MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ablfac1a 20040
Description: The factors of ablfac1b 20041 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
ablfac1.o ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
ablfac1.s ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
ablfac1.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
ablfac1.f (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
ablfac1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
Assertion
Ref Expression
ablfac1a ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐ต   ๐œ‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐ด,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘‚,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘ƒ,๐‘,๐‘ฅ   ๐บ,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)
Proof of Theorem ablfac1a
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ = ๐‘ƒ)
2 oveq1 7433 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
31, 2oveq12d 7444 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
43breq2d 5164 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†” (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))
54rabbidv 3438 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘ƒ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
6 ablfac1.s . . . . 5 ๐‘† = (๐‘ โˆˆ ๐ด โ†ฆ {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
7 ablfac1.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
87fvexi 6916 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ V
98rabex 5338 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} โˆˆ V
105, 6, 9fvmpt3i 7015 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1110adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘†โ€˜๐‘ƒ) = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))})
1211fveq2d 6906 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}))
13 ablfac1.o . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
14 eqid 2728 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}
15 eqid 2728 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))} = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}
16 ablfac1.g . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
1716adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
18 ablfac1.f . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)
19 ablfac1.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„™)
20 eqid 2728 . . . . . . 7 (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))
21 eqid 2728 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
227, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21ablfac1lem 20039 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1 โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))))))
2322simp1d 1139 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„• โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•))
2423simpld 493 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆˆ โ„•)
2523simprd 494 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆˆ โ„•)
2622simp2d 1140 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) gcd ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))) = 1)
2722simp3d 1141 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
287, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27ablfacrp2 20038 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))}) = ((โ™ฏโ€˜๐ต) / (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))))
2928simpld 493 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต)))}) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
3012, 29eqtrd 2768 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ™ฏโ€˜(๐‘†โ€˜๐‘ƒ)) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3430   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8972  1c1 11149   ยท cmul 11153   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  โ†‘cexp 14068  โ™ฏchash 14331   โˆฅ cdvds 16240   gcd cgcd 16478  โ„™cprime 16651   pCnt cpc 16814  Basecbs 17189  odcod 19493  Abelcabl 19750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-ec 8735  df-qs 8739  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-pc 16815  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-eqg 19094  df-ga 19255  df-cntz 19282  df-od 19497  df-lsm 19605  df-pj1 19606  df-cmn 19751  df-abl 19752
This theorem is referenced by:  ablfac1c  20042  ablfac1eu  20044  ablfaclem3  20058
  Copyright terms: Public domain W3C validator