MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  log2sumbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem log2sumbnd 27495
Description: Bound on the difference between ฮฃ๐‘› โ‰ค ๐ด, logโ†‘2(๐‘›) and the equivalent integral. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
log2sumbnd ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โ‰ค (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + 2))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›

Proof of Theorem log2sumbnd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13970 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 elfznn 13562 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
32adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
43nnrpd 13046 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
54relogcld 26575 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
65resqcld 14121 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆˆ โ„)
71, 6fsumrecl 15712 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆˆ โ„)
8 rpre 13014 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
98adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
10 relogcl 26527 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1211resqcld 14121 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โˆˆ โ„)
13 2re 12316 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„
14 remulcl 11223 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1513, 11, 14sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
16 resubcl 11554 . . . . . . . . . 10 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1713, 15, 16sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
1812, 17readdcld 11273 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
199, 18remulcld 11274 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
207, 19resubcld 11672 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„)
2120recnd 11272 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚)
2221abscld 15415 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆˆ โ„)
23 resubcl 11554 . . . 4 (((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
2422, 13, 23sylancl 584 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
25 2cn 12317 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„‚
2625negcli 11558 . . . . 5 -2 โˆˆ โ„‚
27 subcl 11489 . . . . 5 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚ โˆง -2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2) โˆˆ โ„‚)
2821, 26, 27sylancl 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2) โˆˆ โ„‚)
2928abscld 15415 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)) โˆˆ โ„)
3025absnegi 15379 . . . . . 6 (absโ€˜-2) = (absโ€˜2)
31 0le2 12344 . . . . . . 7 0 โ‰ค 2
32 absid 15275 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (absโ€˜2) = 2)
3313, 31, 32mp2an 690 . . . . . 6 (absโ€˜2) = 2
3430, 33eqtri 2753 . . . . 5 (absโ€˜-2) = 2
3534oveq2i 7427 . . . 4 ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ (absโ€˜-2)) = ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2)
36 abs2dif 15311 . . . . 5 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆˆ โ„‚ โˆง -2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ (absโ€˜-2)) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
3721, 26, 36sylancl 584 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ (absโ€˜-2)) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
3835, 37eqbrtrrid 5179 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โ‰ค (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
39 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜๐ด))
4039oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
4140sumeq1d 15679 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
42 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด)
43 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐ด))
4443oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
4543oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) = (2 ยท (logโ€˜๐ด)))
4645oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))
4744, 46oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))
4842, 47oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))
4941, 48oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))))
50 eqid 2725 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))
51 ovex 7449 . . . . . . . 8 (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) โˆˆ V
5249, 50, 51fvmpt3i 7005 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))))
5352adantr 479 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))))
54 1rp 13010 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„+
55 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = (โŒŠโ€˜1))
56 1z 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„ค
57 flid 13805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (โŒŠโ€˜1) = 1)
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŒŠโ€˜1) = 1
5955, 58eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) = 1)
6059oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) = (1...1))
6160sumeq1d 15679 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
62 0cn 11236 . . . . . . . . . . . 12 0 โˆˆ โ„‚
63 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = (logโ€˜1))
64 log1 26537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (logโ€˜1) = 0
6563, 64eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘›) = 0)
6665sq0id 14189 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0)
6766fsum1 15725 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 0 โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0)
6856, 62, 67mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...1)((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0
6961, 68eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) = 0)
70 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 1)
71 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜1))
7271, 64eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = 0)
7372sq0id 14189 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = 0)
7472oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) = (2 ยท 0))
75 2t0e0 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ยท 0) = 0
7674, 75eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) = 0)
7776oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = (2 โˆ’ 0))
7825subid1i 11562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆ’ 0) = 2
7977, 78eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) = 2)
8073, 79oveq12d 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (0 + 2))
8125addlidi 11432 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 2) = 2
8280, 81eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = 2)
8370, 82oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (1 ยท 2))
8425mullidi 11249 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท 2) = 2
8583, 84eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = 2)
8669, 85oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (0 โˆ’ 2))
87 df-neg 11477 . . . . . . . . 9 -2 = (0 โˆ’ 2)
8886, 87eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = -2)
8988, 50, 51fvmpt3i 7005 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1) = -2)
9054, 89mp1i 13 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1) = -2)
9153, 90oveq12d 7434 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1)) = ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2))
9291fveq2d 6896 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1))) = (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)))
93 ioorp 13434 . . . . . 6 (0(,)+โˆž) = โ„+
9493eqcomi 2734 . . . . 5 โ„+ = (0(,)+โˆž)
95 nnuz 12895 . . . . 5 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
