Theorem lgsdchrval 27548

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchrval	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,ℎ,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ, 𝑚)   𝐷(𝑦, ℎ, 𝑚)   𝐺(𝑦, ℎ, 𝑚)   𝑋(ℎ, 𝑚)   𝑍(ℎ, 𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12529	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		lgsdchr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		lgsdchr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		lgsdchr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6	3, 4, 5	znzrhfo 21727	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
7		fof 6799	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→𝐵 → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8	2, 6, 7	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
9	8	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵)
10		eqeq1 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ↔ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)))
11	10	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → ((𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
12	11	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
13	12	iotabidv 6527	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
14		lgsdchr.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
15		iotaex 6519	. . . 4 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt3i 7002	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
17	9, 16	syl 18	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
18		ovex 7456	. . 3 ⊢ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
20		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	3, 5	zndvds 21729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
26	19, 25	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚))
27		moddvds 16346	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
28	20, 22, 23, 27	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
29	26, 28	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
30	29	oveq1d 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32		lgsmod 27517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
33	22, 20, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34		lgsmod 27517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
35	23, 20, 31, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
36	30, 33, 35	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
37	36	eqeq2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
38	37	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
39	38	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
40	39	expimpd 459	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
41	40	rexlimdva 3169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
42		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝐴))
43	42	eqcomd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
44	43	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
45		oveq1 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
46	45	eqeq2d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
47	44, 46	bitr3d 284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
48	47	rspcev 3584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
49	48	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
50	49	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
51	41, 50	impbid 215	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
52	51	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
53	52	iota5 6526	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
54	18, 53	mpan2 704	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
55	17, 54	eqtrd 2801	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  Vcvv 3458   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ℩cio 6497  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   − cmin 11459  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609   mod cmo 13922   ∥ cdvds 16335  Basecbs 17294  ℤRHomczrh 21679  ℤ/nℤczn 21682  DChrcdchr 27426   /_L clgs 27488

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-phi 16850  df-pc 16922  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-imas 17587  df-qus 17588  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-mhm 18866  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-sbg 19030  df-mulg 19159  df-subg 19214  df-nsg 19215  df-eqg 19216  df-ghm 19309  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-ring 20342  df-cring 20343  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-rhm 20580  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-rsp 21363  df-2idl 21419  df-cnfld 21553  df-zring 21627  df-zrh 21683  df-zn 21686  df-lgs 27489

This theorem is used by:  lgsdchr  27549