MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2sumbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem log2sumbnd 27432
Description: Bound on the difference between ฮฃ๐‘› โ‰ค ๐ด, logโ†‘2(๐‘›) and the equivalent integral. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
log2sumbnd ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โ‰ค (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + 2))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem log2sumbnd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 elfznn 13536 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
32adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43nnrpd 13020 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
54relogcld 26512 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
65resqcld 14095 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆˆ โ„)
71, 6fsumrecl 15686 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆˆ โ„)
8 rpre 12988 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 relogcl 26464 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1211resqcld 14095 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
13 2re 12290 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
14 remulcl 11197 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1513, 11, 14sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
16 resubcl 11528 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1713, 15, 16sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1812, 17readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
199, 18remulcld 11248 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
207, 19resubcld 11646 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
2120recnd 11246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚)
2221abscld 15389 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆˆ โ„)
23 resubcl 11528 . . . 4 (((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
2422, 13, 23sylancl 585 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
25 2cn 12291 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
2625negcli 11532 . . . . 5 -2 โˆˆ โ„‚
27 subcl 11463 . . . . 5 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚ โˆง -2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2) โˆˆ โ„‚)
2821, 26, 27sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2) โˆˆ โ„‚)
2928abscld 15389 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)) โˆˆ โ„)
3025absnegi 15353 . . . . . 6 (absโ€˜-2) = (absโ€˜2)
31 0le2 12318 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
32 absid 15249 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (absโ€˜2) = 2)
3313, 31, 32mp2an 689 . . . . . 6 (absโ€˜2) = 2
3430, 33eqtri 2754 . . . . 5 (absโ€˜-2) = 2
3534oveq2i 7416 . . . 4 ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ (absโ€˜-2)) = ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2)
36 abs2dif 15285 . . . . 5 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚ โˆง -2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ (absโ€˜-2)) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
3721, 26, 36sylancl 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ (absโ€˜-2)) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
3835, 37eqbrtrrid 5177 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
39 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐ด))
4039oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
4140sumeq1d 15653 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
42 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
43 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐ด))
4443oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
4543oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) = (2 ยท (logโ€˜๐ด)))
4645oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))
4744, 46oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))
4842, 47oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))
4941, 48oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))))
50 eqid 2726 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))
51 ovex 7438 . . . . . . . 8 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) โˆˆ V
5249, 50, 51fvmpt3i 6997 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))))
5352adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))))
54 1rp 12984 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
55 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜1))
56 1z 12596 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„ค
57 flid 13779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŒŠโ€˜1) = 1
5955, 58eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = 1)
6059oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...1))
6160sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
62 0cn 11210 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
63 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜1))
64 log1 26474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (logโ€˜1) = 0
6563, 64eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = 0)
6665sq0id 14163 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0)
6766fsum1 15699 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0)
6856, 62, 67mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0
6961, 68eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0)
70 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
71 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜1))
7271, 64eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = 0)
7372sq0id 14163 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = 0)
7472oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) = (2 ยท 0))
75 2t0e0 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ยท 0) = 0
7674, 75eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) = 0)
7776oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (2 โˆ’ 0))
7825subid1i 11536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆ’ 0) = 2
7977, 78eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = 2)
8073, 79oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (0 + 2))
8125addlidi 11406 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 2) = 2
8280, 81eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = 2)
8370, 82oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (1 ยท 2))
8425mullidi 11223 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท 2) = 2
8583, 84eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = 2)
8669, 85oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (0 โˆ’ 2))
87 df-neg 11451 . . . . . . . . 9 -2 = (0 โˆ’ 2)
8886, 87eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = -2)
8988, 50, 51fvmpt3i 6997 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1) = -2)
9054, 89mp1i 13 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1) = -2)
9153, 90oveq12d 7423 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2))
9291fveq2d 6889 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
93 ioorp 13408 . . . . . 6 (0(,)+โˆž) = โ„+
9493eqcomi 2735 . . . . 5 โ„+ = (0(,)+โˆž)
95 nnuz 12869 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9656a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
97 1red 11219 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
98 pnfxr 11272 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
9998a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
100 1re 11218 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
101 1nn0 12492 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
102100, 101nn0addge1i 12524 . . . . . 6 1 โ‰ค (1 + 1)
103102a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (1 + 1))
104 0red 11221 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
105 rpre 12988 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
106105adantl 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
107 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
108107relogcld 26512 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
109108resqcld 14095 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
110 remulcl 11197 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11113, 108, 110sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
112 resubcl 11528 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
11313, 111, 112sylancr 586 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
114109, 113readdcld 11247 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
115106, 114remulcld 11248 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) โˆˆ โ„)
116 nnrp 12991 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
117116, 109sylan2 592 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
118 reelprrecn 11204 . . . . . . . 8 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
119118a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
120106recnd 11246 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
121 1red 11219 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
122 recn 11202 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
123122adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
124 1red 11219 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
125119dvmptid 25844 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 1))
126 rpssre 12987 . . . . . . . . 9 โ„+ โІ โ„
127126a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„+ โІ โ„)
128 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (TopOpenโ€˜โ„‚fld) = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
129128tgioo2 24674 . . . . . . . 8 (topGenโ€˜ran (,)) = ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) โ†พt โ„)
130 iooretop 24637 . . . . . . . . . 10 (0(,)+โˆž) โˆˆ (topGenโ€˜ran (,))
13193, 130eqeltrri 2824 . . . . . . . . 9 โ„+ โˆˆ (topGenโ€˜ran (,))
132131a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„+ โˆˆ (topGenโ€˜ran (,)))
133119, 123, 124, 125, 127, 129, 128, 132dvmptres 25850 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ 1))
134114recnd 11246 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
135 resubcl 11528 . . . . . . . . 9 (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
136111, 13, 135sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
137136, 107rerpdivcld 13053 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
