MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchrval 25300
Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchrval (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ,𝑚,𝑦,𝐿   ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑦,,𝑚)   𝐺(𝑦,,𝑚)   𝑋(,𝑚)   𝑍(,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11501 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
21adantr 466 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 lgsdchr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 lgsdchr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 lgsdchr.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
63, 4, 5znzrhfo 20111 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)
7 fof 6256 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto𝐵𝐿:ℤ⟶𝐵)
82, 6, 73syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
98ffvelrnda 6502 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ 𝐵)
10 eqeq1 2775 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐿𝐴) → (𝑦 = (𝐿𝑚) ↔ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚)))
1110anbi1d 615 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐿𝐴) → ((𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
1211rexbidv 3200 . . . . 5 (𝑦 = (𝐿𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
1312iotabidv 6015 . . . 4 (𝑦 = (𝐿𝐴) → (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
14 lgsdchr.x . . . 4 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
15 iotaex 6011 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt3i 6429 . . 3 ((𝐿𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
179, 16syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
18 ovex 6823 . . 3 (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))
20 simplll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
243, 5zndvds 20113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2619, 25mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴𝑚))
27 moddvds 15200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2820, 22, 23, 27syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2926, 28mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
3029oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32 lgsmod 25269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
3322, 20, 31, 32syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34 lgsmod 25269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
3523, 20, 31, 34syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
3630, 33, 353eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
3736eqeq2d 2781 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ( = (𝐴 /L 𝑁) ↔ = (𝑚 /L 𝑁)))
3837biimprd 238 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ( = (𝑚 /L 𝑁) → = (𝐴 /L 𝑁)))
3938anassrs 458 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚)) → ( = (𝑚 /L 𝑁) → = (𝐴 /L 𝑁)))
4039expimpd 441 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) → = (𝐴 /L 𝑁)))
4140rexlimdva 3179 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) → = (𝐴 /L 𝑁)))
42 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝐴 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝐴))
4342eqcomd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝐴 → (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))
4443biantrurd 522 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐴 → ( = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
45 oveq1 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
4645eqeq2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐴 → ( = (𝑚 /L 𝑁) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
4744, 46bitr3d 270 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
4847rspcev 3460 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)))
4948ex 397 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → ( = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
5049adantl 467 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ( = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
5141, 50impbid 202 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
5251adantr 466 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
5352iota5 6014 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5418, 53mpan2 671 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5517, 54eqtrd 2805 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cio 5992  wf 6027  ontowfo 6029  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmin 10468  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579   mod cmo 12876  cdvds 15189  Basecbs 16064  ℤRHomczrh 20063  ℤ/nczn 20066  DChrcdchr 25178   /L clgs 25240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-phi 15678  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-rnghom 18925  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070  df-lgs 25241
This theorem is referenced by:  lgsdchr  25301
  Copyright terms: Public domain W3C validator