MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 26571
Description: Show the stronger statement log(𝑥!) = 𝑥log𝑥𝑥 + 𝑂(log𝑥) alluded to in logfacrlim 26572. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rprege0d 12964 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 flge0nn0 13725 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
54faccld 14184 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
65nnrpd 12955 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
7 relogcl 25931 . . . . . . . 8 ((!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
9 rpre 12923 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 relogcl 25931 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
13 peano2rem 11468 . . . . . . . . 9 ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1510, 14remulcld 11185 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
168, 15resubcld 11583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℝ)
1716recnd 11183 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ)
1817abscld 15321 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ)
19 peano2rem 11468 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
21 ax-1cn 11109 . . . . 5 1 ∈ ℂ
22 subcl 11400 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2317, 21, 22sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2423abscld 15321 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ∈ ℝ)
25 abs1 15182 . . . . 5 (abs‘1) = 1
2625oveq2i 7368 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1)
27 abs2dif 15217 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2817, 21, 27sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5141 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
30 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝐴))
3130oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...(⌊‘𝐴)))
3231sumeq1d 15586 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
34 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
3534oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((log‘𝑥) − 1) = ((log‘𝐴) − 1))
3633, 35oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))
3732, 36oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
38 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))
39 ovex 7390 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ V
4037, 38, 39fvmpt3i 6953 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
42 logfac 25956 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4443oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4541, 44eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
46 1rp 12919 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
47 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘1))
48 1z 12533 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
49 flid 13713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (⌊‘1) = 1
5147, 50eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = 1)
5251oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...1))
5352sumeq1d 15586 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛))
54 0cn 11147 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
55 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
56 log1 25941 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘1) = 0
5755, 56eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
5857fsum1 15632 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0)
5948, 54, 58mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0
6053, 59eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
62 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
6362, 56eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = 0)
6463oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((log‘𝑥) − 1) = (0 − 1))
6561, 64oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (1 · (0 − 1)))
6654, 21subcli 11477 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℂ
6766mulid2i 11160 . . . . . . . . . . 11 (1 · (0 − 1)) = (0 − 1)
6865, 67eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (0 − 1))
6960, 68oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (0 − (0 − 1)))
70 nncan 11430 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (0 − (0 − 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 690 . . . . . . . . 9 (0 − (0 − 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 6953 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7545, 74oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1)) = (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1))
7675fveq2d 6846 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) = (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
77 ioorp 13342 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
7877eqcomi 2745 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
79 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
81 1re 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
83 pnfxr 11209 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
8483a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
85 1nn0 12429 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8681, 85nn0addge1i 12461 . . . . . 6 1 ≤ (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (1 + 1))
88 0red 11158 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
89 rpre 12923 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
9089adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
91 relogcl 25931 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
9291adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
93 peano2rem 11468 . . . . . . 7 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9590, 94remulcld 11185 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℝ)
96 nnrp 12926 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
9796, 92sylan2 593 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
98 advlog 26009 . . . . . 6 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
9998a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
100 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (log‘𝑥) = (log‘𝑛))
101 simp32 1210 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → 𝑥𝑛)
102 logleb 25958 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
1031023ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
104101, 103mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛))
105 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
106 simprl 769 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
107 logleb 25958 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
10846, 106, 107sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
11056, 109eqbrtrrid 5141 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
11146a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
112 1le1 11783 . . . . . 6 1 ≤ 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 1)
114 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
11510rexrd 11205 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
116 pnfge 13051 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 25398 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) ≤ (log‘𝐴))
11976, 118eqbrtrrd 5129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ≤ (log‘𝐴))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11312 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴))
12118, 82, 12lesubaddd 11752 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴) ↔ (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1)))
122120, 121mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  cfl 13695  !cfa 14173  abscabs 15119  Σcsu 15570   D cdv 25227  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
This theorem is referenced by:  logfacrlim  26572
  Copyright terms: Public domain W3C validator