cmvth - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cmvth		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cmvth 25967

Description: Cauchy's Mean Value Theorem. If 𝐹, 𝐺 are real continuous functions on [𝐴, 𝐵] differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) = (𝐹(𝐴) − 𝐹(𝐵)) / (𝐺(𝐴) − 𝐺(𝐵)). (We express the condition without division, so that we need no nonzero constraints.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) Avoid ax-mulf 11220. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cmvth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cmvth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cmvth.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cmvth.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.df	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
cmvth.dg	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
cmvth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐺 𝜑,𝑥

Proof of Theorem cmvth Dummy variables 𝑧 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmvth.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cmvth.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		cmvth.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	subcn 24826	. . . 4 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
6		cmvth.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
7		cncff 24857	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
9	1	rexrd 11296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
10	2	rexrd 11296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11	1, 2, 3	ltled 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
12		ubicc2 13477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	8, 13	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
15		lbicc2 13476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
16	9, 10, 11, 15	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	8, 16	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
18	14, 17	resubcld 11674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	19	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		cmvth.g	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
22		cncff 24857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
24	23	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
26		ovmpot 7582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))
27	20, 25, 26	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))
28	27	eqeq2d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) ↔ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))))
29	28	pm5.32da 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))))
30	29	opabbidv 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))})
31		df-mpt 5233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))}
32	30, 31	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))} = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))))
33		df-mpt 5233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))}
34	4	mpomulcn 24829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
35	1, 2	iccssred 13446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
36		ax-resscn 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
37	35, 36	sstrdi 3989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
38	36	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
39		cncfmptc 24876	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
40	18, 37, 38, 39	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
41	23	feqmptd 6966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)))
42	41, 21	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
43		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
44	43	recnd 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
45		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
47	26	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))
48	44, 46, 47	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))
49		remulcl 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
50	48, 49	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
51	4, 34, 40, 42, 36, 50	cncfmpt2ss 24880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
52	33, 51	eqeltrrid 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐺‘𝑧)))} ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
53	32, 52	eqeltrrd 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
54	23, 13	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
55	23, 16	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
56	54, 55	resubcld 11674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	56	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
59	8	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
60	59	recnd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
61		ovmpot 7582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))
62	58, 60, 61	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))
63	62	eqeq2d 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) ↔ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
64	63	pm5.32da 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧))) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))
65	64	opabbidv 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))} = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))})
66		df-mpt 5233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))}
67	65, 66	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))} = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
68		df-mpt 5233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧))) = {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))}
69		cncfmptc 24876	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
70	56, 37, 38, 69	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
71	8	feqmptd 6966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)))
72	71, 6	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
73		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
74	73	recnd 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
75		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
77	61	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))
78	74, 76, 77	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))
79		remulcl 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
80	78, 79	eqeltrrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
81	4, 34, 70, 72, 36, 80	cncfmpt2ss 24880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
82	68, 81	eqeltrrid 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑧, 𝑤⟩ ∣ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))(𝐹‘𝑧)))} ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
83	67, 82	eqeltrrd 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
84		resubcl 11556	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
85	4, 5, 53, 83, 36, 84	cncfmpt2ss 24880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
86	20, 25	mulcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
87	57, 59	remulcld 11276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
89	86, 88	subcld 11603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℂ)
90	4	tgioo2 24763	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
91		iccntr 24781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
92	1, 2, 91	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
93	38, 35, 89, 90, 4, 92	dvmptntr 25947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))))
94		reelprrecn 11232	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
96		ioossicc 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
97	96	sseli 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
98	97, 86	sylan2 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
99		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V)
100	97, 25	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
101		fvexd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ V)
102	41	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
103		dvf 25880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
104		cmvth.dg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
105	104	feq2d 6709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
106	103, 105	mpbii 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
107	106	feqmptd 6966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
108	38, 35, 25, 90, 4, 92	dvmptntr 25947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
109	102, 107, 108	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
110	95, 100, 101, 109, 19	dvmptcmul 25940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
111	97, 88	sylan2 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
112		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V)
113	97, 60	sylan2 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
114		fvexd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
115	71	oveq2d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
116		dvf 25880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
117		cmvth.df	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
118	117	feq2d 6709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
119	116, 118	mpbii 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
120	119	feqmptd 6966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
121	38, 35, 60, 90, 4, 92	dvmptntr 25947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
122	115, 120, 121	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
123	56	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
124	95, 113, 114, 122, 123	dvmptcmul 25940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
125	95, 98, 99, 110, 111, 112, 124	dvmptsub 25943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
126	93, 125	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
127	126	dmeqd 5908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
128		ovex 7452	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) ∈ V
129		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
130	128, 129	dmmpti 6700	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝐴(,)𝐵)
131	127, 130	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝐴(,)𝐵))
132	14	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
133	55	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
134	132, 133	mulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
135	17	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
136	54	recnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
137	135, 136	mulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
138	135, 133	mulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
139	134, 137, 138	nnncan2d 11638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
140	132, 136	mulcld 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
141	140, 137, 134	nnncan1d 11637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
142	139, 141	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
143	132, 135, 133	subdird 11703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
144	123, 135	mulcomd 11267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
145	135, 136, 133	subdid 11702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
146	144, 145	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
147	143, 146	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))))
148	132, 135, 136	subdird 11703	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
149	123, 132	mulcomd 11267	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
150	132, 136, 133	subdid 11702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
151	149, 150	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
152	148, 151	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
153	142, 147, 152	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
154		fveq2 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
155	154	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)))
156		fveq2 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
157	156	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)))
158	155, 157	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
159		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
160		ovex 7452	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ V
161	158, 159, 160	fvmpt3i 7009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
162	16, 161	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
163		fveq2 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
164	163	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)))
165		fveq2 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐵))
166	165	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)))
167	164, 166	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
168	167, 159, 160	fvmpt3i 7009	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
169	13, 168	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
170	153, 162, 169	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵))
171	1, 2, 3, 85, 131, 170	rolle 25966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0)
172	126	fveq1d 6898	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥))
173		fveq2 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
174	173	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)))
175		fveq2 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
176	175	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
177	174, 176	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
178	177, 129, 128	fvmpt3i 7009	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
179	172, 178	sylan9eq 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
180	179	eqeq1d 2727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0))
181	19	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
182	106	ffvelcdmda 7093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
183	181, 182	mulcld 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℂ)
184	123	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
185	119	ffvelcdmda 7093	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
186	184, 185	mulcld 11266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
187	183, 186	subeq0ad 11613	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
188	180, 187	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
189	188	rexbidva 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
190	171, 189	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ∃wrex 3059 Vcvv 3461 ⊆ wss 3944 {cpr 4632 class class class wbr 5149 {copab 5211 ↦ cmpt 5232 dom cdm 5678 ran crn 5679 ⟶wf 6545 ‘cfv 6549 (class class class)co 7419 ∈ cmpo 7421 ℂcc 11138 ℝcr 11139 0cc0 11140 · cmul 11145 ℝ^*cxr 11279 < clt 11280 ≤ cle 11281 − cmin 11476 (,)cioo 13359 [,]cicc 13362 TopOpenctopn 17406 topGenctg 17422 ℂ_fldccnfld 21296 intcnt 22965 –cn→ccncf 24840 D cdv 25836

