Theorem fltdiv 43179

Description: A counterexample to FLT stays valid when scaled. The hypotheses are more general than they need to be for convenience. (Contributed by SN, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fltdiv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
fltdiv.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
fltdiv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
fltdiv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
fltdiv.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
fltdiv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fltdiv.1	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))

Assertion

Ref	Expression
fltdiv	⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Proof of Theorem fltdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fltdiv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fltdiv.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	expcld 14153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
4		fltdiv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4, 2	expcld 14153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
6		fltdiv.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
7	6, 2	expcld 14153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ∈ ℂ)
8		fltdiv.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
9	2	nn0zd 12587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10	6, 8, 9	expne0d 14159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆↑𝑁) ≠ 0)
11	3, 5, 7, 10	divdird 11999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
12		fltdiv.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) = (𝐶↑𝑁))
13	12	oveq1d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) + (𝐵↑𝑁)) / (𝑆↑𝑁)) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
14	11, 13	eqtr3d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
15	1, 6, 8, 2	expdivd 14167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
16	4, 6, 8, 2	expdivd 14167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
17	15, 16	oveq12d 7409	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = (((𝐴↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)) + ((𝐵↑𝑁) / (𝑆↑𝑁))))
18		fltdiv.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
19	18, 6, 8, 2	expdivd 14167	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁) = ((𝐶↑𝑁) / (𝑆↑𝑁)))
20	14, 17, 19	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑆)↑𝑁) + ((𝐵 / 𝑆)↑𝑁)) = ((𝐶 / 𝑆)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   + caddc 11070   / cdiv 11838  ℕ₀cn0 12475  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by:  fltabcoprmex  43182