9656a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
97 1red 11245 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
98 pnfxr 11298 . . . . . 6 +โˆž โˆˆ โ„*
9998a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ +โˆž โˆˆ โ„*)
100 1re 11244 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
101 1nn0 12518 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
102100, 101nn0addge1i 12550 . . . . . 6 1 โ‰ค (1 + 1)
103102a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค (1 + 1))
104 0red 11247 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
105 rpre 13014 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
106105adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
107 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
108107relogcld 26575 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
109108resqcld 14121 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
110 remulcl 11223 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11113, 108, 110sylancr 585 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
112 resubcl 11554 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
11313, 111, 112sylancr 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
114109, 113readdcld 11273 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
115106, 114remulcld 11274 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) โˆˆ โ„)
116 nnrp 13017 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
117116, 109sylan2 591 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„)
118 reelprrecn 11230 . . . . . . . 8 โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚}
119118a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„ โˆˆ {โ„, โ„‚})
120106recnd 11272 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
121 1red 11245 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
122 recn 11228 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
123122adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
124 1red 11245 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
125119dvmptid 25907 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 1))
126 rpssre 13013 . . . . . . . . 9 โ„+ โІ โ„
127126a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„+ โІ โ„)
128 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (TopOpenโ€˜โ„‚fld) = (TopOpenโ€˜โ„‚fld)
129128tgioo2 24737 . . . . . . . 8 (topGenโ€˜ran (,)) = ((TopOpenโ€˜โ„‚fld) โ†พt โ„)
130 iooretop 24700 . . . . . . . . . 10 (0(,)+โˆž) โˆˆ (topGenโ€˜ran (,))
13193, 130eqeltrri 2822 . . . . . . . . 9 โ„+ โˆˆ (topGenโ€˜ran (,))
132131a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„+ โˆˆ (topGenโ€˜ran (,)))
133119, 123, 124, 125, 127, 129, 128, 132dvmptres 25913 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ 1))
134114recnd 11272 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
135 resubcl 11554 . . . . . . . . 9 (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
136111, 13, 135sylancl 584 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) โˆˆ โ„)
137136, 107rerpdivcld 13079 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
138109recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
139111recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
140107rpreccld 13058 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
141140rpcnd 13050 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
142139, 141mulcld 11264 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
143 cnelprrecn 11231 . . . . . . . . . . 11 โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚}
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚})
145108recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
146 sqcl 14114 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
147146adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
148 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
149 mulcl 11222 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
15025, 148, 149sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
151 relogf1o 26518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log โ†พ โ„+):โ„+โ€“1-1-ontoโ†’โ„
152 f1of 6834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((log โ†พ โ„+):โ„+โ€“1-1-ontoโ†’โ„ โ†’ (log โ†พ โ„+):โ„+โŸถโ„)
153151, 152mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (log โ†พ โ„+):โ„+โŸถโ„)
154153feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (log โ†พ โ„+) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((log โ†พ โ„+)โ€˜๐‘ฅ)))
155 fvres 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((log โ†พ โ„+)โ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘ฅ))
156155mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((log โ†พ โ„+)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))
157154, 156eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (log โ†พ โ„+) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ)))
158157oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (log โ†พ โ„+)) = (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))))
159 dvrelog 26589 . . . . . . . . . . 11 (โ„ D (log โ†พ โ„+)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ))
160158, 159eqtr3di 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (logโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)))
161 2nn 12315 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„•
162 dvexp 25903 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘2))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)))))
163161, 162mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘2))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)))))
164 2m1e1 12368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆ’ 1) = 1
165164oveq2i 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)) = (๐‘ฆโ†‘1)
166 exp1 14064 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆโ†‘1) = ๐‘ฆ)
167165, 166eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)) = ๐‘ฆ)
168167oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1))) = (2 ยท ๐‘ฆ))
169168mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท (๐‘ฆโ†‘(2 โˆ’ 1)))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท ๐‘ฆ))
170163, 169eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘2))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (2 ยท ๐‘ฆ)))
171 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (logโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
172 oveq2 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (logโ€˜๐‘ฅ) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) = (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))
173119, 144, 145, 140, 147, 150, 160, 170, 171, 172dvmptco 25922 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ))))
174113recnd 11272 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
175 ovexd 7451 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))) โˆˆ V)
176 2cnd 12320 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
177 0red 11247 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
178 2cnd 12320 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
179 0red 11247 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
180 2cnd 12320 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
181119, 180dvmptc 25908 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 2)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ 0))
182119, 178, 179, 181, 127, 129, 128, 132dvmptres 25913 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ 2)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ 0))
183 mulcl 11222 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
18425, 141, 183sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
185119, 145, 140, 160, 180dvmptcmul 25914 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
