MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ablfac1a 19938
Description: The factors of ablfac1b 19939 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐ต   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)
Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ = ๐‘ƒ)
2 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
31, 2oveq12d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
43breq2d 5160 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
54rabbidv 3440 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
87fvexi 6905 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
98rabex 5332 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} โˆˆ V
105, 6, 9fvmpt3i 7003 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1110adantl 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1211fveq2d 6895 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}))
13 ablfac1.o . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
14 eqid 2732 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}
15 eqid 2732 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}
16 ablfac1.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
1716adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
18 ablfac1.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
19 ablfac1.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
21 eqid 2732 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
227, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21ablfac1lem 19937 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))))
2322simp1d 1142 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•))
2423simpld 495 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
2523simprd 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•)
2622simp2d 1143 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1)
2722simp3d 1144 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
287, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27ablfacrp2 19936 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
2928simpld 495 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3012, 29eqtrd 2772 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432   โŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  1c1 11110   ยท cmul 11114   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ†‘cexp 14026  โ™ฏchash 14289   โˆฅ cdvds 16196   gcd cgcd 16434  โ„™cprime 16607   pCnt cpc 16768  Basecbs 17143  odcod 19391  Abelcabl 19648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608  df-pc 16769  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-eqg 19004  df-ga 19153  df-cntz 19180  df-od 19395  df-lsm 19503  df-pj1 19504  df-cmn 19649  df-abl 19650
This theorem is referenced by:  ablfac1c  19940  ablfac1eu  19942  ablfaclem3  19956
  Copyright terms: Public domain W3C validator