Theorem expcld 14087

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14020	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  absexpz  15247  binomlem  15771  incexclem  15778  incexc  15779  incexc2  15780  geoserg  15808  pwdif  15810  pwm1geoser  15811  geolim  15812  geolim2  15813  geo2sum2  15816  geomulcvg  15818  bpolycl  15994  bpolydiflem  15996  efaddlem  16035  oexpneg  16291  pwp1fsum  16337  oddpwp1fsum  16338  cphipval  25176  dvexp3  25915  itgpowd  25990  ply1termlem  26141  dgrcolem2  26213  dvply1  26224  aareccl  26267  aalioulem1  26273  taylfvallem1  26297  tayl0  26302  dvtaylp  26311  taylthlem2  26315  taylthlem2OLD  26316  radcnvlem1  26355  pserulm  26364  logtayl  26602  cxpeq  26700  atantayl2  26881  atantayl3  26882  dfef2  26914  ftalem1  27016  ftalem2  27017  ftalem5  27020  basellem4  27027  logexprlim  27169  nrt2irr  30452  psgnfzto1st  33077  fldext2rspun  33670  fldext2chn  33711  2sqr3minply  33763  cos9thpiminplylem2  33766  madjusmdetlem4  33813  oddpwdc  34338  eulerpartlemgs2  34364  signsplypnf  34534  signsply0  34535  breprexplemc  34616  breprexpnat  34618  bcprod  35718  knoppcnlem4  36477  knoppcnlem10  36483  knoppndvlem2  36494  knoppndvlem6  36498  knoppndvlem7  36499  knoppndvlem8  36500  knoppndvlem9  36501  knoppndvlem10  36502  knoppndvlem14  36506  knoppndvlem17  36509  lcmineqlem8  42017  lcmineqlem10  42019  lcmineqlem12  42021  dvrelogpow2b  42049  aks4d1p1p6  42054  aks4d1p1p7  42055  aks4d1p1  42057  2ap1caineq  42126  nicomachus  42293  exp11d  42307  dffltz  42615  fltmul  42616  fltdiv  42617  fltaccoprm  42621  flt4lem6  42639  fltltc  42642  fltnltalem  42643  3cubeslem3l  42667  3cubeslem3r  42668  3cubeslem4  42670  jm2.18  42970  jm2.22  42977  jm2.23  42978  radcnvrat  44296  binomcxplemnn0  44331  binomcxplemnotnn0  44338  expcnfg  45582  fprodexp  45585  climexp  45596  dvsinexp  45902  dvxpaek  45931  dvnxpaek  45933  ibliccsinexp  45942  iblioosinexp  45944  itgsinexplem1  45945  itgsinexp  45946  iblsplit  45957  stoweidlem1  45992  stoweidlem7  45998  wallispi2lem2  46063  wallispi2  46064  stirlinglem3  46067  stirlinglem4  46068  stirlinglem5  46069  stirlinglem7  46071  stirlinglem8  46072  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  stirlinglem13  46077  stirlinglem14  46078  stirlinglem15  46079  elaa2lem  46224  etransclem1  46226  etransclem4  46229  etransclem8  46233  etransclem18  46243  etransclem20  46245  etransclem21  46246  etransclem23  46248  etransclem35  46260  etransclem41  46266  etransclem46  46271  etransclem48  46273  2pwp1prm  47583  lighneallem4  47604  oexpnegALTV  47671  fppr2odd  47725  altgsumbcALT  48334  dignn0flhalflem1  48597  nn0sumshdiglemA  48601  nn0sumshdiglemB  48602