Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fltdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fltdiv 42060
Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fltdiv.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
fltdiv.0 (𝜑𝑆 ≠ 0)
fltdiv.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
fltdiv.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
fltdiv.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fltdiv.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fltdiv.1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
Assertion
Ref Expression
fltdiv (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Proof of Theorem fltdiv
StepHypRef Expression
1 fltdiv.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 fltdiv.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2expcld 14143 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
4 fltdiv.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54, 2expcld 14143 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
6 fltdiv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
76, 2expcld 14143 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑁) ∈ ℂ)
8 fltdiv.0 . . . . 5 (𝜑𝑆 ≠ 0)
92nn0zd 12615 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
106, 8, 9expne0d 14149 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑁) ≠ 0)
113, 5, 7, 10divdird 12059 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) / (𝑆𝑁)) = (((𝐴𝑁) / (𝑆𝑁)) + ((𝐵𝑁) / (𝑆𝑁))))
12 fltdiv.1 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) = (𝐶𝑁))
1312oveq1d 7435 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝑁) + (𝐵𝑁)) / (𝑆𝑁)) = ((𝐶𝑁) / (𝑆𝑁)))
1411, 13eqtr3d 2770 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑁) / (𝑆𝑁)) + ((𝐵𝑁) / (𝑆𝑁))) = ((𝐶𝑁) / (𝑆𝑁)))
151, 6, 8, 2expdivd 14157 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐴𝑁) / (𝑆𝑁)))
164, 6, 8, 2expdivd 14157 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐵𝑁) / (𝑆𝑁)))
1715, 16oveq12d 7438 . 2 (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = (((𝐴𝑁) / (𝑆𝑁)) + ((𝐵𝑁) / (𝑆𝑁))))
18 fltdiv.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1918, 6, 8, 2expdivd 14157 . 2 (𝜑 → ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐶𝑁) / (𝑆𝑁)))
2014, 17, 193eqtr4d 2778 1 (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139   + caddc 11142   / cdiv 11902  0cn0 12503  cexp 14059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-seq 14000  df-exp 14060
This theorem is referenced by:  fltabcoprmex  42063
  Copyright terms: Public domain W3C validator