Theorem expcld 13864

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  absexpz  15017  binomlem  15541  incexclem  15548  incexc  15549  incexc2  15550  geoserg  15578  pwdif  15580  pwm1geoser  15581  geolim  15582  geolim2  15583  geo2sum2  15586  geomulcvg  15588  bpolycl  15762  bpolydiflem  15764  efaddlem  15802  oexpneg  16054  pwp1fsum  16100  oddpwp1fsum  16101  cphipval  24407  dvexp3  25142  itgpowd  25214  ply1termlem  25364  dgrcolem2  25435  dvply1  25444  aareccl  25486  aalioulem1  25492  taylfvallem1  25516  tayl0  25521  dvtaylp  25529  taylthlem2  25533  radcnvlem1  25572  pserulm  25581  logtayl  25815  cxpeq  25910  atantayl2  26088  atantayl3  26089  dfef2  26120  ftalem1  26222  ftalem2  26223  ftalem5  26226  basellem4  26233  logexprlim  26373  psgnfzto1st  31372  madjusmdetlem4  31780  oddpwdc  32321  eulerpartlemgs2  32347  signsplypnf  32529  signsply0  32530  breprexplemc  32612  breprexpnat  32614  bcprod  33704  knoppcnlem4  34676  knoppcnlem10  34682  knoppndvlem2  34693  knoppndvlem6  34697  knoppndvlem7  34698  knoppndvlem8  34699  knoppndvlem9  34700  knoppndvlem10  34701  knoppndvlem14  34705  knoppndvlem17  34708  lcmineqlem8  40044  lcmineqlem10  40046  lcmineqlem12  40048  dvrelogpow2b  40076  aks4d1p1p6  40081  aks4d1p1p7  40082  aks4d1p1  40084  2ap1caineq  40101  exp11d  40325  dffltz  40471  fltmul  40472  fltdiv  40473  fltaccoprm  40477  flt4lem6  40495  fltltc  40498  fltnltalem  40499  3cubeslem3l  40508  3cubeslem3r  40509  3cubeslem4  40511  jm2.18  40810  jm2.22  40817  jm2.23  40818  radcnvrat  41932  binomcxplemnn0  41967  binomcxplemnotnn0  41974  expcnfg  43132  fprodexp  43135  climexp  43146  dvsinexp  43452  dvxpaek  43481  dvnxpaek  43483  ibliccsinexp  43492  iblioosinexp  43494  itgsinexplem1  43495  itgsinexp  43496  iblsplit  43507  stoweidlem1  43542  stoweidlem7  43548  wallispi2lem2  43613  wallispi2  43614  stirlinglem3  43617  stirlinglem4  43618  stirlinglem5  43619  stirlinglem7  43621  stirlinglem8  43622  stirlinglem10  43624  stirlinglem11  43625  stirlinglem13  43627  stirlinglem14  43628  stirlinglem15  43629  elaa2lem  43774  etransclem1  43776  etransclem4  43779  etransclem8  43783  etransclem18  43793  etransclem20  43795  etransclem21  43796  etransclem23  43798  etransclem35  43810  etransclem41  43816  etransclem46  43821  etransclem48  43823  2pwp1prm  45041  lighneallem4  45062  oexpnegALTV  45129  fppr2odd  45183  altgsumbcALT  45689  dignn0flhalflem1  45961  nn0sumshdiglemA  45965  nn0sumshdiglemB  45966