Theorem ablfac1a 20129

Description: The factors of ablfac1b 20130 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
ablfac1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → 𝑝 = 𝑃)
2		oveq1 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
3	1, 2	oveq12d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
4	3	breq2d 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
5	4	rabbidv 3424	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
6		ablfac1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
7		ablfac1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	fvexi 6885	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	rabex 5299	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
10	5, 6, 9	fvmpt3i 6985	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
11	10	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
12	11	fveq2d 6875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}))
13		ablfac1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}
15		eqid 2765	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}
16		ablfac1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
18		ablfac1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
19		ablfac1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
20		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
21		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
22	7, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21	ablfac1lem 20128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))))
23	22	simp1d 1158	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
24	23	simpld 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
25	23	simprd 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
26	22	simp2d 1159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
27	22	simp3d 1160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
28	7, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27	ablfacrp2 20127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
29	28	simpld 499	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
30	12, 29	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  1c1 11089   · cmul 11093   / cdiv 11859  ℕcn 12221  ↑cexp 14085  ♯chash 14354   ∥ cdvds 16298   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16717   pCnt cpc 16884  Basecbs 17257  odcod 19582  Abelcabl 19839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5072  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-omul 8446  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9875  df-card 9913  df-acn 9916  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-sum 15726  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-pc 16885  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-eqg 19179  df-ga 19348  df-cntz 19375  df-od 19586  df-lsm 19694  df-pj1 19695  df-cmn 19840  df-abl 19841

This theorem is referenced by:  ablfac1c  20131  ablfac1eu  20133  ablfaclem3  20147