MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvth 26046
Description: The Mean Value Theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐵] which is differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that (ℝ D 𝐹)‘𝑥 is equal to the average slope over [𝐴, 𝐵]. This is Metamath 100 proof #75. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvth.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mvth.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mvth.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
mvth.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
mvth.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
mvth (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mvth
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvth.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mvth.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 mvth.lt . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 mvth.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5 mptresid 6071 . . . 4 ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)
6 iccssre 13466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
71, 2, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8 ax-resscn 11210 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
9 cncfmptid 24953 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
107, 8, 9sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
115, 10eqeltrid 2843 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
12 mvth.d . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
135eqcomi 2744 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) = ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))
1413oveq2i 7442 . . . . . 6 (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))
15 reelprrecn 11245 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
17 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1817recnd 11287 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19 1red 11260 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
2016dvmptid 26010 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 1))
21 eqid 2735 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221tgioo2 24839 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
23 iccntr 24857 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
241, 2, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2516, 18, 19, 20, 7, 22, 21, 24dvmptres2 26015 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
2614, 25eqtr3id 2789 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
2726dmeqd 5919 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
28 1ex 11255 . . . . 5 1 ∈ V
29 eqid 2735 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
3028, 29dmmpti 6713 . . . 4 dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝐴(,)𝐵)
3127, 30eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31cmvth 26044 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
331rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
342rexrd 11309 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
351, 2, 3ltled 11407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
36 ubicc2 13502 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38 fvresi 7193 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
40 lbicc2 13501 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4133, 34, 35, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 fvresi 7193 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
4439, 43oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵𝐴))
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵𝐴))
4645oveq1d 7446 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐵𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4726fveq1d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥))
48 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → 1 = 1)
4948, 29, 28fvmpt3i 7021 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥) = 1)
5047, 49sylan9eq 2795 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = 1)
5150oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · 1))
52 cncff 24933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
534, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5453, 37ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
5553, 41ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5654, 55resubcld 11689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
5756recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5958mulridd 11276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · 1) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
6051, 59eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
6146, 60eqeq12d 2751 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ ((𝐵𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))))
622, 1resubcld 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
6362recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
6463adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
65 dvf 25957 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
6612feq2d 6723 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6765, 66mpbii 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6867ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
691, 2posdifd 11848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
703, 69mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
7170gt0ne0d 11825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
7271adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
7358, 64, 68, 72divmuld 12063 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐵𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))))
7461, 73bitr4d 282 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75 eqcom 2742 . . . 4 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)))
76 eqcom 2742 . . . 4 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) ↔ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
7774, 75, 763bitr4g 314 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴))))
7877rexbidva 3175 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴))))
7932, 78mpbid 232 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231   I cid 5582  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  TopOpenctopn 17468  topGenctg 17484  fldccnfld 21382  intcnt 23041  cnccncf 24916   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  dvlip  26047  c1liplem1  26050  dvgt0lem1  26056  dvcvx  26074  dvbdfbdioolem1  45884
  Copyright terms: Public domain W3C validator