Theorem expcld 14183

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℕ₀cn0 12524  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  absexpz  15341  binomlem  15862  incexclem  15869  incexc  15870  incexc2  15871  geoserg  15899  pwdif  15901  pwm1geoser  15902  geolim  15903  geolim2  15904  geo2sum2  15907  geomulcvg  15909  bpolycl  16085  bpolydiflem  16087  efaddlem  16126  oexpneg  16379  pwp1fsum  16425  oddpwp1fsum  16426  cphipval  25291  dvexp3  26031  itgpowd  26106  ply1termlem  26257  dgrcolem2  26329  dvply1  26340  aareccl  26383  aalioulem1  26389  taylfvallem1  26413  tayl0  26418  dvtaylp  26427  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  radcnvlem1  26471  pserulm  26480  logtayl  26717  cxpeq  26815  atantayl2  26996  atantayl3  26997  dfef2  27029  ftalem1  27131  ftalem2  27132  ftalem5  27135  basellem4  27142  logexprlim  27284  nrt2irr  30502  psgnfzto1st  33108  fldext2chn  33734  2sqr3minply  33753  madjusmdetlem4  33791  oddpwdc  34336  eulerpartlemgs2  34362  signsplypnf  34544  signsply0  34545  breprexplemc  34626  breprexpnat  34628  bcprod  35718  knoppcnlem4  36479  knoppcnlem10  36485  knoppndvlem2  36496  knoppndvlem6  36500  knoppndvlem7  36501  knoppndvlem8  36502  knoppndvlem9  36503  knoppndvlem10  36504  knoppndvlem14  36508  knoppndvlem17  36511  lcmineqlem8  42018  lcmineqlem10  42020  lcmineqlem12  42022  dvrelogpow2b  42050  aks4d1p1p6  42055  aks4d1p1p7  42056  aks4d1p1  42058  2ap1caineq  42127  nicomachus  42325  exp11d  42340  dffltz  42621  fltmul  42622  fltdiv  42623  fltaccoprm  42627  flt4lem6  42645  fltltc  42648  fltnltalem  42649  3cubeslem3l  42674  3cubeslem3r  42675  3cubeslem4  42677  jm2.18  42977  jm2.22  42984  jm2.23  42985  radcnvrat  44310  binomcxplemnn0  44345  binomcxplemnotnn0  44352  expcnfg  45547  fprodexp  45550  climexp  45561  dvsinexp  45867  dvxpaek  45896  dvnxpaek  45898  ibliccsinexp  45907  iblioosinexp  45909  itgsinexplem1  45910  itgsinexp  45911  iblsplit  45922  stoweidlem1  45957  stoweidlem7  45963  wallispi2lem2  46028  wallispi2  46029  stirlinglem3  46032  stirlinglem4  46033  stirlinglem5  46034  stirlinglem7  46036  stirlinglem8  46037  stirlinglem10  46039  stirlinglem11  46040  stirlinglem13  46042  stirlinglem14  46043  stirlinglem15  46044  elaa2lem  46189  etransclem1  46191  etransclem4  46194  etransclem8  46198  etransclem18  46208  etransclem20  46210  etransclem21  46211  etransclem23  46213  etransclem35  46225  etransclem41  46231  etransclem46  46236  etransclem48  46238  2pwp1prm  47514  lighneallem4  47535  oexpnegALTV  47602  fppr2odd  47656  altgsumbcALT  48198  dignn0flhalflem1  48465  nn0sumshdiglemA  48469  nn0sumshdiglemB  48470