MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 27155
Description: Show the stronger statement log(𝑥!) = 𝑥log𝑥𝑥 + 𝑂(log𝑥) alluded to in logfacrlim 27156. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rprege0d 13055 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 flge0nn0 13817 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
54faccld 14275 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
65nnrpd 13046 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
7 relogcl 26508 . . . . . . . 8 ((!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
9 rpre 13014 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 relogcl 26508 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
13 peano2rem 11557 . . . . . . . . 9 ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1510, 14remulcld 11274 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
168, 15resubcld 11672 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℝ)
1716recnd 11272 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ)
1817abscld 15415 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ)
19 peano2rem 11557 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
21 ax-1cn 11196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
22 subcl 11489 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2317, 21, 22sylancl 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2423abscld 15415 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ∈ ℝ)
25 abs1 15276 . . . . 5 (abs‘1) = 1
2625oveq2i 7431 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1)
27 abs2dif 15311 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2817, 21, 27sylancl 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5184 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
30 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝐴))
3130oveq2d 7436 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...(⌊‘𝐴)))
3231sumeq1d 15679 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
34 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
3534oveq1d 7435 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((log‘𝑥) − 1) = ((log‘𝐴) − 1))
3633, 35oveq12d 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))
3732, 36oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
38 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))
39 ovex 7453 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ V
4037, 38, 39fvmpt3i 7010 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
42 logfac 26534 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4443oveq1d 7435 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4541, 44eqtr4d 2771 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
46 1rp 13010 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
47 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘1))
48 1z 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
49 flid 13805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (⌊‘1) = 1
5147, 50eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = 1)
5251oveq2d 7436 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...1))
5352sumeq1d 15679 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛))
54 0cn 11236 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
55 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
56 log1 26518 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘1) = 0
5755, 56eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
5857fsum1 15725 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0)
5948, 54, 58mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0
6053, 59eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
62 fveq2 6897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
6362, 56eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = 0)
6463oveq1d 7435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((log‘𝑥) − 1) = (0 − 1))
6561, 64oveq12d 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (1 · (0 − 1)))
6654, 21subcli 11566 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℂ
6766mullidi 11249 . . . . . . . . . . 11 (1 · (0 − 1)) = (0 − 1)
6865, 67eqtrdi 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (0 − 1))
6960, 68oveq12d 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (0 − (0 − 1)))
70 nncan 11519 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (0 − (0 − 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 691 . . . . . . . . 9 (0 − (0 − 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 7010 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7545, 74oveq12d 7438 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1)) = (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1))
7675fveq2d 6901 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) = (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
77 ioorp 13434 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
7877eqcomi 2737 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
79 nnuz 12895 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
81 1re 11244 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
83 pnfxr 11298 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
8483a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
85 1nn0 12518 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8681, 85nn0addge1i 12550 . . . . . 6 1 ≤ (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (1 + 1))
88 0red 11247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
89 rpre 13014 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
9089adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
91 relogcl 26508 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
9291adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
93 peano2rem 11557 . . . . . . 7 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9590, 94remulcld 11274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℝ)
96 nnrp 13017 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
9796, 92sylan2 592 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
98 advlog 26587 . . . . . 6 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
9998a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
100 fveq2 6897 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (log‘𝑥) = (log‘𝑛))
101 simp32 1208 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → 𝑥𝑛)
102 logleb 26536 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
1031023ad2ant2 1132 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
104101, 103mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛))
105 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
106 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
107 logleb 26536 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
10846, 106, 107sylancr 586 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
11056, 109eqbrtrrid 5184 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
11146a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
112 1le1 11872 . . . . . 6 1 ≤ 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 1)
114 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
11510rexrd 11294 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
116 pnfge 13142 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 25968 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) ≤ (log‘𝐴))
11976, 118eqbrtrrd 5172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ≤ (log‘𝐴))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11401 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴))
12118, 82, 12lesubaddd 11841 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴) ↔ (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1)))
122120, 121mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11136  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  +∞cpnf 11275  *cxr 11277  cle 11279  cmin 11474  cn 12242  0cn0 12502  cz 12588  +crp 13006  (,)cioo 13356  ...cfz 13516  cfl 13787  !cfa 14264  abscabs 15213  Σcsu 15664   D cdv 25791  logclog 26487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26489
This theorem is referenced by:  logfacrlim  27156
  Copyright terms: Public domain W3C validator