Theorem ablfac1a 20089

Description: The factors of ablfac1b 20090 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
ablfac1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → 𝑝 = 𝑃)
2		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
3	1, 2	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
4	3	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
5	4	rabbidv 3444	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
6		ablfac1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
7		ablfac1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	7	fvexi 6920	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	rabex 5339	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
10	5, 6, 9	fvmpt3i 7021	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
12	11	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}))
13		ablfac1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
14		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}
16		ablfac1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
18		ablfac1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
19		ablfac1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
21		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
22	7, 13, 6, 16, 18, 19, 20, 21	ablfac1lem 20088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))))
23	22	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
24	23	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
25	23	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
26	22	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
27	22	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
28	7, 13, 14, 15, 17, 24, 25, 26, 27	ablfacrp2 20087	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
29	28	simpld 494	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
30	12, 29	eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  1c1 11156   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ↑cexp 14102  ♯chash 14369   ∥ cdvds 16290   gcd cgcd 16531  ℙcprime 16708   pCnt cpc 16874  Basecbs 17247  odcod 19542  Abelcabl 19799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-eqg 19143  df-ga 19308  df-cntz 19335  df-od 19546  df-lsm 19654  df-pj1 19655  df-cmn 19800  df-abl 19801

This theorem is referenced by:  ablfac1c  20091  ablfac1eu  20093  ablfaclem3  20107