MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchrval 27093
Description: The Legendre symbol function 𝑋(π‘š) = (π‘š /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
lgsdchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
lgsdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
lgsdchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
lgsdchr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchrval (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (𝐴 /L 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   β„Ž,π‘š,𝑦,𝐿   β„Ž,𝑁,π‘š,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,β„Ž,π‘š,𝑦   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝐺(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   𝑍(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem lgsdchrval
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12483 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 lgsdchr.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 lgsdchr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 lgsdchr.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
63, 4, 5znzrhfo 21322 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
7 fof 6804 . . . . 5 (𝐿:℀–onto→𝐡 β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
82, 6, 73syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
98ffvelcdmda 7085 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
10 eqeq1 2734 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ↔ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š)))
1110anbi1d 628 . . . . . 6 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ ((𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
1211rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
1312iotabidv 6526 . . . 4 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
14 lgsdchr.x . . . 4 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
15 iotaex 6515 . . . 4 (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt3i 7002 . . 3 ((πΏβ€˜π΄) ∈ 𝐡 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
179, 16syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
18 ovex 7444 . . 3 (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))
20 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
23 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„€)
243, 5zndvds 21324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2619, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š))
27 moddvds 16212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2820, 22, 23, 27syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2926, 28mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁))
3029oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁))
31 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
32 lgsmod 27062 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
3322, 20, 31, 32syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34 lgsmod 27062 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3523, 20, 31, 34syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3630, 33, 353eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3736eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) ↔ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))
3837biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
3938anassrs 466 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š)) β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4039expimpd 452 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4140rexlimdva 3153 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
42 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝐴 β†’ (πΏβ€˜π‘š) = (πΏβ€˜π΄))
4342eqcomd 2736 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝐴 β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))
4443biantrurd 531 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝐴 β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) ↔ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
45 oveq1 7418 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝐴 β†’ (π‘š /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
4645eqeq2d 2741 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝐴 β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4744, 46bitr3d 280 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝐴 β†’ (((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4847rspcev 3611 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))
4948ex 411 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
5049adantl 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
5141, 50impbid 211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
5251adantr 479 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
5352iota5 6525 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5418, 53mpan2 687 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5517, 54eqtrd 2770 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β„©cio 6492  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562   mod cmo 13838   βˆ₯ cdvds 16201  Basecbs 17148  β„€RHomczrh 21268  β„€/nβ„€czn 21271  DChrcdchr 26971   /L clgs 27033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-phi 16703  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-imas 17458  df-qus 17459  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-lgs 27034
This theorem is referenced by:  lgsdchr  27094
  Copyright terms: Public domain W3C validator