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Theorem cmvth 25153

Description: Cauchy's Mean Value Theorem. If 𝐹, 𝐺 are real continuous functions on [𝐴, 𝐵] differentiable on (𝐴, 𝐵), then there is some 𝑥 ∈ (𝐴, 𝐵) such that 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) = (𝐹(𝐴) − 𝐹(𝐵)) / (𝐺(𝐴) − 𝐺(𝐵)). (We express the condition without division, so that we need no nonzero constraints.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cmvth.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cmvth.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cmvth.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cmvth.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvth.df	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
cmvth.dg	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
cmvth	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐺 𝜑,𝑥

Proof of Theorem cmvth Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmvth.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cmvth.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		cmvth.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	subcn 24027	. . . 4 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
6	4	mulcn 24028	. . . . 5 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
7		cmvth.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8		cncff 24054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
10	1	rexrd 11023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
11	2	rexrd 11023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
12	1, 2, 3	ltled 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		ubicc2 13195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
15	9, 14	ffvelrnd 6964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
16		lbicc2 13194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	10, 11, 12, 16	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	9, 17	ffvelrnd 6964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	15, 18	resubcld 11401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		iccssre 13159	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
21	1, 2, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22		ax-resscn 10926	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	21, 22	sstrdi 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
24	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
25		cncfmptc 24073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
26	19, 23, 24, 25	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
27		cmvth.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
28		cncff 24054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
30	29	feqmptd 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)))
31	30, 27	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
32		remulcl 10954	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
33	4, 6, 26, 31, 22, 32	cncfmpt2ss 24077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
34	29, 14	ffvelrnd 6964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
35	29, 17	ffvelrnd 6964	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
36	34, 35	resubcld 11401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
37		cncfmptc 24073	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
38	36, 23, 24, 37	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
39	9	feqmptd 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)))
40	39, 7	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
41		remulcl 10954	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
42	4, 6, 38, 40, 22, 41	cncfmpt2ss 24077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
43		resubcl 11283	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
44	4, 5, 33, 42, 22, 43	cncfmpt2ss 24077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
45	19	recnd 11001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	29	ffvelrnda 6963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
49	46, 48	mulcld 10993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
50	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	9	ffvelrnda 6963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 11003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11001	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
54	49, 53	subcld 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℂ)
55	4	tgioo2 23964	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
56		iccntr 23982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
57	1, 2, 56	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
58	24, 21, 54, 55, 4, 57	dvmptntr 25133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))))
59		reelprrecn 10961	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
61		ioossicc 13163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
62	61	sseli 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63	62, 49	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
64		ovex 7310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V)
66	62, 48	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
67		fvexd 6791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ V)
68	30	oveq2d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
69		dvf 25069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
70		cmvth.dg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
71	70	feq2d 6588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbii 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
73	72	feqmptd 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
74	24, 21, 48, 55, 4, 57	dvmptntr 25133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
75	68, 73, 74	3eqtr3rd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
76	60, 66, 67, 75, 45	dvmptcmul 25126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
77	62, 53	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
78		ovex 7310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V)
80	51	recnd 11001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
81	62, 80	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
82		fvexd 6791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
83	39	oveq2d 7293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
84		dvf 25069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
85		cmvth.df	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
86	85	feq2d 6588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
87	84, 86	mpbii 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	87	feqmptd 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
89	24, 21, 80, 55, 4, 57	dvmptntr 25133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
90	83, 88, 89	3eqtr3rd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
91	36	recnd 11001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
92	60, 81, 82, 90, 91	dvmptcmul 25126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
93	60, 63, 65, 76, 77, 79, 92	dvmptsub 25129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
94	58, 93	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
95	94	dmeqd 5816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
96		ovex 7310	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) ∈ V
97		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
98	96, 97	dmmpti 6579	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝐴(,)𝐵)
99	95, 98	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝐴(,)𝐵))
100	15	recnd 11001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
101	35	recnd 11001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
102	100, 101	mulcld 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
103	18	recnd 11001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
104	34	recnd 11001	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
105	103, 104	mulcld 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
106	103, 101	mulcld 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
107	102, 105, 106	nnncan2d 11365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
108	100, 104	mulcld 10993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
109	108, 105, 102	nnncan1d 11364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
110	107, 109	eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
111	100, 103, 101	subdird 11430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
112	91, 103	mulcomd 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
113	103, 104, 101	subdid 11429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
114	112, 113	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
115	111, 114	oveq12d 7295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))))
116	100, 103, 104	subdird 11430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
117	91, 100	mulcomd 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
118	100, 104, 101	subdid 11429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
119	117, 118	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
120	116, 119	oveq12d 7295	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
122		fveq2 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
123	122	oveq2d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)))
124		fveq2 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
125	124	oveq2d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)))
126	123, 125	oveq12d 7295	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
127		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
128		ovex 7310	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ V
129	126, 127, 128	fvmpt3i 6882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
130	17, 129	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
131		fveq2 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
132	131	oveq2d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)))
133		fveq2 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐵))
134	133	oveq2d 7293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)))
135	132, 134	oveq12d 7295	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
136	135, 127, 128	fvmpt3i 6882	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
137	14, 136	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
138	121, 130, 137	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵))
139	1, 2, 3, 44, 99, 138	rolle 25152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0)
140	94	fveq1d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥))
141		fveq2 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
142	141	oveq2d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)))
143		fveq2 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
144	143	oveq2d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
145	142, 144	oveq12d 7295	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
146	145, 97, 96	fvmpt3i 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
147	140, 146	sylan9eq 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
148	147	eqeq1d 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0))
149	45	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
150	72	ffvelrnda 6963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
151	149, 150	mulcld 10993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℂ)
152	91	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
153	87	ffvelrnda 6963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
154	152, 153	mulcld 10993	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
155	151, 154	subeq0ad 11340	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
156	148, 155	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
157	156	rexbidva 3224	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
158	139, 157	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ∃wrex 3065 Vcvv 3431 ⊆ wss 3888 {cpr 4565 class class class wbr 5076 ↦ cmpt 5159 dom cdm 5591 ran crn 5592 ⟶wf 6431 ‘cfv 6435 (class class class)co 7277 ℂcc 10867 ℝcr 10868 0cc0 10869 · cmul 10874 ℝ^*cxr 11006 < clt 11007 ≤ cle 11008 − cmin 11203 (,)cioo 13077 [,]cicc 13080 TopOpenctopn 17130 topGenctg 17146 ℂ_fldccnfld 20595 intcnt 22166 –cn→ccncf 24037 D cdv 25025

