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Theorem cmvth 25928

Description: Cauchy's Mean Value Theorem. If 𝐹, 𝐺 are real continuous functions on [𝐴, 𝐵] differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) = (𝐹(𝐴) − 𝐹(𝐵)) / (𝐺(𝐴) − 𝐺(𝐵)). (We express the condition without division, so that we need no nonzero constraints.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11124. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cmvth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cmvth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cmvth.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cmvth.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.df	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
cmvth.dg	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
cmvth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐺 𝜑,𝑥

Proof of Theorem cmvth Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmvth.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cmvth.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		cmvth.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	subcn 24788	. . . 4 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
6		cmvth.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
7		cncff 24819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
9	1	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
10	2	rexrd 11200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11	1, 2, 3	ltled 11298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
12		ubicc2 13402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	8, 13	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
15		lbicc2 13401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	8, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
18	14, 17	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		cmvth.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
22		cncff 24819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
26		ovmpot 7530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))
27	20, 25, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))
28	27	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) ↔ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))))
29	28	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))))
30	29	opabbidv 5168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))})
31		df-mpt 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))}
32	30, 31	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))} = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))))
33		df-mpt 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))}
34	4	mpomulcn 24791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
35	1, 2	iccssred 13371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36		ax-resscn 11101	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
37	35, 36	sstrdi 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
38	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
39		cncfmptc 24838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
40	18, 37, 38, 39	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
41	23	feqmptd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)))
42	41, 21	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
43		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
45		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
47	26	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))
49		remulcl 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
50	48, 49	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	4, 34, 40, 42, 36, 50	cncfmpt2ss 24842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
52	33, 51	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))} ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
53	32, 52	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
54	23, 13	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
55	23, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
56	54, 55	resubcld 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	8	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
61		ovmpot 7530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))
62	58, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))
63	62	eqeq2d 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) ↔ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
64	63	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))
65	64	opabbidv 5168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))})
66		df-mpt 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))}
67	65, 66	eqtr4di 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))} = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
68		df-mpt 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))}
69		cncfmptc 24838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
70	56, 37, 38, 69	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
71	8	feqmptd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)))
72	71, 6	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
73		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
75		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
77	61	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))
78	74, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))
79		remulcl 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
80	78, 79	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
81	4, 34, 70, 72, 36, 80	cncfmpt2ss 24842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
82	68, 81	eqeltrrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))} ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
83	67, 82	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
84		resubcl 11462	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
85	4, 5, 53, 83, 36, 84	cncfmpt2ss 24842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
86	20, 25	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
87	57, 59	remulcld 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
89	86, 88	subcld 11509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℂ)
90		tgioo4 24726	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
91		iccntr 24743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
92	1, 2, 91	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
93	38, 35, 89, 90, 4, 92	dvmptntr 25908	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))))
94		reelprrecn 11136	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
96		ioossicc 13370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
97	96	sseli 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
98	97, 86	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
99		ovexd 7404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V)
100	97, 25	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
101		fvexd 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ V)
102	41	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
103		dvf 25841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
104		cmvth.dg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
105	104	feq2d 6654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
106	103, 105	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
107	106	feqmptd 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
108	38, 35, 25, 90, 4, 92	dvmptntr 25908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
109	102, 107, 108	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
110	95, 100, 101, 109, 19	dvmptcmul 25901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
111	97, 88	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
112		ovexd 7404	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V)
113	97, 60	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
114		fvexd 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
115	71	oveq2d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
116		dvf 25841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
117		cmvth.df	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
118	117	feq2d 6654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
119	116, 118	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
120	119	feqmptd 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
121	38, 35, 60, 90, 4, 92	dvmptntr 25908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
122	115, 120, 121	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
123	56	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
124	95, 113, 114, 122, 123	dvmptcmul 25901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
125	95, 98, 99, 110, 111, 112, 124	dvmptsub 25904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
126	93, 125	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
127	126	dmeqd 5859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
128		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) ∈ V
129		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
130	128, 129	dmmpti 6644	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝐴(,)𝐵)
131	127, 130	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝐴(,)𝐵))
132	14	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
133	55	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
134	132, 133	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
135	17	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
136	54	recnd 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
137	135, 136	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
138	135, 133	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
139	134, 137, 138	nnncan2d 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
140	132, 136	mulcld 11170	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
141	140, 137, 134	nnncan1d 11543	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
142	139, 141	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
143	132, 135, 133	subdird 11611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
144	123, 135	mulcomd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
145	135, 136, 133	subdid 11610	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
146	144, 145	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
147	143, 146	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))))
148	132, 135, 136	subdird 11611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
149	123, 132	mulcomd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
150	132, 136, 133	subdid 11610	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
151	149, 150	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
152	148, 151	oveq12d 7387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
153	142, 147, 152	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
154		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
155	154	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)))
156		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
157	156	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)))
158	155, 157	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
159		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
160		ovex 7402	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ V
161	158, 159, 160	fvmpt3i 6955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
162	16, 161	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
163		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
164	163	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)))
165		fveq2 6840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐵))
166	165	oveq2d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)))
167	164, 166	oveq12d 7387	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
168	167, 159, 160	fvmpt3i 6955	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
169	13, 168	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
170	153, 162, 169	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵))
171	1, 2, 3, 85, 131, 170	rolle 25927	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0)
172	126	fveq1d 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥))
173		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
174	173	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)))
175		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
176	175	oveq2d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
177	174, 176	oveq12d 7387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
178	177, 129, 128	fvmpt3i 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
179	172, 178	sylan9eq 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
180	179	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0))
181	19	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
182	106	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
183	181, 182	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℂ)
184	123	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
185	119	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
186	184, 185	mulcld 11170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
187	183, 186	subeq0ad 11519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
188	180, 187	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
189	188	rexbidva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
190	171, 189	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3053 Vcvv 3444 ⊆ wss 3911 {cpr 4587 class class class wbr 5102 {copab 5164 ↦ cmpt 5183 dom cdm 5631 ran crn 5632 ⟶wf 6495 ‘cfv 6499 (class class class)co 7369 ∈ cmpo 7371 ℂcc 11042 ℝcr 11043 0cc0 11044 · cmul 11049 ℝ^*cxr 11183 < clt 11184 ≤ cle 11185 − cmin 11381 (,)cioo 13282 [,]cicc 13285 TopOpenctopn 17360 topGenctg 17376 ℂ_fldccnfld 21296 intcnt 22937 –cn→ccncf 24802 D cdv 25797

