MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvth 25509
Description: The Mean Value Theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐡] which is differentiable on (𝐴, 𝐡), then there is some π‘₯ ∈ (𝐴, 𝐡) such that (ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯ is equal to the average slope over [𝐴, 𝐡]. This is Metamath 100 proof #75. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvth.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
mvth.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mvth.lt (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
mvth.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
mvth.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
Assertion
Ref Expression
mvth (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem mvth
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvth.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 mvth.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 mvth.lt . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
4 mvth.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
5 mptresid 6051 . . . 4 ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑧)
6 iccssre 13406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
71, 2, 6syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
8 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
9 cncfmptid 24429 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
107, 8, 9sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
115, 10eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
12 mvth.d . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
135eqcomi 2742 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑧) = ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))
1413oveq2i 7420 . . . . . 6 (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑧)) = (ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))
15 reelprrecn 11202 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
1615a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
1817recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
19 1red 11215 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
2016dvmptid 25474 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 1))
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
2221tgioo2 24319 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
23 iccntr 24337 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
241, 2, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
2516, 18, 19, 20, 7, 22, 21, 24dvmptres2 25479 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
2614, 25eqtr3id 2787 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
2726dmeqd 5906 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
28 1ex 11210 . . . . 5 1 ∈ V
29 eqid 2733 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)
3028, 29dmmpti 6695 . . . 4 dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1) = (𝐴(,)𝐡)
3127, 30eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))) = (𝐴(,)𝐡))
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31cmvth 25508 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) = (((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
331rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
342rexrd 11264 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
351, 2, 3ltled 11362 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
36 ubicc2 13442 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
38 fvresi 7171 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) = 𝐡)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) = 𝐡)
40 lbicc2 13441 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4133, 34, 35, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
42 fvresi 7171 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄) = 𝐴)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄) = 𝐴)
4439, 43oveq12d 7427 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) = (𝐡 βˆ’ 𝐴))
4645oveq1d 7424 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((𝐡 βˆ’ 𝐴) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4726fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)β€˜π‘₯))
48 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = π‘₯ β†’ 1 = 1)
4948, 29, 28fvmpt3i 7004 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1)β€˜π‘₯) = 1)
5047, 49sylan9eq 2793 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯) = 1)
5150oveq2d 7425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· 1))
52 cncff 24409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
534, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
5453, 37ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
5553, 41ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
5654, 55resubcld 11642 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
5756recnd 11242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5857adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
5958mulridd 11231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· 1) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
6051, 59eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)))
6146, 60eqeq12d 2749 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
622, 1resubcld 11642 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
6362recnd 11242 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
6463adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
65 dvf 25424 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
6612feq2d 6704 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
6765, 66mpbii 232 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
6867ffvelcdmda 7087 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
691, 2posdifd 11801 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
703, 69mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
7170gt0ne0d 11778 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
7271adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) β‰  0)
7358, 64, 68, 72divmuld 12012 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))))
7461, 73bitr4d 282 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) ↔ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
75 eqcom 2740 . . . 4 ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) = (((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ↔ (((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)))
76 eqcom 2740 . . . 4 (((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ↔ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
7774, 75, 763bitr4g 314 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) = (((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ↔ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
7877rexbidva 3177 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D ( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡)))β€˜π‘₯)) = (((( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΅) βˆ’ (( I β†Ύ (𝐴[,]𝐡))β€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
7932, 78mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) / (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  {cpr 4631   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  intcnt 22521  β€“cnβ†’ccncf 24392   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvlip  25510  c1liplem1  25513  dvgt0lem1  25519  dvcvx  25537  dvbdfbdioolem1  44644
  Copyright terms: Public domain W3C validator