Theorem lgsdchrval 27326

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchrval	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,ℎ,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑦,ℎ,𝑚)   𝐺(𝑦,ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   𝑍(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12413	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		lgsdchr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		lgsdchr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		lgsdchr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6	3, 4, 5	znzrhfo 21507	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
7		fof 6747	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→𝐵 → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8	2, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
9	8	ffvelcdmda 7031	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵)
10		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ↔ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)))
11	10	anbi1d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → ((𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
12	11	rexbidv 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
13	12	iotabidv 6477	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
14		lgsdchr.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
15		iotaex 6469	. . . 4 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt3i 6948	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
17	9, 16	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
18		ovex 7394	. . 3 ⊢ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
20		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	3, 5	zndvds 21509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
26	19, 25	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚))
27		moddvds 16195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
28	20, 22, 23, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
29	26, 28	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
30	29	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32		lgsmod 27295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
33	22, 20, 31, 32	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34		lgsmod 27295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
35	23, 20, 31, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
36	30, 33, 35	3eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
37	36	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
38	37	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
39	38	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
40	39	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
41	40	rexlimdva 3138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
42		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝐴))
43	42	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
44	43	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
45		oveq1 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
46	45	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
47	44, 46	bitr3d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
48	47	rspcev 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
51	41, 50	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
53	52	iota5 6476	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
54	18, 53	mpan2 692	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
55	17, 54	eqtrd 2772	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ℩cio 6447  ⟶wf 6489  –onto→wfo 6491  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   − cmin 11369  ℕcn 12150  2c2 12205  ℕ₀cn0 12406  ℤcz 12493   mod cmo 13794   ∥ cdvds 16184  Basecbs 17141  ℤRHomczrh 21459  ℤ/nℤczn 21462  DChrcdchr 27204   /_L clgs 27266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109  ax-addf 11110  ax-mulf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-ec 8640  df-qs 8644  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13717  df-mod 13795  df-seq 13930  df-exp 13990  df-hash 14259  df-cj 15027  df-re 15028  df-im 15029  df-sqrt 15163  df-abs 15164  df-dvds 16185  df-gcd 16427  df-prm 16604  df-phi 16698  df-pc 16770  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-0g 17366  df-imas 17434  df-qus 17435  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-nsg 19059  df-eqg 19060  df-ghm 19147  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-rhm 20413  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168  df-rsp 21169  df-2idl 21210  df-cnfld 21315  df-zring 21407  df-zrh 21463  df-zn 21466  df-lgs 27267

This theorem is referenced by:  lgsdchr  27327