Theorem lgsdchrval 27663

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchrval	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,ℎ,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑦, ℎ, 𝑚)   𝐺(𝑦, ℎ, 𝑚)   𝑋(ℎ, 𝑚)   𝑍(ℎ, 𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		lgsdchr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		lgsdchr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		lgsdchr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6	3, 4, 5	znzrhfo 21833	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
7		fof 6788	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→𝐵 → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8	2, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
9	8	ffvelcdmda 7076	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵)
10		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ↔ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)))
11	10	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → ((𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
12	11	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
13	12	iotabidv 6515	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
14		lgsdchr.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
15		iotaex 6507	. . . 4 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt3i 6991	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
17	9, 16	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
18		ovex 7445	. . 3 ⊢ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
20		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	3, 5	zndvds 21835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
26	19, 25	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚))
27		moddvds 16413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
28	20, 22, 23, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
29	26, 28	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
30	29	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32		lgsmod 27632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
33	22, 20, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34		lgsmod 27632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
35	23, 20, 31, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
36	30, 33, 35	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
37	36	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
38	37	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
39	38	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
40	39	expimpd 459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
41	40	rexlimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
42		fveq2 6877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝐴))
43	42	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
44	43	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
45		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
46	45	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
47	44, 46	bitr3d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
48	47	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
49	48	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
50	49	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
51	41, 50	impbid 215	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
52	51	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
53	52	iota5 6514	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
54	18, 53	mpan2 704	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
55	17, 54	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ℩cio 6485  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   − cmin 11522  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674   mod cmo 13989   ∥ cdvds 16402  Basecbs 17367  ℤRHomczrh 21785  ℤ/nℤczn 21788  DChrcdchr 27541   /_L clgs 27603

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-phi 16923  df-pc 16995  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-imas 17660  df-qus 17661  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-nsg 19314  df-eqg 19315  df-ghm 19408  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-2idl 21523  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-zn 21792  df-lgs 27604

This theorem is used by:  lgsdchr  27664