Theorem expcld 14053

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℕ₀cn0 12381  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  absexpz  15212  binomlem  15736  incexclem  15743  incexc  15744  incexc2  15745  geoserg  15773  pwdif  15775  pwm1geoser  15776  geolim  15777  geolim2  15778  geo2sum2  15781  geomulcvg  15783  bpolycl  15959  bpolydiflem  15961  efaddlem  16000  oexpneg  16256  pwp1fsum  16302  oddpwp1fsum  16303  cphipval  25170  dvexp3  25909  itgpowd  25984  ply1termlem  26135  dgrcolem2  26207  dvply1  26218  aareccl  26261  aalioulem1  26267  taylfvallem1  26291  tayl0  26296  dvtaylp  26305  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  radcnvlem1  26349  pserulm  26358  logtayl  26596  cxpeq  26694  atantayl2  26875  atantayl3  26876  dfef2  26908  ftalem1  27010  ftalem2  27011  ftalem5  27014  basellem4  27021  logexprlim  27163  nrt2irr  30453  psgnfzto1st  33074  fldext2rspun  33695  fldext2chn  33741  2sqr3minply  33793  cos9thpiminplylem2  33796  madjusmdetlem4  33843  oddpwdc  34367  eulerpartlemgs2  34393  signsplypnf  34563  signsply0  34564  breprexplemc  34645  breprexpnat  34647  bcprod  35782  knoppcnlem4  36540  knoppcnlem10  36546  knoppndvlem2  36557  knoppndvlem6  36561  knoppndvlem7  36562  knoppndvlem8  36563  knoppndvlem9  36564  knoppndvlem10  36565  knoppndvlem14  36569  knoppndvlem17  36572  lcmineqlem8  42139  lcmineqlem10  42141  lcmineqlem12  42143  dvrelogpow2b  42171  aks4d1p1p6  42176  aks4d1p1p7  42177  aks4d1p1  42179  2ap1caineq  42248  nicomachus  42415  exp11d  42429  dffltz  42737  fltmul  42738  fltdiv  42739  fltaccoprm  42743  flt4lem6  42761  fltltc  42764  fltnltalem  42765  3cubeslem3l  42789  3cubeslem3r  42790  3cubeslem4  42792  jm2.18  43091  jm2.22  43098  jm2.23  43099  radcnvrat  44417  binomcxplemnn0  44452  binomcxplemnotnn0  44459  expcnfg  45701  fprodexp  45704  climexp  45715  dvsinexp  46019  dvxpaek  46048  dvnxpaek  46050  ibliccsinexp  46059  iblioosinexp  46061  itgsinexplem1  46062  itgsinexp  46063  iblsplit  46074  stoweidlem1  46109  stoweidlem7  46115  wallispi2lem2  46180  wallispi2  46181  stirlinglem3  46184  stirlinglem4  46185  stirlinglem5  46186  stirlinglem7  46188  stirlinglem8  46189  stirlinglem10  46191  stirlinglem11  46192  stirlinglem13  46194  stirlinglem14  46195  stirlinglem15  46196  elaa2lem  46341  etransclem1  46343  etransclem4  46346  etransclem8  46350  etransclem18  46360  etransclem20  46362  etransclem21  46363  etransclem23  46365  etransclem35  46377  etransclem41  46383  etransclem46  46388  etransclem48  46390  2pwp1prm  47699  lighneallem4  47720  oexpnegALTV  47787  fppr2odd  47841  altgsumbcALT  48463  dignn0flhalflem1  48726  nn0sumshdiglemA  48730  nn0sumshdiglemB  48731