Theorem fltdiv 43086

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltdiv.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
fltdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltdiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltdiv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltdiv.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdiv	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Proof of Theorem fltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fltdiv.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 14099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltdiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 14099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltdiv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 14099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltdiv.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
9	2	nn0zd 12540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 8, 9	expne0d 14105	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ≠ 0)
11	3, 5, 7, 10	divdird 11960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
12		fltdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
13	12	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
14	11, 13	eqtr3d 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
15	1, 6, 8, 2	expdivd 14113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
16	4, 6, 8, 2	expdivd 14113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
17	15, 16	oveq12d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
18		fltdiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18, 6, 8, 2	expdivd 14113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
20	14, 17, 19	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029   + caddc 11032   / cdiv 11798  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  fltabcoprmex  43089