MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 26723
Description: Show the stronger statement log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐‘‚(log๐‘ฅ) alluded to in logfacrlim 26724. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
21rprege0d 13022 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
3 flge0nn0 13784 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
54faccld 14243 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•)
65nnrpd 13013 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+)
7 relogcl 26083 . . . . . . . 8 ((!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
9 rpre 12981 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
109adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 relogcl 26083 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
13 peano2rem 11526 . . . . . . . . 9 ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1510, 14remulcld 11243 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
168, 15resubcld 11641 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„)
1716recnd 11241 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
1817abscld 15382 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
19 peano2rem 11526 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„ โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
2018, 19syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
21 ax-1cn 11167 . . . . 5 1 โˆˆ โ„‚
22 subcl 11458 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2317, 21, 22sylancl 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
2423abscld 15382 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
25 abs1 15243 . . . . 5 (absโ€˜1) = 1
2625oveq2i 7419 . . . 4 ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1)
27 abs2dif 15278 . . . . 5 ((((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2817, 21, 27sylancl 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ (absโ€˜1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5184 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
30 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐ด))
3130oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
3231sumeq1d 15646 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
34 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐ด))
3534oveq1d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))
3633, 35oveq12d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
3732, 36oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
38 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))
39 ovex 7441 . . . . . . . . 9 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) โˆˆ V
4037, 38, 39fvmpt3i 7003 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4140adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
42 logfac 26108 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›))
4443oveq1d 7423 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
4541, 44eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) = ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))))
46 1rp 12977 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
47 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜1))
48 1z 12591 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„ค
49 flid 13772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŒŠโ€˜1) = 1
5147, 50eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = 1)
5251oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...1))
5352sumeq1d 15646 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›))
54 0cn 11205 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
55 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜1))
56 log1 26093 . . . . . . . . . . . . . 14 (logโ€˜1) = 0
5755, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = 0)
5857fsum1 15692 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0)
5948, 54, 58mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)(logโ€˜๐‘›) = 0
6053, 59eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
62 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜1))
6362, 56eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = 0)
6463oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) = (0 โˆ’ 1))
6561, 64oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (1 ยท (0 โˆ’ 1)))
6654, 21subcli 11535 . . . . . . . . . . . 12 (0 โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚
6766mullidi 11218 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท (0 โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1)
6865, 67eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) = (0 โˆ’ 1))
6960, 68oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)))
70 nncan 11488 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 690 . . . . . . . . 9 (0 โˆ’ (0 โˆ’ 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 7003 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1) = 1)
7545, 74oveq12d 7426 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1)) = (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1))
7675fveq2d 6895 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) = (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)))
77 ioorp 13401 . . . . . 6 (0(,)+โˆž) = โ„+
7877eqcomi 2741 . . . . 5 โ„+ = (0(,)+โˆž)
79 nnuz 12864 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
81 1re 11213 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
8281a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
83 pnfxr 11267 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
8483a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
85 1nn0 12487 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
8681, 85nn0addge1i 12519 . . . . . 6 1 โ‰ค (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (1 + 1))
88 0red 11216 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
89 rpre 12981 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
9089adantl 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
91 relogcl 26083 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9291adantl 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
93 peano2rem 11526 . . . . . . 7 ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
9590, 94remulcld 11243 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
96 nnrp 12984 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
9796, 92sylan2 593 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
98 advlog 26161 . . . . . 6 (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
9998a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)))
100 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘›))
101 simp32 1210 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
102 logleb 26110 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
1031023ad2ant2 1134 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
104101, 103mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
105 simprr 771 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
106 simprl 769 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
107 logleb 26110 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
10846, 106, 107sylancr 587 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
109105, 108mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11056, 109eqbrtrrid 5184 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
11146a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
112 1le1 11841 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค 1)
114 simpr 485 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
11510rexrd 11263 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
116 pnfge 13109 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 25550 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(logโ€˜๐‘›) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))))โ€˜1))) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
11976, 118eqbrtrrd 5172 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1))) โˆ’ 1)) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11370 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
12118, 82, 12lesubaddd 11810 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โˆ’ 1) โ‰ค (logโ€˜๐ด) โ†” (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1)))
122120, 121mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐ด))) โˆ’ (๐ด ยท ((logโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11244  โ„*cxr 11246   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  (,)cioo 13323  ...cfz 13483  โŒŠcfl 13754  !cfa 14232  abscabs 15180  ฮฃcsu 15631   D cdv 25379  logclog 26062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064
This theorem is referenced by:  logfacrlim  26724
  Copyright terms: Public domain W3C validator