186119, 176, 177, 182, 139, 184, 185dvmptsub 25917 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))))
187119, 138, 142, 173, 174, 175, 186dvmptadd 25910 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))))
188139, 176, 141subdird 11701 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) ยท (1 / ๐‘ฅ)) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
189136recnd 11272 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) โˆˆ โ„‚)
190 rpne0 13022 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
191190adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
192189, 120, 191divrecd 12023 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) ยท (1 / ๐‘ฅ)))
193 df-neg 11477 . . . . . . . . . . . 12 -(2 ยท (1 / ๐‘ฅ)) = (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))
194193oveq2i 7427 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + -(2 ยท (1 / ๐‘ฅ))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
195142, 184negsubd 11607 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + -(2 ยท (1 / ๐‘ฅ))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
196194, 195eqtr3id 2779 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))
197188, 192, 1963eqtr4rd 2776 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ)))) = (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ))
198197mpteq2dva 5243 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) ยท (1 / ๐‘ฅ)) + (0 โˆ’ (2 ยท (1 / ๐‘ฅ))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ)))
199187, 198eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ)))
200119, 120, 121, 133, 134, 137, 199dvmptmul 25911 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ))))
201134mullidd 11262 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
202138, 139, 176subsub2d 11630 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))
203201, 202eqtr4d 2768 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) = (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)))
204189, 120, 191divcan1d 12021 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2))
205203, 204oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)))
206138, 189npcand 11605 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โˆ’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) + ((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2)) = ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
207205, 206eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ)) = ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
208207mpteq2dva 5243 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((1 ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))) + ((((2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)) โˆ’ 2) / ๐‘ฅ) ยท ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)))
209200, 208eqtrd 2765 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ))))))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2)))
210 fveq2 6892 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) = (logโ€˜๐‘›))
211210oveq1d 7431 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) = ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
212 simp32 1207 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘›)
213 simp2l 1196 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
214 simp2r 1197 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
215213, 214logled 26579 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โ†” (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
216212, 215mpbid 231 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
217213relogcld 26575 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
218214relogcld 26575 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
219 simp31 1206 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
220 logleb 26555 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
22154, 213, 220sylancr 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
222219, 221mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
22364, 222eqbrtrrid 5179 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
224214rpred 13048 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
225 1red 11245 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
226213rpred 13048 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
227225, 226, 224, 219, 212letrd 11401 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘›)
228224, 227logge0d 26582 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›))
229217, 218, 223, 228le2sqd 14251 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค (logโ€˜๐‘›) โ†” ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2)))
230216, 229mpbid 231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โˆง (1 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค +โˆž)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘2))
231 relogcl 26527 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
232231ad2antrl 726 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
233232sqge0d 14133 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2))
23454a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
235 simpl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
236 1le1 11872 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
237236a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค 1)
238 simpr 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
2399rexrd 11294 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
240 pnfge 13142 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„* โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
241239, 240syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค +โˆž)
24294, 95, 96, 97, 99, 103, 104, 115, 109, 117, 209, 211, 230, 50, 233, 234, 235, 237, 238, 241, 44dvfsum2 25987 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜๐ด) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐‘ฅ ยท (((logโ€˜๐‘ฅ)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ฅ)))))))โ€˜1))) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
24392, 242eqbrtrrd 5167 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด)))))) โˆ’ -2)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
24424, 29, 12, 38, 243letrd 11401 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ ((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2))
24513a1i 11 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
24622, 245, 12lesubaddd 11841 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (((absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โˆ’ 2) โ‰ค ((logโ€˜๐ด)โ†‘2) โ†” (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โ‰ค (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + 2)))
247244, 246mpbid 231 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐ด) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))((logโ€˜๐‘›)โ†‘2) โˆ’ (๐ด ยท (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + (2 โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐ด))))))) โ‰ค (((logโ€˜๐ด)โ†‘2) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  Vcvv 3463   โІ wss 3939  {cpr 4626   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  ran crn 5673   โ†พ cres 5674  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   ยท cmul 11143  +โˆžcpnf 11275  โ„*cxr 11277   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  2c2 12297  โ„คcz 12588  โ„+crp 13006  (,)cioo 13356  ...cfz 13516  โŒŠcfl 13787  โ†‘cexp 14058  abscabs 15213  ฮฃcsu 15664  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  โ„‚fldccnfld 21283   D cdv 25810  logclog 26506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508
This theorem is referenced by:  selberglem2  27497
  Copyright terms: Public domain W3C validator