Theorem expcld 14108

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14041	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  absexpz  15267  binomlem  15794  incexclem  15801  incexc  15802  incexc2  15803  geoserg  15831  pwdif  15833  pwm1geoser  15834  geolim  15835  geolim2  15836  geo2sum2  15839  geomulcvg  15841  bpolycl  16017  bpolydiflem  16019  efaddlem  16058  oexpneg  16314  pwp1fsum  16360  oddpwp1fsum  16361  cphipval  25210  dvexp3  25945  itgpowd  26017  ply1termlem  26168  dgrcolem2  26239  dvply1  26250  aareccl  26292  aalioulem1  26298  taylfvallem1  26322  tayl0  26327  dvtaylp  26335  taylthlem2  26339  radcnvlem1  26378  pserulm  26387  logtayl  26624  cxpeq  26721  atantayl2  26902  atantayl3  26903  dfef2  26934  ftalem1  27036  ftalem2  27037  ftalem5  27040  basellem4  27047  logexprlim  27188  nrt2irr  30543  psgnfzto1st  33166  fldext2rspun  33826  fldext2chn  33872  2sqr3minply  33924  cos9thpiminplylem2  33927  madjusmdetlem4  33974  oddpwdc  34498  eulerpartlemgs2  34524  signsplypnf  34694  signsply0  34695  breprexplemc  34776  breprexpnat  34778  bcprod  35920  knoppcnlem4  36756  knoppcnlem10  36762  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem6  36777  knoppndvlem7  36778  knoppndvlem8  36779  knoppndvlem9  36780  knoppndvlem10  36781  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem17  36788  lcmineqlem8  42475  lcmineqlem10  42477  lcmineqlem12  42479  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1  42515  2ap1caineq  42584  nicomachus  42744  exp11d  42758  dffltz  43067  fltmul  43068  fltdiv  43069  fltaccoprm  43073  flt4lem6  43091  fltltc  43094  fltnltalem  43095  3cubeslem3l  43118  3cubeslem3r  43119  3cubeslem4  43121  jm2.18  43416  jm2.22  43423  jm2.23  43424  radcnvrat  44741  binomcxplemnn0  44776  binomcxplemnotnn0  44783  expcnfg  46021  fprodexp  46024  climexp  46035  dvsinexp  46339  dvxpaek  46368  dvnxpaek  46370  ibliccsinexp  46379  iblioosinexp  46381  itgsinexplem1  46382  itgsinexp  46383  iblsplit  46394  stoweidlem1  46429  stoweidlem7  46435  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  stirlinglem8  46509  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  elaa2lem  46661  etransclem1  46663  etransclem4  46666  etransclem8  46670  etransclem18  46680  etransclem20  46682  etransclem21  46683  etransclem23  46685  etransclem35  46697  etransclem41  46703  etransclem46  46708  etransclem48  46710  sin3t  47319  cos3t  47320  sin5tlem1  47321  sin5tlem2  47322  sin5tlem3  47323  sin5tlem4  47324  sin5tlem5  47325  2pwp1prm  48052  lighneallem4  48073  oexpnegALTV  48153  fppr2odd  48207  altgsumbcALT  48829  dignn0flhalflem1  49091  nn0sumshdiglemA  49095  nn0sumshdiglemB  49096