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2701 ax-rep 5229 ax-sep 5246 ax-nul 5256 ax-pow 5315 ax-pr 5382 ax-un 7691 ax-cnex 11100 ax-resscn 11101 ax-1cn 11102 ax-icn 11103 ax-addcl 11104 ax-addrcl 11105 ax-mulcl 11106 ax-mulrcl 11107 ax-mulcom 11108 ax-addass 11109 ax-mulass 11110 ax-distr 11111 ax-i2m1 11112 ax-1ne0 11113 ax-1rid 11114 ax-rnegex 11115 ax-rrecex 11116 ax-cnre 11117 ax-pre-lttri 11118 ax-pre-lttrn 11119 ax-pre-ltadd 11120 ax-pre-mulgt0 11121 ax-pre-sup 11122 ax-addf 11123

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2708 df-cleq 2721 df-clel 2803 df-nfc 2878 df-ne 2926 df-nel 3030 df-ral 3045 df-rex 3054 df-rmo 3351 df-reu 3352 df-rab 3403 df-v 3446 df-sbc 3751 df-csb 3860 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3931 df-nul 4293 df-if 4485 df-pw 4561 df-sn 4586 df-pr 4588 df-tp 4590 df-op 4592 df-uni 4868 df-int 4907 df-iun 4953 df-iin 4954 df-br 5103 df-opab 5165 df-mpt 5184 df-tr 5210 df-id 5526 df-eprel 5531 df-po 5539 df-so 5540 df-fr 5584 df-se 5585 df-we 5586 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6262 df-ord 6323 df-on 6324 df-lim 6325 df-suc 6326 df-iota 6452 df-fun 6501 df-fn 6502 df-f 6503 df-f1 6504 df-fo 6505 df-f1o 6506 df-fv 6507 df-isom 6508 df-riota 7326 df-ov 7372 df-oprab 7373 df-mpo 7374 df-of 7633 df-om 7823 df-1st 7947 df-2nd 7948 df-supp 8117 df-frecs 8237 df-wrecs 8268 df-recs 8317 df-rdg 8355 df-1o 8411 df-2o 8412 df-er 8648 df-map 8778 df-pm 8779 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9289 df-fi 9338 df-sup 9369 df-inf 9370 df-oi 9439 df-card 9868 df-pnf 11186 df-mnf 11187 df-xr 11188 df-ltxr 11189 df-le 11190 df-sub 11383 df-neg 11384 df-div 11812 df-nn 12163 df-2 12225 df-3 12226 df-4 12227 df-5 12228 df-6 12229 df-7 12230 df-8 12231 df-9 12232 df-n0 12419 df-z 12506 df-dec 12626 df-uz 12770 df-q 12884 df-rp 12928 df-xneg 13048 df-xadd 13049 df-xmul 13050 df-ioo 13286 df-ico 13288 df-icc 13289 df-fz 13445 df-fzo 13592 df-seq 13943 df-exp 14003 df-hash 14272 df-cj 15041 df-re 15042 df-im 15043 df-sqrt 15177 df-abs 15178 df-struct 17093 df-sets 17110 df-slot 17128 df-ndx 17140 df-base 17156 df-ress 17177 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-rest 17361 df-topn 17362 df-0g 17380 df-gsum 17381 df-topgen 17382 df-pt 17383 df-prds 17386 df-xrs 17441 df-qtop 17446 df-imas 17447 df-xps 17449 df-mre 17523 df-mrc 17524 df-acs 17526 df-mgm 18549 df-sgrp 18628 df-mnd 18644 df-submnd 18693 df-mulg 18982 df-cntz 19231 df-cmn 19696 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-mopn 21292 df-fbas 21293 df-fg 21294 df-cnfld 21297 df-top 22814 df-topon 22831 df-topsp 22853 df-bases 22866 df-cld 22939 df-ntr 22940 df-cls 22941 df-nei 23018 df-lp 23056 df-perf 23057 df-cn 23147 df-cnp 23148 df-haus 23235 df-cmp 23307 df-tx 23482 df-hmeo 23675 df-fil 23766 df-fm 23858 df-flim 23859 df-flf 23860 df-xms 24241 df-ms 24242 df-tms 24243 df-cncf 24804 df-limc 25800 df-dv 25801

This theorem is referenced by: mvth 25930 lhop1lem 25951

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