Theorem expcld 14159

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14092	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℕ₀cn0 12481  ↑cexp 14074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-seq 14015  df-exp 14075

This theorem is referenced by:  absexpz  15332  binomlem  15859  incexclem  15866  incexc  15867  incexc2  15868  geoserg  15896  pwdif  15898  pwm1geoser  15899  geolim  15900  geolim2  15901  geo2sum2  15904  geomulcvg  15906  bpolycl  16082  bpolydiflem  16084  efaddlem  16123  oexpneg  16379  pwp1fsum  16425  oddpwp1fsum  16426  cphipval  25305  dvexp3  26040  itgpowd  26112  ply1termlem  26263  dgrcolem2  26334  dvply1  26348  aareccl  26390  aalioulem1  26396  taylfvallem1  26420  tayl0  26425  dvtaylp  26433  taylthlem2  26437  radcnvlem1  26476  pserulm  26485  logtayl  26725  cxpeq  26822  atantayl2  27003  atantayl3  27004  dfef2  27035  ftalem1  27137  ftalem2  27138  ftalem5  27141  basellem4  27148  logexprlim  27289  nrt2irr  30675  psgnfzto1st  33285  fldext2rspun  33979  fldext2chn  34025  2sqr3minply  34077  cos9thpiminplylem2  34080  madjusmdetlem4  34127  oddpwdc  34651  eulerpartlemgs2  34677  signsplypnf  34844  signsply0  34845  breprexplemc  34926  breprexpnat  34928  bcprod  36088  knoppcnlem4  36934  knoppcnlem10  36940  knoppndvlem2  36951  knoppndvlem6  36955  knoppndvlem7  36956  knoppndvlem8  36957  knoppndvlem9  36958  knoppndvlem10  36959  knoppndvlem14  36963  knoppndvlem17  36966  lcmineqlem8  42653  lcmineqlem10  42655  lcmineqlem12  42657  dvrelogpow2b  42685  aks4d1p1p6  42690  aks4d1p1p7  42691  aks4d1p1  42693  2ap1caineq  42762  nicomachus  42921  exp11d  42935  dffltz  43216  fltmul  43217  fltdiv  43218  fltaccoprm  43222  flt4lem6  43240  fltltc  43243  fltnltalem  43244  3cubeslem3l  43267  3cubeslem3r  43268  3cubeslem4  43270  jm2.18  43565  jm2.22  43572  jm2.23  43573  radcnvrat  44890  binomcxplemnn0  44925  binomcxplemnotnn0  44932  expcnfg  46167  fprodexp  46170  climexp  46181  dvsinexp  46485  dvxpaek  46514  dvnxpaek  46516  ibliccsinexp  46525  iblioosinexp  46527  itgsinexplem1  46528  itgsinexp  46529  iblsplit  46540  stoweidlem1  46575  stoweidlem7  46581  wallispi2lem2  46646  wallispi2  46647  stirlinglem3  46650  stirlinglem4  46651  stirlinglem5  46652  stirlinglem7  46654  stirlinglem8  46655  stirlinglem10  46657  stirlinglem11  46658  stirlinglem13  46660  stirlinglem14  46661  stirlinglem15  46662  elaa2lem  46807  etransclem1  46809  etransclem4  46812  etransclem8  46816  etransclem18  46826  etransclem20  46828  etransclem21  46829  etransclem23  46831  etransclem35  46843  etransclem41  46849  etransclem46  46854  etransclem48  46856  sin3t  47465  cos3t  47466  sin5tlem1  47467  sin5tlem2  47468  sin5tlem3  47469  sin5tlem4  47470  sin5tlem5  47471  2pwp1prm  48198  lighneallem4  48219  oexpnegALTV  48299  fppr2odd  48353  altgsumbcALT  48975  dignn0flhalflem1  49237  nn0sumshdiglemA  49241  nn0sumshdiglemB  49242