MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 26733
Description: Show the stronger statement log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐‘‚(log๐‘ฅ) alluded to in logfacrlim 26734. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
21rprege0d 13025 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
3 flge0nn0 13787 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
54faccld 14246 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
65nnrpd 13016 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7 relogcl 26091 . . . . . . . 8 ((!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
9 rpre 12984 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 relogcl 26091 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13 peano2rem 11529 . . . . . . . . 9 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1510, 14remulcld 11246 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
168, 15resubcld 11644 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1716recnd 11244 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
1817abscld 15385 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
19 peano2rem 11529 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2018, 19syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
21 ax-1cn 11170 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
22 subcl 11461 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22sylancl 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2423abscld 15385 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 abs1 15246 . . . . 5 (absโ€˜1) = 1
2625oveq2i 7422 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1)
27 abs2dif 15281 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2817, 21, 27sylancl 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5184 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
30 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐ด))
3130oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
3231sumeq1d 15649 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
34 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐ด))
3534oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
3633, 35oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3732, 36oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
38 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))
39 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt3i 7003 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
42 logfac 26116 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4443oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4541, 44eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
46 1rp 12980 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜1))
48 1z 12594 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„ค
49 flid 13775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŒŠโ€˜1) = 1
5147, 50eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = 1)
5251oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...1))
5352sumeq1d 15649 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›))
54 0cn 11208 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
55 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜1))
56 log1 26101 . . . . . . . . . . . . . 14 (logโ€˜1) = 0
5755, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = 0)
5857fsum1 15695 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0)
5948, 54, 58mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0
6053, 59eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
62 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜1))
6362, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = 0)
6463oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
6561, 64oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (1 ยท (0 โˆ’ 1)))
6654, 21subcli 11538 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
6766mullidi 11221 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท (0 โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1)
6865, 67eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1))
6960, 68oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)))
70 nncan 11491 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 690 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 7003 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7545, 74oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1)) = (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1))
7675fveq2d 6895 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) = (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
77 ioorp 13404 . . . . . 6 (0(,)+โˆž) = โ„+
7877eqcomi 2741 . . . . 5 โ„+ = (0(,)+โˆž)
79 nnuz 12867 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
81 1re 11216 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
8281a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
83 pnfxr 11270 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
8483a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
85 1nn0 12490 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
8681, 85nn0addge1i 12522 . . . . . 6 1 โ‰ค (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (1 + 1))
88 0red 11219 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
89 rpre 12984 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9089adantl 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
91 relogcl 26091 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9291adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
93 peano2rem 11529 . . . . . . 7 ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9590, 94remulcld 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
96 nnrp 12987 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
9796, 92sylan2 593 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
98 advlog 26169 . . . . . 6 (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
9998a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)))
100 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘›))
101 simp32 1210 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
102 logleb 26118 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
1031023ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
104101, 103mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
105 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
106 simprl 769 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
107 logleb 26118 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
10846, 106, 107sylancr 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11056, 109eqbrtrrid 5184 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11146a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
112 1le1 11844 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค 1)
114 simpr 485 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
11510rexrd 11266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
116 pnfge 13112 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 25558 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
11976, 118eqbrtrrd 5172 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11373 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12118, 82, 12lesubaddd 11813 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1)))
122120, 121mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11247  โ„*cxr 11249   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757  !cfa 14235  abscabs 15183  ฮฃcsu 15634   D cdv 25387  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072
This theorem is referenced by:  logfacrlim  26734
  Copyright terms: Public domain W3C validator