MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvth 24593
Description: The Mean Value Theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐵] which is differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that (ℝ D 𝐹)‘𝑥 is equal to the average slope over [𝐴, 𝐵]. This is Metamath 100 proof #75. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mvth.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mvth.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mvth.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
mvth.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
mvth.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
mvth (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mvth
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvth.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mvth.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 mvth.lt . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 mvth.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5 mptresid 5906 . . . 4 ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)
6 iccssre 12814 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
71, 2, 6syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8 ax-resscn 10588 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
9 cncfmptid 23516 . . . . 5 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
107, 8, 9sylancl 589 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
115, 10eqeltrid 2920 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
12 mvth.d . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
135eqcomi 2833 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) = ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))
1413oveq2i 7157 . . . . . 6 (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))
15 reelprrecn 10623 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
17 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
1817recnd 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19 1red 10636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
2016dvmptid 24558 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 1))
21 eqid 2824 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221tgioo2 23406 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
23 iccntr 23424 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
241, 2, 23syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2516, 18, 19, 20, 7, 22, 21, 24dvmptres2 24563 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
2614, 25syl5eqr 2873 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
2726dmeqd 5762 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
28 1ex 10631 . . . . 5 1 ∈ V
29 eqid 2824 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
3028, 29dmmpti 6481 . . . 4 dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝐴(,)𝐵)
3127, 30syl6eq 2875 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
321, 2, 3, 4, 11, 12, 31cmvth 24592 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
331rexrd 10685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
342rexrd 10685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
351, 2, 3ltled 10782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
36 ubicc2 12850 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38 fvresi 6924 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
40 lbicc2 12849 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4133, 34, 35, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42 fvresi 6924 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
4439, 43oveq12d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵𝐴))
4544adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵𝐴))
4645oveq1d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐵𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
4726fveq1d 6661 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥))
48 eqidd 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑥 → 1 = 1)
4948, 29, 28fvmpt3i 6762 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥) = 1)
5047, 49sylan9eq 2879 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = 1)
5150oveq2d 7162 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · 1))
52 cncff 23496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
534, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
5453, 37ffvelrnd 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
5553, 41ffvelrnd 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5654, 55resubcld 11062 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
5756recnd 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5857adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5958mulid1d 10652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · 1) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
6051, 59eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
6146, 60eqeq12d 2840 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ ((𝐵𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))))
622, 1resubcld 11062 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
6362recnd 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
6463adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
65 dvf 24508 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
6612feq2d 6489 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
6765, 66mpbii 236 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
6867ffvelrnda 6840 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
691, 2posdifd 11221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
703, 69mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
7170gt0ne0d 11198 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
7271adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵𝐴) ≠ 0)
7358, 64, 68, 72divmuld 11432 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐵𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))))
7461, 73bitr4d 285 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75 eqcom 2831 . . . 4 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)))
76 eqcom 2831 . . . 4 (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) ↔ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
7774, 75, 763bitr4g 317 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴))))
7877rexbidva 3289 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴))))
7932, 78mpbid 235 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) / (𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  wss 3919  {cpr 4552   class class class wbr 5053  cmpt 5133   I cid 5447  dom cdm 5543  ran crn 5544  cres 5545  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  (,)cioo 12733  [,]cicc 12736  TopOpenctopn 16693  topGenctg 16709  fldccnfld 20540  intcnt 21620  cnccncf 23479   D cdv 24464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-fbas 20537  df-fg 20538  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468
This theorem is referenced by:  dvlip  24594  c1liplem1  24597  dvgt0lem1  24603  dvcvx  24621  dvbdfbdioolem1  42436
  Copyright terms: Public domain W3C validator