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5211 ax-sep 5225 ax-nul 5232 ax-pow 5290 ax-pr 5354 ax-un 7588 ax-cnex 10925 ax-resscn 10926 ax-1cn 10927 ax-icn 10928 ax-addcl 10929 ax-addrcl 10930 ax-mulcl 10931 ax-mulrcl 10932 ax-mulcom 10933 ax-addass 10934 ax-mulass 10935 ax-distr 10936 ax-i2m1 10937 ax-1ne0 10938 ax-1rid 10939 ax-rnegex 10940 ax-rrecex 10941 ax-cnre 10942 ax-pre-lttri 10943 ax-pre-lttrn 10944 ax-pre-ltadd 10945 ax-pre-mulgt0 10946 ax-pre-sup 10947 ax-addf 10948 ax-mulf 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3433 df-sbc 3718 df-csb 3834 df-dif 3891 df-un 3893 df-in 3895 df-ss 3905 df-pss 3907 df-nul 4259 df-if 4462 df-pw 4537 df-sn 4564 df-pr 4566 df-tp 4568 df-op 4570 df-uni 4842 df-int 4882 df-iun 4928 df-iin 4929 df-br 5077 df-opab 5139 df-mpt 5160 df-tr 5194 df-id 5491 df-eprel 5497 df-po 5505 df-so 5506 df-fr 5546 df-se 5547 df-we 5548 df-xp 5597 df-rel 5598 df-cnv 5599 df-co 5600 df-dm 5601 df-rn 5602 df-res 5603 df-ima 5604 df-pred 6204 df-ord 6271 df-on 6272 df-lim 6273 df-suc 6274 df-iota 6393 df-fun 6437 df-fn 6438 df-f 6439 df-f1 6440 df-fo 6441 df-f1o 6442 df-fv 6443 df-isom 6444 df-riota 7234 df-ov 7280 df-oprab 7281 df-mpo 7282 df-of 7533 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-supp 7976 df-frecs 8095 df-wrecs 8126 df-recs 8200 df-rdg 8239 df-1o 8295 df-2o 8296 df-er 8496 df-map 8615 df-pm 8616 df-ixp 8684 df-en 8732 df-dom 8733 df-sdom 8734 df-fin 8735 df-fsupp 9127 df-fi 9168 df-sup 9199 df-inf 9200 df-oi 9267 df-card 9695 df-pnf 11009 df-mnf 11010 df-xr 11011 df-ltxr 11012 df-le 11013 df-sub 11205 df-neg 11206 df-div 11631 df-nn 11972 df-2 12034 df-3 12035 df-4 12036 df-5 12037 df-6 12038 df-7 12039 df-8 12040 df-9 12041 df-n0 12232 df-z 12318 df-dec 12436 df-uz 12581 df-q 12687 df-rp 12729 df-xneg 12846 df-xadd 12847 df-xmul 12848 df-ioo 13081 df-ico 13083 df-icc 13084 df-fz 13238 df-fzo 13381 df-seq 13720 df-exp 13781 df-hash 14043 df-cj 14808 df-re 14809 df-im 14810 df-sqrt 14944 df-abs 14945 df-struct 16846 df-sets 16863 df-slot 16881 df-ndx 16893 df-base 16911 df-ress 16940 df-plusg 16973 df-mulr 16974 df-starv 16975 df-sca 16976 df-vsca 16977 df-ip 16978 df-tset 16979 df-ple 16980 df-ds 16982 df-unif 16983 df-hom 16984 df-cco 16985 df-rest 17131 df-topn 17132 df-0g 17150 df-gsum 17151 df-topgen 17152 df-pt 17153 df-prds 17156 df-xrs 17211 df-qtop 17216 df-imas 17217 df-xps 17219 df-mre 17293 df-mrc 17294 df-acs 17296 df-mgm 18324 df-sgrp 18373 df-mnd 18384 df-submnd 18429 df-mulg 18699 df-cntz 18921 df-cmn 19386 df-psmet 20587 df-xmet 20588 df-met 20589 df-bl 20590 df-mopn 20591 df-fbas 20592 df-fg 20593 df-cnfld 20596 df-top 22041 df-topon 22058 df-topsp 22080 df-bases 22094 df-cld 22168 df-ntr 22169 df-cls 22170 df-nei 22247 df-lp 22285 df-perf 22286 df-cn 22376 df-cnp 22377 df-haus 22464 df-cmp 22536 df-tx 22711 df-hmeo 22904 df-fil 22995 df-fm 23087 df-flim 23088 df-flf 23089 df-xms 23471 df-ms 23472 df-tms 23473 df-cncf 24039 df-limc 25028 df-dv 25029

This theorem is referenced by: mvth 25154 lhop1lem 25175

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