Theorem mvth 24595

Description: The Mean Value Theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐵] which is differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that (ℝ D 𝐹)‘𝑥 is equal to the average slope over [𝐴, 𝐵]. This is Metamath 100 proof #75. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mvth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mvth.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
mvth.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
mvth.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
mvth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mvth

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvth.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mvth.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mvth.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		mvth.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5		mptresid 5885	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)
6		iccssre 12807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	1, 2, 6	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8		ax-resscn 10583	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		cncfmptid 23518	. . . . 5 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10	7, 8, 9	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
11	5, 10	eqeltrid 2894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
12		mvth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
13	5	eqcomi 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) = ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))
14	13	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))
15		reelprrecn 10618	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
17		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	17	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		1red 10631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
20	16	dvmptid 24560	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 1))
21		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	tgioo2 23408	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
23		iccntr 23426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
24	1, 2, 23	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
25	16, 18, 19, 20, 7, 22, 21, 24	dvmptres2 24565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
26	14, 25	syl5eqr 2847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
27	26	dmeqd 5738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
28		1ex 10626	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
29		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
30	28, 29	dmmpti 6464	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝐴(,)𝐵)
31	27, 30	eqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
32	1, 2, 3, 4, 11, 12, 31	cmvth 24594	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
33	1	rexrd 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	1, 2, 3	ltled 10777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
36		ubicc2 12843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38		fvresi 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
40		lbicc2 12842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	33, 34, 35, 40	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		fvresi 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
44	39, 43	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
45	44	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
46	45	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
47	26	fveq1d 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥))
48		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 1 = 1)
49	48, 29, 28	fvmpt3i 6750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥) = 1)
50	47, 49	sylan9eq 2853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = 1)
51	50	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · 1))
52		cncff 23498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53	4, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
54	53, 37	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
55	53, 41	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
56	54, 55	resubcld 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 10658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
58	57	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	58	mulid1d 10647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · 1) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
60	51, 59	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
61	46, 60	eqeq12d 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
62	2, 1	resubcld 11057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
64	63	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
65		dvf 24510	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
66	12	feq2d 6473	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
67	65, 66	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
68	67	ffvelrnda 6828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
69	1, 2	posdifd 11216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
70	3, 69	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
71	70	gt0ne0d 11193	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
72	71	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
73	58, 64, 68, 72	divmuld 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
74	61, 73	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75		eqcom 2805	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)))
76		eqcom 2805	. . . 4 ⊢ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
77	74, 75, 76	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
78	77	rexbidva 3255	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
79	32, 78	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  {cpr 4527   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   I cid 5424  dom cdm 5519  ran crn 5520   ↾ cres 5521  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂ_fldccnfld 20091  intcnt 21622  –cn→ccncf 23481   D cdv 24466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  dvlip  24596  c1liplem1  24599  dvgt0lem1  24605  dvcvx  24623  dvbdfbdioolem1  42570