MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchrval 26705
Description: The Legendre symbol function 𝑋(π‘š) = (π‘š /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
lgsdchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
lgsdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
lgsdchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
lgsdchr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchrval (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (𝐴 /L 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   β„Ž,π‘š,𝑦,𝐿   β„Ž,𝑁,π‘š,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,β„Ž,π‘š,𝑦   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝐺(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   𝑍(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem lgsdchrval
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 lgsdchr.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 lgsdchr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 lgsdchr.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
63, 4, 5znzrhfo 20957 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
7 fof 6757 . . . . 5 (𝐿:℀–onto→𝐡 β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
82, 6, 73syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
98ffvelcdmda 7036 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
10 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ↔ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š)))
1110anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ ((𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
1211rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
1312iotabidv 6481 . . . 4 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
14 lgsdchr.x . . . 4 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
15 iotaex 6470 . . . 4 (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt3i 6954 . . 3 ((πΏβ€˜π΄) ∈ 𝐡 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
179, 16syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
18 ovex 7391 . . 3 (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))
20 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
23 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„€)
243, 5zndvds 20959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2619, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š))
27 moddvds 16148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2820, 22, 23, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2926, 28mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁))
3029oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁))
31 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
32 lgsmod 26674 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
3322, 20, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34 lgsmod 26674 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3523, 20, 31, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3630, 33, 353eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3736eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) ↔ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))
3837biimprd 248 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
3938anassrs 469 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š)) β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4039expimpd 455 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4140rexlimdva 3153 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
42 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝐴 β†’ (πΏβ€˜π‘š) = (πΏβ€˜π΄))
4342eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝐴 β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))
4443biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝐴 β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) ↔ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
45 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝐴 β†’ (π‘š /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
4645eqeq2d 2748 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝐴 β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4744, 46bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝐴 β†’ (((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4847rspcev 3582 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))
4948ex 414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
5049adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
5141, 50impbid 211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
5251adantr 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
5352iota5 6480 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5418, 53mpan2 690 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5517, 54eqtrd 2777 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β„©cio 6447  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   βˆ’ cmin 11386  β„•cn 12154  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500   mod cmo 13775   βˆ₯ cdvds 16137  Basecbs 17084  β„€RHomczrh 20903  β„€/nβ„€czn 20906  DChrcdchr 26583   /L clgs 26645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-phi 16639  df-pc 16710  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-rnghom 20147  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-lgs 26646
This theorem is referenced by:  lgsdchr  26706
  Copyright terms: Public domain W3C validator