MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 26594
Description: Show the stronger statement log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐‘‚(log๐‘ฅ) alluded to in logfacrlim 26595. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
21rprege0d 12972 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
3 flge0nn0 13734 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
54faccld 14193 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
65nnrpd 12963 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7 relogcl 25954 . . . . . . . 8 ((!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
9 rpre 12931 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 relogcl 25954 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13 peano2rem 11476 . . . . . . . . 9 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1510, 14remulcld 11193 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
168, 15resubcld 11591 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1716recnd 11191 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
1817abscld 15330 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
19 peano2rem 11476 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2018, 19syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
21 ax-1cn 11117 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
22 subcl 11408 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2423abscld 15330 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 abs1 15191 . . . . 5 (absโ€˜1) = 1
2625oveq2i 7372 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1)
27 abs2dif 15226 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2817, 21, 27sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5145 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
30 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐ด))
3130oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
3231sumeq1d 15594 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
34 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐ด))
3534oveq1d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
3633, 35oveq12d 7379 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3732, 36oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
38 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))
39 ovex 7394 . . . . . . . . 9 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt3i 6957 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4140adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
42 logfac 25979 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4443oveq1d 7376 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4541, 44eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
46 1rp 12927 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
47 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜1))
48 1z 12541 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„ค
49 flid 13722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŒŠโ€˜1) = 1
5147, 50eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = 1)
5251oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...1))
5352sumeq1d 15594 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›))
54 0cn 11155 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
55 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜1))
56 log1 25964 . . . . . . . . . . . . . 14 (logโ€˜1) = 0
5755, 56eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = 0)
5857fsum1 15640 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0)
5948, 54, 58mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0
6053, 59eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
62 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜1))
6362, 56eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = 0)
6463oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
6561, 64oveq12d 7379 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (1 ยท (0 โˆ’ 1)))
6654, 21subcli 11485 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
6766mulid2i 11168 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท (0 โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1)
6865, 67eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1))
6960, 68oveq12d 7379 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)))
70 nncan 11438 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 691 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 6957 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7545, 74oveq12d 7379 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1)) = (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1))
7675fveq2d 6850 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) = (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
77 ioorp 13351 . . . . . 6 (0(,)+โˆž) = โ„+
7877eqcomi 2742 . . . . 5 โ„+ = (0(,)+โˆž)
79 nnuz 12814 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
81 1re 11163 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
8281a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
83 pnfxr 11217 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
8483a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
85 1nn0 12437 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
8681, 85nn0addge1i 12469 . . . . . 6 1 โ‰ค (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (1 + 1))
88 0red 11166 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
89 rpre 12931 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9089adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
91 relogcl 25954 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9291adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
93 peano2rem 11476 . . . . . . 7 ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9590, 94remulcld 11193 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
96 nnrp 12934 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
9796, 92sylan2 594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
98 advlog 26032 . . . . . 6 (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
9998a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)))
100 fveq2 6846 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘›))
101 simp32 1211 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
102 logleb 25981 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
1031023ad2ant2 1135 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
104101, 103mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
105 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
106 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
107 logleb 25981 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
10846, 106, 107sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11056, 109eqbrtrrid 5145 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11146a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
112 1le1 11791 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค 1)
114 simpr 486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
11510rexrd 11213 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
116 pnfge 13059 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 25421 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
11976, 118eqbrtrrd 5133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11320 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12118, 82, 12lesubaddd 11760 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1)))
122120, 121mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064  +โˆžcpnf 11194  โ„*cxr 11196   โ‰ค cle 11198   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  โ„คcz 12507  โ„+crp 12923  (,)cioo 13273  ...cfz 13433  โŒŠcfl 13704  !cfa 14182  abscabs 15128  ฮฃcsu 15579   D cdv 25250  logclog 25933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935
This theorem is referenced by:  logfacrlim  26595
  Copyright terms: Public domain W3C validator