MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmvth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmvth 25967
Description: Cauchy's Mean Value Theorem. If 𝐹, 𝐺 are real continuous functions on [𝐴, 𝐵] differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) = (𝐹(𝐴) − 𝐹(𝐵)) / (𝐺(𝐴) − 𝐺(𝐵)). (We express the condition without division, so that we need no nonzero constraints.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11220. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cmvth.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cmvth.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cmvth.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
cmvth.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.g (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.df (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
cmvth.dg (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
cmvth (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cmvth
Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmvth.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 cmvth.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 cmvth.lt . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
4 eqid 2725 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
54subcn 24826 . . . 4 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6 cmvth.f . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
7 cncff 24857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
91rexrd 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
102rexrd 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
111, 2, 3ltled 11394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
12 ubicc2 13477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
148, 13ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
15 lbicc2 13476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
169, 10, 11, 15syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
178, 16ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
1814, 17resubcld 11674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
2019adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
21 cmvth.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
22 cncff 24857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
2423ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
2524recnd 11274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
26 ovmpot 7582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)))
2720, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)))
2827eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)) ↔ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧))))
2928pm5.32da 577 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)))))
3029opabbidv 5215 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)))})
31 df-mpt 5233 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)))}
3230, 31eqtr4di 2783 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)))} = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧))))
33 df-mpt 5233 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)))}
344mpomulcn 24829 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
351, 2iccssred 13446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36 ax-resscn 11197 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3735, 36sstrdi 3989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
3836a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
39 cncfmptc 24876 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4018, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4123feqmptd 6966 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺𝑧)))
4241, 21eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
43 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
4443recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
45 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
4645recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
4726eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)))
4844, 46, 47syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)))
49 remulcl 11225 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
5048, 49eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
514, 34, 40, 42, 36, 50cncfmpt2ss 24880 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5233, 51eqeltrrid 2830 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺𝑧)))} ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5332, 52eqeltrrd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
5423, 13ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
5523, 16ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
5654, 55resubcld 11674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
5756adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
5857recnd 11274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
598ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
6059recnd 11274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
61 ovmpot 7582 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))
6258, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))
6362eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)) ↔ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))
6463pm5.32da 577 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))
6564opabbidv 5215 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))})
66 df-mpt 5233 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))}
6765, 66eqtr4di 2783 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)))} = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))
68 df-mpt 5233 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)))}
69 cncfmptc 24876 . . . . . . . 8 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
7056, 37, 38, 69syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
718feqmptd 6966 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑧)))
7271, 6eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
73 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
7473recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
75 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
7675recnd 11274 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7761eqcomd 2731 . . . . . . . . 9 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)))
7874, 76, 77syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)))
79 remulcl 11225 . . . . . . . 8 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
8078, 79eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 ((((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
814, 34, 70, 72, 36, 80cncfmpt2ss 24880 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8268, 81eqeltrrid 2830 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹𝑧)))} ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8367, 82eqeltrrd 2826 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
84 resubcl 11556 . . . 4 (((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) ∈ ℝ) → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) ∈ ℝ)
854, 5, 53, 83, 36, 84cncfmpt2ss 24880 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8620, 25mulcld 11266 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
8757, 59remulcld 11276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
8887recnd 11274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
8986, 88subcld 11603 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) ∈ ℂ)
904tgioo2 24763 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
91 iccntr 24781 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
921, 2, 91syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
9338, 35, 89, 90, 4, 92dvmptntr 25947 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))))
94 reelprrecn 11232 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
9594a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
96 ioossicc 13445 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9796sseli 3972 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9897, 86sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
99 ovexd 7454 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V)
10097, 25sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
101 fvexd 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ V)
10241oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺𝑧))))
103 dvf 25880 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
104 cmvth.dg . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
105104feq2d 6709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
106103, 105mpbii 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
107106feqmptd 6966 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
