MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1a 19855
Description: The factors of ablfac1b 19856 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐ต   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ = ๐‘ƒ)
2 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
31, 2oveq12d 7380 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
43breq2d 5122 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
54rabbidv 3418 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
87fvexi 6861 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
98rabex 5294 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} โˆˆ V
105, 6, 9fvmpt3i 6958 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1110adantl 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1211fveq2d 6851 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}))
13 ablfac1.o . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
14 eqid 2737 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}
15 eqid 2737 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}
16 ablfac1.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
1716adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
18 ablfac1.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
19 ablfac1.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
20 eqid 2737 . . . . . . 7 (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
21 eqid 2737 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
227, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21ablfac1lem 19854 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))))
2322simp1d 1143 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•))
2423simpld 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
2523simprd 497 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•)
2622simp2d 1144 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1)
2722simp3d 1145 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
287, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27ablfacrp2 19853 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
2928simpld 496 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3012, 29eqtrd 2777 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3410   โŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  1c1 11059   ยท cmul 11063   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  โ†‘cexp 13974  โ™ฏchash 14237   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554   pCnt cpc 16715  Basecbs 17090  odcod 19313  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-eqg 18934  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-od 19317  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by:  ablfac1c  19857  ablfac1eu  19859  ablfaclem3  19873
  Copyright terms: Public domain W3C validator