  36508  knoppndvlem10  36509  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem17  36516  lcmineqlem8  42024  lcmineqlem10  42026  lcmineqlem12  42028  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1  42064  2ap1caineq  42133  nicomachus  42300  exp11d  42314  dffltz  42622  fltmul  42623  fltdiv  42624  fltaccoprm  42628  flt4lem6  42646  fltltc  42649  fltnltalem  42650  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  3cubeslem4  42677  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  radcnvrat  44303  binomcxplemnn0  44338  binomcxplemnotnn0  44345  expcnfg  45589  fprodexp  45592  climexp  45603  dvsinexp  45909  dvxpaek  45938  dvnxpaek  45940  ibliccsinexp  45949  iblioosinexp  45951  itgsinexplem1  45952  itgsinexp  45953  iblsplit  45964  stoweidlem1  45999  stoweidlem7  46005  wallispi2lem2  46070  wallispi2  46071  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  stirlinglem8  46079  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  elaa2lem  46231  etransclem1  46233  etransclem4  46236  etransclem8  46240  etransclem18  46250  etransclem20  46252  etransclem21  46253  etransclem23  46255  etransclem35  46267  etransclem41  46273  etransclem46  46278  etransclem48  46280  2pwp1prm  47590  lighneallem4  47611  oexpnegALTV  47678  fppr2odd  47732  altgsumbcALT  48341  dignn0flhalflem1  48604  nn0sumshdiglemA  48608  nn0sumshdiglemB  48609