10838, 35, 25, 90, 4, 92dvmptntr 25947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑧))))
109102, 107, 1083eqtr3rd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
11095, 100, 101, 109, 19dvmptcmul 25940 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
11197, 88sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
112 ovexd 7454 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V)
11397, 60sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
114 fvexd 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
11571oveq2d 7435 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑧))))
116 dvf 25880 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
117 cmvth.df . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
118117feq2d 6709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
119116, 118mpbii 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
120119feqmptd 6966 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
12138, 35, 60, 90, 4, 92dvmptntr 25947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑧))))
122115, 120, 1213eqtr3rd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
12356recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
12495, 113, 114, 122, 123dvmptcmul 25940 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
12595, 98, 99, 110, 111, 112, 124dvmptsub 25943 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
12693, 125eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
127126dmeqd 5908 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
128 ovex 7452 . . . . 5 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) ∈ V
129 eqid 2725 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
130128, 129dmmpti 6700 . . . 4 dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝐴(,)𝐵)
131127, 130eqtrdi 2781 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))) = (𝐴(,)𝐵))
13214recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
13355recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℂ)
134132, 133mulcld 11266 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
13517recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
13654recnd 11274 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℂ)
137135, 136mulcld 11266 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
138135, 133mulcld 11266 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
139134, 137, 138nnncan2d 11638 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴))) − (((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴)))) = (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
140132, 136mulcld 11266 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) ∈ ℂ)
141140, 137, 134nnncan1d 11637 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) − (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)))) = (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
142139, 141eqtr4d 2768 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴))) − (((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴)))) = ((((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) − (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)))))
143132, 135, 133subdird 11703 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)) = (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴))))
144123, 135mulcomd 11267 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴)) = ((𝐹𝐴) · ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))))
145135, 136, 133subdid 11702 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴) · ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))) = (((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴))))
146144, 145eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴)) = (((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴))))
147143, 146oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴))) = ((((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴))) − (((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐴)))))
148132, 135, 136subdird 11703 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)) = (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))))
149123, 132mulcomd 11267 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵)) = ((𝐹𝐵) · ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))))
150132, 136, 133subdid 11702 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) · ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴))) = (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴))))
151149, 150eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵)) = (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴))))
152148, 151oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵))) = ((((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐴) · (𝐺𝐵))) − (((𝐹𝐵) · (𝐺𝐵)) − ((𝐹𝐵) · (𝐺𝐴)))))
153142, 147, 1523eqtr4d 2775 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴))) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵))))
154 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐴))
155154oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)))
156 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐴))
157156oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴)))
158155, 157oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴))))
159 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))
160 ovex 7452 . . . . . 6 ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt3i 7009 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴))))
16216, 161syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐴)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐴))))
163 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
164163oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)))
165 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐵 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐵))
166165oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐵 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵)))
167164, 166oveq12d 7437 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵))))
168167, 159, 160fvmpt3i 7009 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵))))
16913, 168syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝐵)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝐵))))
170153, 162, 1693eqtr4d 2775 . . 3 (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))‘𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧))))‘𝐵))
1711, 2, 3, 85, 131, 170rolle 25966 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))‘𝑥) = 0)
172126fveq1d 6898 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥))
173 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
174173oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)))
175 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
176175oveq2d 7435 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
177174, 176oveq12d 7437 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
178177, 129, 128fvmpt3i 7009 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
179172, 178sylan9eq 2785 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))‘𝑥) = ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
180179eqeq1d 2727 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0))
18119adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
182106ffvelcdmda 7093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
183181, 182mulcld 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℂ)
184123adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
185119ffvelcdmda 7093 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
186184, 185mulcld 11266 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
187183, 186subeq0ad 11613 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0 ↔ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
188180, 187bitrd 278 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ (((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
189188rexbidva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · (𝐺𝑧)) − (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · (𝐹𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
190171, 189mpbid 231 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  Vcvv 3461  wss 3944  {cpr 4632   class class class wbr 5149  {copab 5211  cmpt 5232  dom cdm 5678  ran crn 5679  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140   · cmul 11145  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  (,)cioo 13359  [,]cicc 13362  TopOpenctopn 17406  topGenctg 17422  fldccnfld 21296  intcnt 22965  cnccncf 24840   D cdv 25836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840
This theorem is referenced by:  mvth  25969  lhop1lem  25990
  Copyright terms: Public domain W3C validator