138109recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
139111recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
140107rpreccld 13032 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
141140rpcnd 13024 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
142139, 141mulcld 11238 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
143 cnelprrecn 11205 . . . . . . . . . . 11 โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚}
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚})
145108recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
146 sqcl 14088 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
147146adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
148 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
149 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
15025, 148, 149sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
151 relogf1o 26455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log โ†พ โ„+):โ„+โ€“1-1-ontoโ†’โ„
152 f1of 6827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((log โ†พ โ„+):โ„+โ€“1-1-ontoโ†’โ„ โ†’ (log โ†พ โ„+):โ„+โŸถโ„)
153151, 152mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (log โ†พ โ„+):โ„+โŸถโ„)
154153feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (log โ†พ โ„+) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((log โ†พ โ„+)โ€˜๐‘ฅ)))
155 fvres 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((log โ†พ โ„+)โ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘ฅ))
156155mpteq2ia 5244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((log โ†พ โ„+)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
157154, 156eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (log โ†พ โ„+) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)))
158157oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (log โ†พ โ„+)) = (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))))
159 dvrelog 26526 . . . . . . . . . . 11 (โ„ D (log โ†พ โ„+)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ))
160158, 159eqtr3di 2781 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)))
161 2nn 12289 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
162 dvexp 25840 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘2))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)))))
163161, 162mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘2))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)))))
164 2m1e1 12342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆ’ 1) = 1
165164oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)) = (๐‘ฆโ†‘1)
166 exp1 14038 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆโ†‘1) = ๐‘ฆ)
167165, 166eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)) = ๐‘ฆ)
168167oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1))) = (2 ยท ๐‘ฆ))
169168mpteq2ia 5244 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท ๐‘ฆ))
170163, 169eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘2))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท ๐‘ฆ)))
171 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (logโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
172 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (logโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))
173119, 144, 145, 140, 147, 150, 160, 170, 171, 172dvmptco 25859 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ))))
174113recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
175 ovexd 7440 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))) โˆˆ V)
176 2cnd 12294 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
177 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
178 2cnd 12294 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
179 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
180 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
181119, 180dvmptc 25845 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 2)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
182119, 178, 179, 181, 127, 129, 128, 132dvmptres 25850 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ 2)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ 0))
183 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
18425, 141, 183sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
185119, 145, 140, 160, 180dvmptcmul 25851 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
186119, 176, 177, 182, 139, 184, 185dvmptsub 25854 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))))
187119, 138, 142, 173, 174, 175, 186dvmptadd 25847 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))))
188139, 176, 141subdird 11675 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) ยท (1 / ๐‘ฅ)) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
189136recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) โˆˆ โ„‚)
190 rpne0 12996 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
191190adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
192189, 120, 191divrecd 11997 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) ยท (1 / ๐‘ฅ)))
193 df-neg 11451 . . . . . . . . . . . 12 -(2 ยท (1 / ๐‘ฅ)) = (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))
194193oveq2i 7416 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + -(2 ยท (1 / ๐‘ฅ))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
195142, 184negsubd 11581 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + -(2 ยท (1 / ๐‘ฅ))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
196194, 195eqtr3id 2780 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
197188, 192, 1963eqtr4rd 2777 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ))
198197mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ)))
199187, 198eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ)))
200119, 120, 121, 133, 134, 137, 199dvmptmul 25848 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ))))
201134mullidd 11236 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
202138, 139, 176subsub2d 11604 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
203201, 202eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)))
204189, 120, 191divcan1d 11995 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2))
205203, 204oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)))
206138, 189npcand 11579 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) = ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
207205, 206eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
208207mpteq2dva 5241 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)))
209200, 208eqtrd 2766 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)))
210 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘›))
211210oveq1d 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
212 simp32 1207 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
213 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
214 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
215213, 214logled 26516 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
216212, 215mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
217213relogcld 26512 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
218214relogcld 26512 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
219 simp31 1206 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
220 logleb 26492 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
22154, 213, 220sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
222219, 221mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
22364, 222eqbrtrrid 5177 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
224214rpred 13022 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
225 1red 11219 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
226213rpred 13022 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
227225, 226, 224, 219, 212letrd 11375 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
228224, 227logge0d 26519 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
229217, 218, 223, 228le2sqd 14225 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›) โ†” ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2)))
230216, 229mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
231 relogcl 26464 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
232231ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
233232sqge0d 14107 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
23454a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
235 simpl 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
236 1le1 11846 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
237236a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค 1)
238 simpr 484 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
2399rexrd 11268 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
240 pnfge 13116 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
241239, 240syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
24294, 95, 96, 97, 99, 103, 104, 115, 109, 117, 209, 211, 230, 50, 233, 234, 235, 237, 238, 241, 44dvfsum2 25924 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
24392, 242eqbrtrrd 5165 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
24424, 29, 12, 38, 243letrd 11375 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
24513a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
24622, 245, 12lesubaddd 11815 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โ†” (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โ‰ค (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + 2)))
247244, 246mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โ‰ค (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  Vcvv 3468   โІ wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670   โ†พ cres 5671  โŸถwf 6533  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  โ„*cxr 11251   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„คcz 12562  โ„+crp 12980  (,)cioo 13330  ...cfz 13490  โŒŠcfl 13761  โ†‘cexp 14032  abscabs 15187  ฮฃcsu 15638  TopOpenctopn 17376  topGenctg 17392  โ„‚fldccnfld 21240   D cdv 25747  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  selberglem2  27434
  Copyright terms: Public domain W3C validator