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7741 ax-cnex 11196 ax-resscn 11197 ax-1cn 11198 ax-icn 11199 ax-addcl 11200 ax-addrcl 11201 ax-mulcl 11202 ax-mulrcl 11203 ax-mulcom 11204 ax-addass 11205 ax-mulass 11206 ax-distr 11207 ax-i2m1 11208 ax-1ne0 11209 ax-1rid 11210 ax-rnegex 11211 ax-rrecex 11212 ax-cnre 11213 ax-pre-lttri 11214 ax-pre-lttrn 11215 ax-pre-ltadd 11216 ax-pre-mulgt0 11217 ax-pre-sup 11218 ax-addf 11219

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2930 df-nel 3036 df-ral 3051 df-rex 3060 df-rmo 3363 df-reu 3364 df-rab 3419 df-v 3463 df-sbc 3774 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3964 df-nul 4323 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4910 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6307 df-ord 6374 df-on 6375 df-lim 6376 df-suc 6377 df-iota 6501 df-fun 6551 df-fn 6552 df-f 6553 df-f1 6554 df-fo 6555 df-f1o 6556 df-fv 6557 df-isom 6558 df-riota 7375 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-of 7685 df-om 7872 df-1st 7994 df-2nd 7995 df-supp 8166 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-2o 8488 df-er 8725 df-map 8847 df-pm 8848 df-ixp 8917 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fsupp 9388 df-fi 9436 df-sup 9467 df-inf 9468 df-oi 9535 df-card 9964 df-pnf 11282 df-mnf 11283 df-xr 11284 df-ltxr 11285 df-le 11286 df-sub 11478 df-neg 11479 df-div 11904 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12506 df-z 12592 df-dec 12711 df-uz 12856 df-q 12966 df-rp 13010 df-xneg 13127 df-xadd 13128 df-xmul 13129 df-ioo 13363 df-ico 13365 df-icc 13366 df-fz 13520 df-fzo 13663 df-seq 14003 df-exp 14063 df-hash 14326 df-cj 15082 df-re 15083 df-im 15084 df-sqrt 15218 df-abs 15219 df-struct 17119 df-sets 17136 df-slot 17154 df-ndx 17166 df-base 17184 df-ress 17213 df-plusg 17249 df-mulr 17250 df-starv 17251 df-sca 17252 df-vsca 17253 df-ip 17254 df-tset 17255 df-ple 17256 df-ds 17258 df-unif 17259 df-hom 17260 df-cco 17261 df-rest 17407 df-topn 17408 df-0g 17426 df-gsum 17427 df-topgen 17428 df-pt 17429 df-prds 17432 df-xrs 17487 df-qtop 17492 df-imas 17493 df-xps 17495 df-mre 17569 df-mrc 17570 df-acs 17572 df-mgm 18603 df-sgrp 18682 df-mnd 18698 df-submnd 18744 df-mulg 19032 df-cntz 19280 df-cmn 19749 df-psmet 21288 df-xmet 21289 df-met 21290 df-bl 21291 df-mopn 21292 df-fbas 21293 df-fg 21294 df-cnfld 21297 df-top 22840 df-topon 22857 df-topsp 22879 df-bases 22893 df-cld 22967 df-ntr 22968 df-cls 22969 df-nei 23046 df-lp 23084 df-perf 23085 df-cn 23175 df-cnp 23176 df-haus 23263 df-cmp 23335 df-tx 23510 df-hmeo 23703 df-fil 23794 df-fm 23886 df-flim 23887 df-flf 23888 df-xms 24270 df-ms 24271 df-tms 24272 df-cncf 24842 df-limc 25839 df-dv 25840

This theorem is referenced by: mvth 25969 lhop1lem 25990

W3C validator