Theorem expcld 14149

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 592	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  absexpz  15308  binomlem  15835  incexclem  15842  incexc  15843  incexc2  15844  geoserg  15872  pwdif  15874  pwm1geoser  15875  geolim  15876  geolim2  15877  geo2sum2  15880  geomulcvg  15882  bpolycl  16058  bpolydiflem  16060  efaddlem  16099  oexpneg  16355  pwp1fsum  16401  oddpwp1fsum  16402  cphipval  25278  dvexp3  26013  itgpowd  26085  ply1termlem  26236  dgrcolem2  26307  dvply1  26318  aareccl  26360  aalioulem1  26366  taylfvallem1  26390  tayl0  26395  dvtaylp  26403  taylthlem2  26407  radcnvlem1  26446  pserulm  26455  logtayl  26695  cxpeq  26792  atantayl2  26973  atantayl3  26974  dfef2  27005  ftalem1  27107  ftalem2  27108  ftalem5  27111  basellem4  27118  logexprlim  27259  nrt2irr  30614  psgnfzto1st  33239  fldext2rspun  33933  fldext2chn  33979  2sqr3minply  34031  cos9thpiminplylem2  34034  madjusmdetlem4  34081  oddpwdc  34605  eulerpartlemgs2  34631  signsplypnf  34801  signsply0  34802  breprexplemc  34883  breprexpnat  34885  bcprod  36036  knoppcnlem4  36882  knoppcnlem10  36888  knoppndvlem2  36899  knoppndvlem6  36903  knoppndvlem7  36904  knoppndvlem8  36905  knoppndvlem9  36906  knoppndvlem10  36907  knoppndvlem14  36911  knoppndvlem17  36914  lcmineqlem8  42601  lcmineqlem10  42603  lcmineqlem12  42605  dvrelogpow2b  42633  aks4d1p1p6  42638  aks4d1p1p7  42639  aks4d1p1  42641  2ap1caineq  42710  nicomachus  42869  exp11d  42883  dffltz  43164  fltmul  43165  fltdiv  43166  fltaccoprm  43170  flt4lem6  43188  fltltc  43191  fltnltalem  43192  3cubeslem3l  43215  3cubeslem3r  43216  3cubeslem4  43218  jm2.18  43513  jm2.22  43520  jm2.23  43521  radcnvrat  44838  binomcxplemnn0  44873  binomcxplemnotnn0  44880  expcnfg  46115  fprodexp  46118  climexp  46129  dvsinexp  46433  dvxpaek  46462  dvnxpaek  46464  ibliccsinexp  46473  iblioosinexp  46475  itgsinexplem1  46476  itgsinexp  46477  iblsplit  46488  stoweidlem1  46523  stoweidlem7  46529  wallispi2lem2  46594  wallispi2  46595  stirlinglem3  46598  stirlinglem4  46599  stirlinglem5  46600  stirlinglem7  46602  stirlinglem8  46603  stirlinglem10  46605  stirlinglem11  46606  stirlinglem13  46608  stirlinglem14  46609  stirlinglem15  46610  elaa2lem  46755  etransclem1  46757  etransclem4  46760  etransclem8  46764  etransclem18  46774  etransclem20  46776  etransclem21  46777  etransclem23  46779  etransclem35  46791  etransclem41  46797  etransclem46  46802  etransclem48  46804  sin3t  47413  cos3t  47414  sin5tlem1  47415  sin5tlem2  47416  sin5tlem3  47417  sin5tlem4  47418  sin5tlem5  47419  2pwp1prm  48146  lighneallem4  48167  oexpnegALTV  48247  fppr2odd  48301  altgsumbcALT  48923  dignn0flhalflem1  49185  nn0sumshdiglemA  49189  nn0sumshdiglemB  49190