Theorem expcld 14181

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
expcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
expcld	⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		expcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		expcl 14114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℕ₀cn0 12503  ↑cexp 14096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-exp 14097

This theorem is referenced by:  absexpz  15355  binomlem  15882  incexclem  15889  incexc  15890  incexc2  15891  geoserg  15919  pwdif  15921  pwm1geoser  15922  geolim  15923  geolim2  15924  geo2sum2  15927  geomulcvg  15929  bpolycl  16105  bpolydiflem  16107  efaddlem  16146  oexpneg  16402  pwp1fsum  16448  oddpwp1fsum  16449  cphipval  25370  dvexp3  26105  itgpowd  26177  ply1termlem  26328  dgrcolem2  26399  dvply1  26413  aareccl  26455  aalioulem1  26461  taylfvallem1  26485  tayl0  26490  dvtaylp  26498  taylthlem2  26502  radcnvlem1  26541  pserulm  26550  logtayl  26790  cxpeq  26887  atantayl2  27068  atantayl3  27069  dfef2  27100  ftalem1  27202  ftalem2  27203  ftalem5  27206  basellem4  27213  logexprlim  27354  nrt2irr  30764  psgnfzto1st  33365  fldext2rspun  34016  fldext2chn  34062  2sqr3minply  34114  cos9thpiminplylem2  34117  madjusmdetlem4  34164  oddpwdc  34688  eulerpartlemgs2  34714  signsplypnf  34881  signsply0  34882  breprexplemc  34963  breprexpnat  34965  bcprod  36128  knoppcnlem4  36973  knoppcnlem10  36979  knoppndvlem2  36990  knoppndvlem6  36994  knoppndvlem7  36995  knoppndvlem8  36996  knoppndvlem9  36997  knoppndvlem10  36998  knoppndvlem14  37002  knoppndvlem17  37005  lcmineqlem8  42692  lcmineqlem10  42694  lcmineqlem12  42696  dvrelogpow2b  42724  aks4d1p1p6  42729  aks4d1p1p7  42730  aks4d1p1  42732  2ap1caineq  42801  nicomachus  42962  exp11d  42976  dffltz  43257  fltmul  43258  fltdiv  43259  fltaccoprm  43263  flt4lem6  43281  fltltc  43284  fltnltalem  43285  3cubeslem3l  43308  3cubeslem3r  43309  3cubeslem4  43311  jm2.18  43606  jm2.22  43613  jm2.23  43614  radcnvrat  44915  binomcxplemnn0  44950  binomcxplemnotnn0  44957  expcnfg  46198  fprodexp  46201  climexp  46212  dvsinexp  46516  dvxpaek  46545  dvnxpaek  46547  ibliccsinexp  46556  iblioosinexp  46558  itgsinexplem1  46559  itgsinexp  46560  iblsplit  46571  stoweidlem1  46606  stoweidlem7  46612  wallispi2lem2  46677  wallispi2  46678  stirlinglem3  46681  stirlinglem4  46682  stirlinglem5  46683  stirlinglem7  46685  stirlinglem8  46686  stirlinglem10  46688  stirlinglem11  46689  stirlinglem13  46691  stirlinglem14  46692  stirlinglem15  46693  elaa2lem  46838  etransclem1  46840  etransclem4  46843  etransclem8  46847  etransclem18  46857  etransclem20  46859  etransclem21  46860  etransclem23  46862  etransclem35  46874  etransclem41  46880  etransclem46  46885  etransclem48  46887  sin3t  47496  cos3t  47497  sin5tlem1  47498  sin5tlem2  47499  sin5tlem3  47500  sin5tlem4  47501  sin5tlem5  47502  2pwp1prm  48229  lighneallem4  48250  oexpnegALTV  48330  fppr2odd  48384  altgsumbcALT  49017  dignn0flhalflem1  49279  nn0sumshdiglemA  49283  nn0sumshdiglemB  49284