MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1a 20104
Description: The factors of ablfac1b 20105 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃𝑝 = 𝑃)
2 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
31, 2oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
43breq2d 5160 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
54rabbidv 3441 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
87fvexi 6921 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
98rabex 5345 . . . . 5 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
105, 6, 9fvmpt3i 7021 . . . 4 (𝑃𝐴 → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
1110adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑆𝑃) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
1211fveq2d 6911 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}))
13 ablfac1.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
14 eqid 2735 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}
15 eqid 2735 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}
16 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
18 ablfac1.f . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
19 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
20 eqid 2735 . . . . . . 7 (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
21 eqid 2735 . . . . . . 7 ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
227, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21ablfac1lem 20103 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))))
2322simp1d 1141 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
2423simpld 494 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
2523simprd 495 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
2622simp2d 1142 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
2722simp3d 1143 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
287, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27ablfacrp2 20102 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
2928simpld 494 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘{𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3012, 29eqtrd 2775 1 ((𝜑𝑃𝐴) → (♯‘(𝑆𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  1c1 11154   · cmul 11158   / cdiv 11918  cn 12264  cexp 14099  chash 14366  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705   pCnt cpc 16870  Basecbs 17245  odcod 19557  Abelcabl 19814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-eqg 19156  df-ga 19321  df-cntz 19348  df-od 19561  df-lsm 19669  df-pj1 19670  df-cmn 19815  df-abl 19816
This theorem is referenced by:  ablfac1c  20106  ablfac1eu  20108  ablfaclem3  20122
  Copyright terms: Public domain W3C validator