MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacbnd3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacbnd3 27282
Description: Show the stronger statement log(𝑥!) = 𝑥log𝑥𝑥 + 𝑂(log𝑥) alluded to in logfacrlim 27283. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacbnd3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))

Proof of Theorem logfacbnd3
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rprege0d 13082 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
3 flge0nn0 13857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
54faccld 14320 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ)
65nnrpd 13073 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+)
7 relogcl 26632 . . . . . . . 8 ((!‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) ∈ ℝ)
9 rpre 13041 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 relogcl 26632 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
13 peano2rem 11574 . . . . . . . . 9 ((log‘𝐴) ∈ ℝ → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
1510, 14remulcld 11289 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
168, 15resubcld 11689 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℝ)
1716recnd 11287 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ)
1817abscld 15472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ)
19 peano2rem 11574 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ∈ ℝ → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ∈ ℝ)
21 ax-1cn 11211 . . . . 5 1 ∈ ℂ
22 subcl 11505 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2317, 21, 22sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1) ∈ ℂ)
2423abscld 15472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ∈ ℝ)
25 abs1 15333 . . . . 5 (abs‘1) = 1
2625oveq2i 7442 . . . 4 ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1)
27 abs2dif 15368 . . . . 5 ((((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2817, 21, 27sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
2926, 28eqbrtrrid 5184 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
30 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝐴))
3130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...(⌊‘𝐴)))
3231sumeq1d 15733 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
34 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (log‘𝑥) = (log‘𝐴))
3534oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((log‘𝑥) − 1) = ((log‘𝐴) − 1))
3633, 35oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))
3732, 36oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
38 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))
39 ovex 7464 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ V
4037, 38, 39fvmpt3i 7021 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4140adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
42 logfac 26658 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
434, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (log‘(!‘(⌊‘𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛))
4443oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(log‘𝑛) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
4541, 44eqtr4d 2778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) = ((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))))
46 1rp 13036 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
47 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘1))
48 1z 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
49 flid 13845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ ℤ → (⌊‘1) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (⌊‘1) = 1
5147, 50eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (⌊‘𝑥) = 1)
5251oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (1...(⌊‘𝑥)) = (1...1))
5352sumeq1d 15733 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛))
54 0cn 11251 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
55 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = (log‘1))
56 log1 26642 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘1) = 0
5755, 56eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (log‘𝑛) = 0)
5857fsum1 15780 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0)
5948, 54, 58mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑛 ∈ (1...1)(log‘𝑛) = 0
6053, 59eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) = 0)
61 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
62 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
6362, 56eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = 0)
6463oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → ((log‘𝑥) − 1) = (0 − 1))
6561, 64oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (1 · (0 − 1)))
6654, 21subcli 11583 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 1) ∈ ℂ
6766mullidi 11264 . . . . . . . . . . 11 (1 · (0 − 1)) = (0 − 1)
6865, 67eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) = (0 − 1))
6960, 68oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = (0 − (0 − 1)))
70 nncan 11536 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (0 − (0 − 1)) = 1)
7154, 21, 70mp2an 692 . . . . . . . . 9 (0 − (0 − 1)) = 1
7269, 71eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) = 1)
7372, 38, 39fvmpt3i 7021 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7446, 73mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1) = 1)
7545, 74oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1)) = (((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1))
7675fveq2d 6911 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) = (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)))
77 ioorp 13462 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
7877eqcomi 2744 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
79 nnuz 12919 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
8048a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
81 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
8281a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
83 pnfxr 11313 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
8483a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
85 1nn0 12540 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
8681, 85nn0addge1i 12572 . . . . . 6 1 ≤ (1 + 1)
8786a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ (1 + 1))
88 0red 11262 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
89 rpre 13041 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
9089adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
91 relogcl 26632 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
9291adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
93 peano2rem 11574 . . . . . . 7 ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9492, 93syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℝ)
9590, 94remulcld 11289 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℝ)
96 nnrp 13044 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
9796, 92sylan2 593 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
98 advlog 26711 . . . . . 6 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥))
9998a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)))
100 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (log‘𝑥) = (log‘𝑛))
101 simp32 1209 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → 𝑥𝑛)
102 logleb 26660 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
1031023ad2ant2 1133 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (𝑥𝑛 ↔ (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛)))
104101, 103mpbid 232 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≤ +∞)) → (log‘𝑥) ≤ (log‘𝑛))
105 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
106 simprl 771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
107 logleb 26660 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
10846, 106, 107sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
109105, 108mpbid 232 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
11056, 109eqbrtrrid 5184 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
11146a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ+)
112 1le1 11889 . . . . . 6 1 ≤ 1
113112a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 1)
114 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐴)
11510rexrd 11309 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
116 pnfge 13170 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
117115, 116syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
11878, 79, 80, 82, 84, 87, 88, 95, 92, 97, 99, 100, 104, 38, 110, 111, 1, 113, 114, 117, 34dvfsum2 26090 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘𝐴) − ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(log‘𝑛) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))))‘1))) ≤ (log‘𝐴))
11976, 118eqbrtrrd 5172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘(((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1))) − 1)) ≤ (log‘𝐴))
12020, 24, 12, 29, 119letrd 11416 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴))
12118, 82, 12lesubaddd 11858 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) − 1) ≤ (log‘𝐴) ↔ (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1)))
122120, 121mpbid 232 1 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐴) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝐴))) − (𝐴 · ((log‘𝐴) − 1)))) ≤ ((log‘𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  cfl 13827  !cfa 14309  abscabs 15270  Σcsu 15719   D cdv 25913  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  logfacrlim  27283
  Copyright terms: Public domain W3C validator