Theorem lgsdchrval 27494

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchrval	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,ℎ,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑦,ℎ,𝑚)   𝐺(𝑦,ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   𝑍(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12510	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		lgsdchr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		lgsdchr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		lgsdchr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6	3, 4, 5	znzrhfo 21676	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
7		fof 6792	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→𝐵 → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8	2, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
9	8	ffvelcdmda 7079	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵)
10		eqeq1 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ↔ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)))
11	10	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → ((𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
12	11	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
13	12	iotabidv 6520	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
14		lgsdchr.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
15		iotaex 6512	. . . 4 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt3i 6995	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
17	9, 16	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
18		ovex 7443	. . 3 ⊢ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
20		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		simprl 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	3, 5	zndvds 21678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
26	19, 25	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚))
27		moddvds 16320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
28	20, 22, 23, 27	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
29	26, 28	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
30	29	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32		lgsmod 27463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
33	22, 20, 31, 32	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34		lgsmod 27463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
35	23, 20, 31, 34	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
36	30, 33, 35	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
37	36	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
38	37	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
39	38	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
40	39	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
41	40	rexlimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
42		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝐴))
43	42	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
44	43	biantrurd 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
45		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
46	45	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
47	44, 46	bitr3d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
48	47	rspcev 3580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
49	48	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
50	49	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
51	41, 50	impbid 215	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
52	51	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
53	52	iota5 6519	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
54	18, 53	mpan2 703	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
55	17, 54	eqtrd 2796	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3087  Vcvv 3453   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ℩cio 6490  ⟶wf 6532  –onto→wfo 6534  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   − cmin 11440  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590   mod cmo 13902   ∥ cdvds 16309  Basecbs 17268  ℤRHomczrh 21628  ℤ/nℤczn 21631  DChrcdchr 27372   /_L clgs 27434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178  ax-mulf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-ec 8695  df-qs 8699  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-prm 16729  df-phi 16824  df-pc 16896  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-imas 17561  df-qus 17562  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-nsg 19189  df-eqg 19190  df-ghm 19283  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-rsp 21312  df-2idl 21368  df-cnfld 21502  df-zring 21576  df-zrh 21632  df-zn 21635  df-lgs 27435

This theorem is referenced by:  lgsdchr  27495