Theorem fltdiv 41937

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltdiv.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
fltdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltdiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltdiv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltdiv.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdiv	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Proof of Theorem fltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fltdiv.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 14114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltdiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 14114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltdiv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 14114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltdiv.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
9	2	nn0zd 12585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 8, 9	expne0d 14120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ≠ 0)
11	3, 5, 7, 10	divdird 12029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
12		fltdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
13	12	oveq1d 7419	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
14	11, 13	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
15	1, 6, 8, 2	expdivd 14128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
16	4, 6, 8, 2	expdivd 14128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
17	15, 16	oveq12d 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
18		fltdiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18, 6, 8, 2	expdivd 14128	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
20	14, 17, 19	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  0cc0 11109   + caddc 11112   / cdiv 11872  ℕ₀cn0 12473  ↑cexp 14030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14031

This theorem is referenced by:  fltabcoprmex  41940