Theorem mvth 25969

Description: The Mean Value Theorem. If 𝐹 is a real continuous function on [𝐴, 𝐵] which is differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that (ℝ D 𝐹)‘𝑥 is equal to the average slope over [𝐴, 𝐵]. This is Metamath 100 proof #75. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mvth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mvth.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
mvth.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
mvth.d	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
mvth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem mvth

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvth.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mvth.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		mvth.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		mvth.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5		mptresid 6010	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)
6		iccssre 13373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7	1, 2, 6	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8		ax-resscn 11086	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		cncfmptid 24890	. . . . 5 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
10	7, 8, 9	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
11	5, 10	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
12		mvth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
13	5	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧) = ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))
14	13	oveq2i 7371	. . . . . 6 ⊢ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))
15		reelprrecn 11121	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
16	15	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
17		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
18	17	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
19		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
20	16	dvmptid 25934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 1))
21		tgioo4 24780	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
22		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
23		iccntr 24797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
24	1, 2, 23	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
25	16, 18, 19, 20, 7, 21, 22, 24	dvmptres2 25939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
26	14, 25	eqtr3id 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
27	26	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
28		1ex 11131	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
29		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
30	28, 29	dmmpti 6636	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) = (𝐴(,)𝐵)
31	27, 30	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝐴(,)𝐵))
32	1, 2, 3, 4, 11, 12, 31	cmvth 25968	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
33	1	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
34	2	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
35	1, 2, 3	ltled 11285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
36		ubicc2 13409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
38		fvresi 7121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = 𝐵)
40		lbicc2 13408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	33, 34, 35, 40	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42		fvresi 7121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = 𝐴)
44	39, 43	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
46	45	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
47	26	fveq1d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥))
48		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → 1 = 1)
49	48, 29, 28	fvmpt3i 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)‘𝑥) = 1)
50	47, 49	sylan9eq 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥) = 1)
51	50	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · 1))
52		cncff 24870	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
53	4, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
54	53, 37	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
55	53, 41	ffvelcdmd 7031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
56	54, 55	resubcld 11569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	58	mulridd 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · 1) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
60	51, 59	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)))
61	46, 60	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
62	2, 1	resubcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
65		dvf 25884	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
66	12	feq2d 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
67	65, 66	mpbii 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
69	1, 2	posdifd 11728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
70	3, 69	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
71	70	gt0ne0d 11705	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
72	71	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
73	58, 64, 68, 72	divmuld 11944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))))
74	61, 73	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
75		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)))
76		eqcom 2744	. . . 4 ⊢ (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
77	74, 75, 76	3bitr4g 314	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
78	77	rexbidva 3160	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D ( I ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑥)) = (((( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − (( I ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴))))
79	32, 78	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  {cpr 4570   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   I cid 5518  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  TopOpenctopn 17375  topGenctg 17391  ℂ_fldccnfld 21344  intcnt 22992  –cn→ccncf 24853   D cdv 25840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-cmp 23362  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844

This theorem is referenced by:  dvlip  25970  c1liplem1  25973  dvgt0lem1  25979  dvcvx  25997  dvbdfbdioolem1  46374