Theorem expcld 13511

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13448	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℕ₀cn0 11898  ↑cexp 13430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-seq 13371  df-exp 13431

This theorem is referenced by:  absexpz  14665  binomlem  15184  incexclem  15191  incexc  15192  incexc2  15193  geoserg  15221  pwdif  15223  pwm1geoser  15224  pwm1geoserOLD  15225  geolim  15226  geolim2  15227  geo2sum2  15230  geomulcvg  15232  bpolycl  15406  bpolydiflem  15408  efaddlem  15446  oexpneg  15694  pwp1fsum  15742  oddpwp1fsum  15743  cphipval  23846  dvexp3  24575  ply1termlem  24793  dgrcolem2  24864  dvply1  24873  aareccl  24915  aalioulem1  24921  taylfvallem1  24945  tayl0  24950  dvtaylp  24958  taylthlem2  24962  radcnvlem1  25001  pserulm  25010  logtayl  25243  cxpeq  25338  atantayl2  25516  atantayl3  25517  dfef2  25548  ftalem1  25650  ftalem2  25651  ftalem5  25654  basellem4  25661  logexprlim  25801  psgnfzto1st  30747  madjusmdetlem4  31095  oddpwdc  31612  eulerpartlemgs2  31638  signsplypnf  31820  signsply0  31821  breprexplemc  31903  breprexpnat  31905  bcprod  32970  knoppcnlem4  33835  knoppcnlem10  33841  knoppndvlem2  33852  knoppndvlem6  33856  knoppndvlem7  33857  knoppndvlem8  33858  knoppndvlem9  33859  knoppndvlem10  33860  knoppndvlem14  33864  knoppndvlem17  33867  dffltz  39291  fltne  39292  fltltc  39293  fltnltalem  39294  3cubeslem3l  39303  3cubeslem3r  39304  3cubeslem4  39306  jm2.18  39605  jm2.22  39612  jm2.23  39613  itgpowd  39841  radcnvrat  40666  binomcxplemnn0  40701  binomcxplemnotnn0  40708  expcnfg  41892  fprodexp  41895  climexp  41906  dvsinexp  42215  dvxpaek  42245  dvnxpaek  42247  ibliccsinexp  42256  iblioosinexp  42258  itgsinexplem1  42259  itgsinexp  42260  iblsplit  42271  stoweidlem1  42306  stoweidlem7  42312  wallispi2lem2  42377  wallispi2  42378  stirlinglem3  42381  stirlinglem4  42382  stirlinglem5  42383  stirlinglem7  42385  stirlinglem8  42386  stirlinglem10  42388  stirlinglem11  42389  stirlinglem13  42391  stirlinglem14  42392  stirlinglem15  42393  elaa2lem  42538  etransclem1  42540  etransclem4  42543  etransclem8  42547  etransclem18  42557  etransclem20  42559  etransclem21  42560  etransclem23  42562  etransclem35  42574  etransclem41  42580  etransclem46  42585  etransclem48  42587  2pwp1prm  43771  lighneallem4  43795  oexpnegALTV  43862  fppr2odd  43916  altgsumbcALT  44421  dignn0flhalflem1  44695  nn0sumshdiglemA  44699  nn0sumshdiglemB  44700