Theorem lgsdchrval 27317

Description: The Legendre symbol function 𝑋(𝑚) = (𝑚 /_L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsdchr.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
lgsdchr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
lgsdchr.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
lgsdchr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
lgsdchr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
lgsdchr.x	⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))

Assertion

Ref	Expression
lgsdchrval	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   ℎ,𝑚,𝑦,𝐿   ℎ,𝑁,𝑚,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,ℎ,𝑚,𝑦   𝑦,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ,𝑚)   𝐷(𝑦,ℎ,𝑚)   𝐺(𝑦,ℎ,𝑚)   𝑋(ℎ,𝑚)   𝑍(ℎ,𝑚)

Proof of Theorem lgsdchrval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12508	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		lgsdchr.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
4		lgsdchr.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑍)
5		lgsdchr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
6	3, 4, 5	znzrhfo 21508	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→𝐵)
7		fof 6790	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→𝐵 → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8	2, 6, 7	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
9	8	ffvelcdmda 7074	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵)
10		eqeq1 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ↔ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)))
11	10	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → ((𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
12	11	rexbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
13	12	iotabidv 6515	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐿‘𝐴) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
14		lgsdchr.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
15		iotaex 6504	. . . 4 ⊢ (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑦 = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt3i 6991	. . 3 ⊢ ((𝐿‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
17	9, 16	syl 17	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
18		ovex 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
20		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21	20, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝐴 ∈ ℤ)
23		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℤ)
24	3, 5	zndvds 21510	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
26	19, 25	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚))
27		moddvds 16283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
28	20, 22, 23, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝑚)))
29	26, 28	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 mod 𝑁) = (𝑚 mod 𝑁))
30	29	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁))
31		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ¬ 2 ∥ 𝑁)
32		lgsmod 27286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
33	22, 20, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34		lgsmod 27286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
35	23, 20, 31, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → ((𝑚 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
36	30, 33, 35	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (𝐴 /L 𝑁) = (𝑚 /L 𝑁))
37	36	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
38	37	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
39	38	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚)) → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
40	39	expimpd 453	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
41	40	rexlimdva 3141	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) → ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
42		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝑚) = (𝐿‘𝐴))
43	42	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚))
44	43	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
45		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
46	45	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (ℎ = (𝑚 /L 𝑁) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
47	44, 46	bitr3d 281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝐴 → (((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
48	47	rspcev 3601	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
50	49	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (ℎ = (𝐴 /L 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))))
51	41, 50	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
52	51	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁)) ↔ ℎ = (𝐴 /L 𝑁)))
53	52	iota5 6514	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
54	18, 53	mpan2 691	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (℩ℎ∃𝑚 ∈ ℤ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝑚) ∧ ℎ = (𝑚 /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
55	17, 54	eqtrd 2770	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑋‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐴 /L 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ℩cio 6482  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   − cmin 11466  ℕcn 12240  2c2 12295  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588   mod cmo 13886   ∥ cdvds 16272  Basecbs 17228  ℤRHomczrh 21460  ℤ/nℤczn 21463  DChrcdchr 27195   /_L clgs 27257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-phi 16785  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-nsg 19107  df-eqg 19108  df-ghm 19196  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-2idl 21211  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-zn 21467  df-lgs 27258

This theorem is referenced by:  lgsdchr  27318