Theorem fltdiv 40668

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltdiv.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
fltdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltdiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltdiv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltdiv.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdiv	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Proof of Theorem fltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fltdiv.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 13914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltdiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 13914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltdiv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 13914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltdiv.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
9	2	nn0zd 12474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 8, 9	expne0d 13920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ≠ 0)
11	3, 5, 7, 10	divdird 11839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
12		fltdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
13	12	oveq1d 7322	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
14	11, 13	eqtr3d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
15	1, 6, 8, 2	expdivd 13928	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
16	4, 6, 8, 2	expdivd 13928	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
17	15, 16	oveq12d 7325	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
18		fltdiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18, 6, 8, 2	expdivd 13928	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
20	14, 17, 19	3eqtr4d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  0cc0 10921   + caddc 10924   / cdiv 11682  ℕ₀cn0 12283  ↑cexp 13832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-seq 13772  df-exp 13833

This theorem is referenced by:  fltabcoprmex  40671