MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup1 18675
Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
frmdup.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
Assertion
Ref Expression
frmdup1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐸(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem frmdup1
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2 frmdup.m . . . 4 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
32frmdmnd 18670 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑋 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
41, 3syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
5 frmdup.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
65adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
7 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Word 𝐼)
8 frmdup.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
98adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
10 wrdco 14721 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐡)
117, 9, 10syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐡)
12 frmdup.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
1312gsumwcl 18650 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∘ π‘₯) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) ∈ 𝐡)
146, 11, 13syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐼) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) ∈ 𝐡)
15 frmdup.e . . . . 5 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
1614, 15fmptd 7063 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸:Word 𝐼⟢𝐡)
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
182, 17frmdbas 18663 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑋 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
191, 18syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
2019feq2d 6655 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ↔ 𝐸:Word 𝐼⟢𝐡))
2116, 20mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡)
222, 17frmdelbas 18664 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
2322ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
242, 17frmdelbas 18664 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
2524ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝑧 ∈ Word 𝐼)
268adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
27 ccatco 14725 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧)) = ((𝐴 ∘ 𝑦) ++ (𝐴 ∘ 𝑧)))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧)) = ((𝐴 ∘ 𝑦) ++ (𝐴 ∘ 𝑧)))
2928oveq2d 7374 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧))) = (𝐺 Ξ£g ((𝐴 ∘ 𝑦) ++ (𝐴 ∘ 𝑧))))
305adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
31 wrdco 14721 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ 𝑦) ∈ Word 𝐡)
3223, 26, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝐴 ∘ 𝑦) ∈ Word 𝐡)
33 wrdco 14721 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ 𝑧) ∈ Word 𝐡)
3425, 26, 33syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝐴 ∘ 𝑧) ∈ Word 𝐡)
35 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
3612, 35gsumccat 18652 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐴 ∘ 𝑦) ∈ Word 𝐡 ∧ (𝐴 ∘ 𝑧) ∈ Word 𝐡) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐴 ∘ 𝑦) ++ (𝐴 ∘ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧))))
3730, 32, 34, 36syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝐺 Ξ£g ((𝐴 ∘ 𝑦) ++ (𝐴 ∘ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧))))
3829, 37eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧))) = ((𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧))))
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
402, 17, 39frmdadd 18666 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
4140adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧) = (𝑦 ++ 𝑧))
4241fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (πΈβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = (πΈβ€˜(𝑦 ++ 𝑧)))
43 ccatcl 14463 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
4423, 25, 43syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼)
45 coeq2 5815 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 ++ 𝑧) β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧)))
4645oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 ++ 𝑧) β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧))))
47 ovex 7391 . . . . . . . 8 (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) ∈ V
4846, 15, 47fvmpt3i 6954 . . . . . . 7 ((𝑦 ++ 𝑧) ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜(𝑦 ++ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧))))
4944, 48syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (πΈβ€˜(𝑦 ++ 𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧))))
5042, 49eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (πΈβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ (𝑦 ++ 𝑧))))
51 coeq2 5815 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ 𝑦))
5251oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦)))
5352, 15, 47fvmpt3i 6954 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦)))
54 coeq2 5815 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ 𝑧))
5554oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧)))
5655, 15, 47fvmpt3i 6954 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜π‘§) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧)))
5753, 56oveqan12d 7377 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ Word 𝐼) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(πΈβ€˜π‘§)) = ((𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧))))
5823, 25, 57syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(πΈβ€˜π‘§)) = ((𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑦))(+gβ€˜πΊ)(𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ 𝑧))))
5938, 50, 583eqtr4d 2787 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜π‘€))) β†’ (πΈβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = ((πΈβ€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(πΈβ€˜π‘§)))
6059ralrimivva 3198 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(πΈβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = ((πΈβ€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(πΈβ€˜π‘§)))
61 wrd0 14428 . . . 4 βˆ… ∈ Word 𝐼
62 coeq2 5815 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ βˆ…))
63 co02 6213 . . . . . . . 8 (𝐴 ∘ βˆ…) = βˆ…
6462, 63eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = βˆ…)
6564oveq2d 7374 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g βˆ…))
66 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
6766gsum0 18540 . . . . . 6 (𝐺 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)
6865, 67eqtrdi 2793 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (0gβ€˜πΊ))
6968, 15, 47fvmpt3i 6954 . . . 4 (βˆ… ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))
7061, 69mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))
7121, 60, 703jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(πΈβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = ((πΈβ€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(πΈβ€˜π‘§)) ∧ (πΈβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ)))
722frmd0 18671 . . 3 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
7317, 12, 39, 35, 72, 66ismhm 18604 . 2 (𝐸 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐸:(Baseβ€˜π‘€)⟢𝐡 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘€)(πΈβ€˜(𝑦(+gβ€˜π‘€)𝑧)) = ((πΈβ€˜π‘¦)(+gβ€˜πΊ)(πΈβ€˜π‘§)) ∧ (πΈβ€˜βˆ…) = (0gβ€˜πΊ))))
744, 5, 71, 73syl21anbrc 1345 1 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14403   ++ cconcat 14459  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  0gc0g 17322   Ξ£g cgsu 17323  Mndcmnd 18557   MndHom cmhm 18600  freeMndcfrmd 18658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-hash 14232  df-word 14404  df-concat 14460  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-frmd 18660
This theorem is referenced by:  frmdup3  18678
  Copyright terms: Public domain W3C validator