MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchrval 26103
Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchrval (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ,𝑚,𝑦,𝐿   ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(,𝑚)   𝐷(𝑦,,𝑚)   𝐺(𝑦,,𝑚)   𝑋(,𝑚)   𝑍(,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11996 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 lgsdchr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4 lgsdchr.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑍)
5 lgsdchr.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
63, 4, 5znzrhfo 20379 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto𝐵)
7 fof 6603 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto𝐵𝐿:ℤ⟶𝐵)
82, 6, 73syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
98ffvelrnda 6874 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿𝐴) ∈ 𝐵)
10 eqeq1 2743 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐿𝐴) → (𝑦 = (𝐿𝑚) ↔ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚)))
1110anbi1d 633 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐿𝐴) → ((𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
1211rexbidv 3208 . . . . 5 (𝑦 = (𝐿𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
1312iotabidv 6334 . . . 4 (𝑦 = (𝐿𝐴) → (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
14 lgsdchr.x . . . 4 𝑋 = (𝑦𝐵 ↦ (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
15 iotaex 6330 . . . 4 (℩𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt3i 6793 . . 3 ((𝐿𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
179, 16syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
18 ovex 7216 . . 3 (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))
20 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
243, 5zndvds 20381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2619, 25mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴𝑚))
27 moddvds 15723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2820, 22, 23, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴𝑚)))
2926, 28mpbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
3029oveq1d 7198 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32 lgsmod 26072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
3322, 20, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34 lgsmod 26072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
3523, 20, 31, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
3630, 33, 353eqtr3d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
3736eqeq2d 2750 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ( = (𝐴 /L 𝑁) ↔ = (𝑚 /L 𝑁)))
3837biimprd 251 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))) → ( = (𝑚 /L 𝑁) → = (𝐴 /L 𝑁)))
3938anassrs 471 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚)) → ( = (𝑚 /L 𝑁) → = (𝐴 /L 𝑁)))
4039expimpd 457 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) → = (𝐴 /L 𝑁)))
4140rexlimdva 3195 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) → = (𝐴 /L 𝑁)))
42 fveq2 6687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝐴 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝐴))
4342eqcomd 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝐴 → (𝐿𝐴) = (𝐿𝑚))
4443biantrurd 536 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐴 → ( = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
45 oveq1 7190 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
4645eqeq2d 2750 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝐴 → ( = (𝑚 /L 𝑁) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
4744, 46bitr3d 284 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
4847rspcev 3529 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)))
4948ex 416 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → ( = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
5049adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ( = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))))
5141, 50impbid 215 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
5251adantr 484 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ = (𝐴 /L 𝑁)))
5352iota5 6333 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5418, 53mpan2 691 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩𝑚 ∈ ℤ ((𝐿𝐴) = (𝐿𝑚) ∧ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5517, 54eqtrd 2774 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055  Vcvv 3400   class class class wbr 5040  cmpt 5120  cio 6306  wf 6346  ontowfo 6348  cfv 6350  (class class class)co 7183  cmin 10961  cn 11729  2c2 11784  0cn0 11989  cz 12075   mod cmo 13341  cdvds 15712  Basecbs 16599  ℤRHomczrh 20333  ℤ/nczn 20336  DChrcdchr 25981   /L clgs 26043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-tpos 7934  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-1o 8144  df-2o 8145  df-oadd 8148  df-er 8333  df-ec 8335  df-qs 8339  df-map 8452  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-sup 8992  df-inf 8993  df-dju 9416  df-card 9454  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-5 11795  df-6 11796  df-7 11797  df-8 11798  df-9 11799  df-n0 11990  df-xnn0 12062  df-z 12076  df-dec 12193  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-fz 12995  df-fzo 13138  df-fl 13266  df-mod 13342  df-seq 13474  df-exp 13535  df-hash 13796  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-dvds 15713  df-gcd 15951  df-prm 16126  df-phi 16216  df-pc 16287  df-struct 16601  df-ndx 16602  df-slot 16603  df-base 16605  df-sets 16606  df-ress 16607  df-plusg 16694  df-mulr 16695  df-starv 16696  df-sca 16697  df-vsca 16698  df-ip 16699  df-tset 16700  df-ple 16701  df-ds 16703  df-unif 16704  df-0g 16831  df-imas 16897  df-qus 16898  df-mgm 17981  df-sgrp 18030  df-mnd 18041  df-mhm 18085  df-grp 18235  df-minusg 18236  df-sbg 18237  df-mulg 18356  df-subg 18407  df-nsg 18408  df-eqg 18409  df-ghm 18487  df-cmn 19039  df-abl 19040  df-mgp 19372  df-ur 19384  df-ring 19431  df-cring 19432  df-oppr 19508  df-dvdsr 19526  df-rnghom 19602  df-subrg 19665  df-lmod 19768  df-lss 19836  df-lsp 19876  df-sra 20076  df-rgmod 20077  df-lidl 20078  df-rsp 20079  df-2idl 20137  df-cnfld 20231  df-zring 20303  df-zrh 20337  df-zn 20340  df-lgs 26044
This theorem is referenced by:  lgsdchr  26104
  Copyright terms: Public domain W3C validator