MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 26726
Description: Show the stronger statement log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐‘‚(log๐‘ฅ) alluded to in logfacrlim 26727. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
21rprege0d 13023 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
3 flge0nn0 13785 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
54faccld 14244 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
65nnrpd 13014 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7 relogcl 26084 . . . . . . . 8 ((!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
9 rpre 12982 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 relogcl 26084 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13 peano2rem 11527 . . . . . . . . 9 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1510, 14remulcld 11244 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
168, 15resubcld 11642 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1716recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
1817abscld 15383 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
19 peano2rem 11527 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2018, 19syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
21 ax-1cn 11168 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
22 subcl 11459 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2423abscld 15383 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 abs1 15244 . . . . 5 (absโ€˜1) = 1
2625oveq2i 7420 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1)
27 abs2dif 15279 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2817, 21, 27sylancl 587 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5185 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
30 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐ด))
3130oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
3231sumeq1d 15647 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
34 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐ด))
3534oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
3633, 35oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3732, 36oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
38 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))
39 ovex 7442 . . . . . . . . 9 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt3i 7004 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4140adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
42 logfac 26109 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4443oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4541, 44eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
46 1rp 12978 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
47 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜1))
48 1z 12592 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„ค
49 flid 13773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŒŠโ€˜1) = 1
5147, 50eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = 1)
5251oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...1))
5352sumeq1d 15647 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›))
54 0cn 11206 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜1))
56 log1 26094 . . . . . . . . . . . . . 14 (logโ€˜1) = 0
5755, 56eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = 0)
5857fsum1 15693 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0)
5948, 54, 58mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0
6053, 59eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
62 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜1))
6362, 56eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = 0)
6463oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
6561, 64oveq12d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (1 ยท (0 โˆ’ 1)))
6654, 21subcli 11536 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
6766mullidi 11219 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท (0 โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1)
6865, 67eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1))
6960, 68oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)))
70 nncan 11489 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 691 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 7004 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7545, 74oveq12d 7427 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1)) = (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1))
7675fveq2d 6896 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) = (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
77 ioorp 13402 . . . . . 6 (0(,)+โˆž) = โ„+
7877eqcomi 2742 . . . . 5 โ„+ = (0(,)+โˆž)
79 nnuz 12865 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
81 1re 11214 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
8281a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
83 pnfxr 11268 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
8483a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
85 1nn0 12488 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
8681, 85nn0addge1i 12520 . . . . . 6 1 โ‰ค (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (1 + 1))
88 0red 11217 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
89 rpre 12982 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9089adantl 483 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
91 relogcl 26084 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9291adantl 483 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
93 peano2rem 11527 . . . . . . 7 ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9590, 94remulcld 11244 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
96 nnrp 12985 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
9796, 92sylan2 594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
98 advlog 26162 . . . . . 6 (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
9998a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)))
100 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘›))
101 simp32 1211 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
102 logleb 26111 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
1031023ad2ant2 1135 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
104101, 103mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
105 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
106 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
107 logleb 26111 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
10846, 106, 107sylancr 588 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11056, 109eqbrtrrid 5185 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11146a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
112 1le1 11842 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค 1)
114 simpr 486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
11510rexrd 11264 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
116 pnfge 13110 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 25551 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
11976, 118eqbrtrrd 5173 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11371 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12118, 82, 12lesubaddd 11811 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1)))
122120, 121mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  +โˆžcpnf 11245  โ„*cxr 11247   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  !cfa 14233  abscabs 15181  ฮฃcsu 15632   D cdv 25380  logclog 26063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065
This theorem is referenced by:  logfacrlim  26727
  Copyright terms: Public domain W3C validator