Theorem frege87d 44735

Description: If the images of both {𝐴} and 𝑈 are subsets of 𝑈 and 𝐶 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝑅 and 𝐵 follows 𝐶 in 𝑅, then 𝐵 is an element of 𝑈. Similar to Proposition 87 of [Frege1879] p. 66. Compare with frege87 44935. (Contributed by RP, 15-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege87d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
frege87d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
frege87d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
frege87d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
frege87d.ac	⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐶)
frege87d.cb	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
frege87d.ss	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
frege87d.he	⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
frege87d	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frege87d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege87d.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		frege87d.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		frege87d.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
4		frege87d.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
5		frege87d.ac	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐶)
6		frege87d.cb	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	frege96d 44734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(t+‘𝑅)𝐵)
8		frege87d.he	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ 𝑈) ⊆ 𝑈)
9		frege87d.ss	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 “ {𝐴}) ⊆ 𝑈)
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	frege77d 44731	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   “ cima 5654  ‘cfv 6537  t+ctcl 15131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-seq 14138  df-trcl 15133  df-relexp 15166

This theorem is used by: (None)