Theorem expcld 13854

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 13790	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7269  ℂcc 10862  ℕ₀cn0 12225  ↑cexp 13772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-seq 13712  df-exp 13773

This theorem is referenced by:  absexpz  15007  binomlem  15531  incexclem  15538  incexc  15539  incexc2  15540  geoserg  15568  pwdif  15570  pwm1geoser  15571  geolim  15572  geolim2  15573  geo2sum2  15576  geomulcvg  15578  bpolycl  15752  bpolydiflem  15754  efaddlem  15792  oexpneg  16044  pwp1fsum  16090  oddpwp1fsum  16091  cphipval  24397  dvexp3  25132  itgpowd  25204  ply1termlem  25354  dgrcolem2  25425  dvply1  25434  aareccl  25476  aalioulem1  25482  taylfvallem1  25506  tayl0  25511  dvtaylp  25519  taylthlem2  25523  radcnvlem1  25562  pserulm  25571  logtayl  25805  cxpeq  25900  atantayl2  26078  atantayl3  26079  dfef2  26110  ftalem1  26212  ftalem2  26213  ftalem5  26216  basellem4  26223  logexprlim  26363  psgnfzto1st  31360  madjusmdetlem4  31768  oddpwdc  32309  eulerpartlemgs2  32335  signsplypnf  32517  signsply0  32518  breprexplemc  32600  breprexpnat  32602  bcprod  33692  knoppcnlem4  34664  knoppcnlem10  34670  knoppndvlem2  34681  knoppndvlem6  34685  knoppndvlem7  34686  knoppndvlem8  34687  knoppndvlem9  34688  knoppndvlem10  34689  knoppndvlem14  34693  knoppndvlem17  34696  lcmineqlem8  40033  lcmineqlem10  40035  lcmineqlem12  40037  dvrelogpow2b  40065  aks4d1p1p6  40070  aks4d1p1p7  40071  aks4d1p1  40073  2ap1caineq  40090  exp11d  40314  dffltz  40460  fltmul  40461  fltdiv  40462  fltaccoprm  40466  flt4lem6  40484  fltltc  40487  fltnltalem  40488  3cubeslem3l  40497  3cubeslem3r  40498  3cubeslem4  40500  jm2.18  40799  jm2.22  40806  jm2.23  40807  radcnvrat  41894  binomcxplemnn0  41929  binomcxplemnotnn0  41936  expcnfg  43095  fprodexp  43098  climexp  43109  dvsinexp  43415  dvxpaek  43444  dvnxpaek  43446  ibliccsinexp  43455  iblioosinexp  43457  itgsinexplem1  43458  itgsinexp  43459  iblsplit  43470  stoweidlem1  43505  stoweidlem7  43511  wallispi2lem2  43576  wallispi2  43577  stirlinglem3  43580  stirlinglem4  43581  stirlinglem5  43582  stirlinglem7  43584  stirlinglem8  43585  stirlinglem10  43587  stirlinglem11  43588  stirlinglem13  43590  stirlinglem14  43591  stirlinglem15  43592  elaa2lem  43737  etransclem1  43739  etransclem4  43742  etransclem8  43746  etransclem18  43756  etransclem20  43758  etransclem21  43759  etransclem23  43761  etransclem35  43773  etransclem41  43779  etransclem46  43784  etransclem48  43786  2pwp1prm  45002  lighneallem4  45023  oexpnegALTV  45090  fppr2odd  45144  altgsumbcALT  45650  dignn0flhalflem1  45922  nn0sumshdiglemA  45926  nn0sumshdiglemB  45927