Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1a 19264
 Description: The factors of ablfac1b 19265 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃𝑝 = 𝑃)
2 oveq1 7162 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
31, 2oveq12d 7173 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
43breq2d 5047 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
54rabbidv 3392 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
87fvexi 6676 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
98rabex 5205 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
105, 6, 9fvmpt3i 6768 . . . 4 (𝑃𝐴 → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
1110adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
1211fveq2d 6666 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}))
13 ablfac1.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
14 eqid 2758 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}
15 eqid 2758 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}
16 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
18 ablfac1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
19 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
20 eqid 2758 . . . . . . 7 (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
21 eqid 2758 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
227, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21ablfac1lem 19263 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))))
2322simp1d 1139 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
2423simpld 498 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
2523simprd 499 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
2622simp2d 1140 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
2722simp3d 1141 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
287, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27ablfacrp2 19262 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
2928simpld 498 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3012, 29eqtrd 2793 1 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074   ⊆ wss 3860   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  1c1 10581   · cmul 10585   / cdiv 11340  ℕcn 11679  ↑cexp 13484  ♯chash 13745   ∥ cdvds 15660   gcd cgcd 15898  ℙcprime 16072   pCnt cpc 16233  Basecbs 16546  odcod 18724  Abelcabl 18979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-inf2 9142  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-disj 5001  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-oadd 8121  df-omul 8122  df-er 8304  df-ec 8306  df-qs 8310  df-map 8423  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-dju 9368  df-card 9406  df-acn 9409  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-n0 11940  df-xnn0 12012  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-fl 13216  df-mod 13292  df-seq 13424  df-exp 13485  df-fac 13689  df-bc 13718  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-clim 14898  df-sum 15096  df-dvds 15661  df-gcd 15899  df-prm 16073  df-pc 16234  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-0g 16778  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-eqg 18350  df-ga 18492  df-cntz 18519  df-od 18728  df-lsm 18833  df-pj1 18834  df-cmn 18980  df-abl 18981 This theorem is referenced by:  ablfac1c  19266  ablfac1eu  19268  ablfaclem3  19282
 Copyright terms: Public domain W3C validator