MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ablfac1a 19991
Description: The factors of ablfac1b 19992 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐ต   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)
Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ = ๐‘ƒ)
2 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
31, 2oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
43breq2d 5153 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
54rabbidv 3434 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
87fvexi 6899 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
98rabex 5325 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} โˆˆ V
105, 6, 9fvmpt3i 6997 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1110adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1211fveq2d 6889 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}))
13 ablfac1.o . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
14 eqid 2726 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}
15 eqid 2726 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}
16 ablfac1.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
1716adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
18 ablfac1.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
19 ablfac1.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
20 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
21 eqid 2726 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
227, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21ablfac1lem 19990 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))))
2322simp1d 1139 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•))
2423simpld 494 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
2523simprd 495 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•)
2622simp2d 1140 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1)
2722simp3d 1141 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
287, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27ablfacrp2 19989 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
2928simpld 494 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3012, 29eqtrd 2766 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426   โŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ†‘cexp 14032  โ™ฏchash 14295   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  โ„™cprime 16615   pCnt cpc 16778  Basecbs 17153  odcod 19444  Abelcabl 19701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-eqg 19052  df-ga 19206  df-cntz 19233  df-od 19448  df-lsm 19556  df-pj1 19557  df-cmn 19702  df-abl 19703
This theorem is referenced by:  ablfac1c  19993  ablfac1eu  19995  ablfaclem3  20009
  Copyright terms: Public domain W3C validator