Theorem expcld 14196

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  absexpz  15354  binomlem  15877  incexclem  15884  incexc  15885  incexc2  15886  geoserg  15914  pwdif  15916  pwm1geoser  15917  geolim  15918  geolim2  15919  geo2sum2  15922  geomulcvg  15924  bpolycl  16100  bpolydiflem  16102  efaddlem  16141  oexpneg  16393  pwp1fsum  16439  oddpwp1fsum  16440  cphipval  25296  dvexp3  26036  itgpowd  26111  ply1termlem  26262  dgrcolem2  26334  dvply1  26343  aareccl  26386  aalioulem1  26392  taylfvallem1  26416  tayl0  26421  dvtaylp  26430  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  radcnvlem1  26474  pserulm  26483  logtayl  26720  cxpeq  26818  atantayl2  26999  atantayl3  27000  dfef2  27032  ftalem1  27134  ftalem2  27135  ftalem5  27138  basellem4  27145  logexprlim  27287  nrt2irr  30505  psgnfzto1st  33098  fldext2chn  33719  2sqr3minply  33738  madjusmdetlem4  33776  oddpwdc  34319  eulerpartlemgs2  34345  signsplypnf  34527  signsply0  34528  breprexplemc  34609  breprexpnat  34611  bcprod  35700  knoppcnlem4  36462  knoppcnlem10  36468  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem6  36483  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem8  36485  knoppndvlem9  36486  knoppndvlem10  36487  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem17  36494  lcmineqlem8  41993  lcmineqlem10  41995  lcmineqlem12  41997  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1  42033  2ap1caineq  42102  nicomachus  42300  exp11d  42313  dffltz  42589  fltmul  42590  fltdiv  42591  fltaccoprm  42595  flt4lem6  42613  fltltc  42616  fltnltalem  42617  3cubeslem3l  42642  3cubeslem3r  42643  3cubeslem4  42645  jm2.18  42945  jm2.22  42952  jm2.23  42953  radcnvrat  44283  binomcxplemnn0  44318  binomcxplemnotnn0  44325  expcnfg  45512  fprodexp  45515  climexp  45526  dvsinexp  45832  dvxpaek  45861  dvnxpaek  45863  ibliccsinexp  45872  iblioosinexp  45874  itgsinexplem1  45875  itgsinexp  45876  iblsplit  45887  stoweidlem1  45922  stoweidlem7  45928  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  elaa2lem  46154  etransclem1  46156  etransclem4  46159  etransclem8  46163  etransclem18  46173  etransclem20  46175  etransclem21  46176  etransclem23  46178  etransclem35  46190  etransclem41  46196  etransclem46  46201  etransclem48  46203  2pwp1prm  47463  lighneallem4  47484  oexpnegALTV  47551  fppr2odd  47605  altgsumbcALT  48078  dignn0flhalflem1  48349  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354