Theorem mvth 26327

Description: The Mean Value Theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐵] which is differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that (ℝ D 𝐹)‘𝑥 is equal to the average slope over [𝐴, 𝐵]. This is Metamath 100 proof #75. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mvth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mvth.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
mvth.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
mvth.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
mvth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mvth

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvth.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mvth.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mvth.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		mvth.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5		mptresid 6049	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)
6		iccssre 13573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	1, 2, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8		ax-resscn 11270	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		cncfmptid 25249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
11	5, 10	eqeltrid 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
12		mvth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
13	5	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) = ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))
14	13	oveq2i 7441	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))
15		reelprrecn 11305	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
17		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		1red 11322	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
20	16	dvmptid 26292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 1))
21		tgioo4 25139	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23		iccntr 25156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
24	1, 2, 23	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
25	16, 18, 19, 20, 7, 21, 22, 24	dvmptres2 26297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
26	14, 25	eqtr3id 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
27	26	dmeqd 5892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
28		1ex 11316	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
29		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
30	28, 29	dmmpti 6694	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝐴(,)𝐵)
31	27, 30	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
32	1, 2, 3, 4, 11, 12, 31	cmvth 26326	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
33	1	rexrd 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	1, 2, 3	ltled 11471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
36		ubicc2 13609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38		fvresi 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
40		lbicc2 13608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	33, 34, 35, 40	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		fvresi 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
44	39, 43	oveq12d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
45	44	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
46	45	oveq1d 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
47	26	fveq1d 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥))
48		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 1 = 1)
49	48, 29, 28	fvmpt3i 7010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥) = 1)
50	47, 49	sylan9eq 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = 1)
51	50	oveq2d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · 1))
52		cncff 25229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53	4, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
54	53, 37	ffvelcdmd 7096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
55	53, 41	ffvelcdmd 7096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
56	54, 55	resubcld 11757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
58	57	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	58	mulridd 11339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · 1) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
60	51, 59	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
61	46, 60	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
62	2, 1	resubcld 11757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11350	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
64	63	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
65		dvf 26242	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
66	12	feq2d 6704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
67	65, 66	mpbii 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 7095	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
69	1, 2	posdifd 11916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
70	3, 69	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
71	70	gt0ne0d 11893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
73	58, 64, 68, 72	divmuld 12128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
74	61, 73	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)))
76		eqcom 2770	. . . 4 ⊢ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
77	74, 75, 76	3bitr4g 317	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
78	77	rexbidva 3188	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
79	32, 78	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  {cpr 4590   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549  dom cdm 5655  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  ℝcr 11212  0cc0 11213  1c1 11214   · cmul 11218  ℝ^*cxr 11355   < clt 11356   ≤ cle 11357   − cmin 11554   / cdiv 11986  (,)cioo 13489  [,]cicc 13492  TopOpenctopn 17607  topGenctg 17623  ℂ_fldccnfld 21693  intcnt 23350  –cn→ccncf 25212   D cdv 26198

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-seq 14158  df-exp 14218  df-hash 14488  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-lp 23469  df-perf 23470  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-cmp 23720  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cncf 25214  df-limc 26201  df-dv 26202

This theorem is used by:  dvlip  26328  c1liplem1  26331  dvgt0lem1  26337  dvcvx  26355  dvbdfbdioolem1  47083