Theorem expcld 14111

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14045	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℕ₀cn0 12472  ↑cexp 14027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028

This theorem is referenced by:  absexpz  15252  binomlem  15775  incexclem  15782  incexc  15783  incexc2  15784  geoserg  15812  pwdif  15814  pwm1geoser  15815  geolim  15816  geolim2  15817  geo2sum2  15820  geomulcvg  15822  bpolycl  15996  bpolydiflem  15998  efaddlem  16036  oexpneg  16288  pwp1fsum  16334  oddpwp1fsum  16335  cphipval  24760  dvexp3  25495  itgpowd  25567  ply1termlem  25717  dgrcolem2  25788  dvply1  25797  aareccl  25839  aalioulem1  25845  taylfvallem1  25869  tayl0  25874  dvtaylp  25882  taylthlem2  25886  radcnvlem1  25925  pserulm  25934  logtayl  26168  cxpeq  26265  atantayl2  26443  atantayl3  26444  dfef2  26475  ftalem1  26577  ftalem2  26578  ftalem5  26581  basellem4  26588  logexprlim  26728  nrt2irr  29757  psgnfzto1st  32295  madjusmdetlem4  32841  oddpwdc  33384  eulerpartlemgs2  33410  signsplypnf  33592  signsply0  33593  breprexplemc  33675  breprexpnat  33677  bcprod  34739  knoppcnlem4  35420  knoppcnlem10  35426  knoppndvlem2  35437  knoppndvlem6  35441  knoppndvlem7  35442  knoppndvlem8  35443  knoppndvlem9  35444  knoppndvlem10  35445  knoppndvlem14  35449  knoppndvlem17  35452  lcmineqlem8  40949  lcmineqlem10  40951  lcmineqlem12  40953  dvrelogpow2b  40981  aks4d1p1p6  40986  aks4d1p1p7  40987  aks4d1p1  40989  2ap1caineq  41009  nicomachus  41258  exp11d  41264  dffltz  41424  fltmul  41425  fltdiv  41426  fltaccoprm  41430  flt4lem6  41448  fltltc  41451  fltnltalem  41452  3cubeslem3l  41472  3cubeslem3r  41473  3cubeslem4  41475  jm2.18  41775  jm2.22  41782  jm2.23  41783  radcnvrat  43121  binomcxplemnn0  43156  binomcxplemnotnn0  43163  expcnfg  44355  fprodexp  44358  climexp  44369  dvsinexp  44675  dvxpaek  44704  dvnxpaek  44706  ibliccsinexp  44715  iblioosinexp  44717  itgsinexplem1  44718  itgsinexp  44719  iblsplit  44730  stoweidlem1  44765  stoweidlem7  44771  wallispi2lem2  44836  wallispi2  44837  stirlinglem3  44840  stirlinglem4  44841  stirlinglem5  44842  stirlinglem7  44844  stirlinglem8  44845  stirlinglem10  44847  stirlinglem11  44848  stirlinglem13  44850  stirlinglem14  44851  stirlinglem15  44852  elaa2lem  44997  etransclem1  44999  etransclem4  45002  etransclem8  45006  etransclem18  45016  etransclem20  45018  etransclem21  45019  etransclem23  45021  etransclem35  45033  etransclem41  45039  etransclem46  45044  etransclem48  45046  2pwp1prm  46305  lighneallem4  46326  oexpnegALTV  46393  fppr2odd  46447  altgsumbcALT  47077  dignn0flhalflem1  47349  nn0sumshdiglemA  47353  nn0sumshdiglemB  47354