MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdchrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdchrval 26857
Description: The Legendre symbol function 𝑋(π‘š) = (π‘š /L 𝑁), where 𝑁 is an odd positive number, is a Dirichlet character modulo 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdchr.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
lgsdchr.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
lgsdchr.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
lgsdchr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
lgsdchr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
lgsdchr.x 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
lgsdchrval (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (𝐴 /L 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐡   β„Ž,π‘š,𝑦,𝐿   β„Ž,𝑁,π‘š,𝑦   𝑦,𝑋   𝐴,β„Ž,π‘š,𝑦   𝑦,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐡(β„Ž,π‘š)   𝐷(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝐺(𝑦,β„Ž,π‘š)   𝑋(β„Ž,π‘š)   𝑍(β„Ž,π‘š)

Proof of Theorem lgsdchrval
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12479 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3 lgsdchr.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
4 lgsdchr.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
5 lgsdchr.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
63, 4, 5znzrhfo 21103 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–onto→𝐡)
7 fof 6806 . . . . 5 (𝐿:℀–onto→𝐡 β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
82, 6, 73syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
98ffvelcdmda 7087 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
10 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ↔ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š)))
1110anbi1d 631 . . . . . 6 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ ((𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
1211rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
1312iotabidv 6528 . . . 4 (𝑦 = (πΏβ€˜π΄) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
14 lgsdchr.x . . . 4 𝑋 = (𝑦 ∈ 𝐡 ↦ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
15 iotaex 6517 . . . 4 (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ (𝑦 = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt3i 7004 . . 3 ((πΏβ€˜π΄) ∈ 𝐡 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
179, 16syl 17 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
18 ovex 7442 . . 3 (𝐴 /L 𝑁) ∈ V
19 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))
20 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2120, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
23 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„€)
243, 5zndvds 21105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2619, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š))
27 moddvds 16208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2820, 22, 23, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝐴 βˆ’ π‘š)))
2926, 28mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (𝐴 mod 𝑁) = (π‘š mod 𝑁))
3029oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁))
31 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁)
32 lgsmod 26826 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
3322, 20, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((𝐴 mod 𝑁) /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
34 lgsmod 26826 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) β†’ ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3523, 20, 31, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ ((π‘š mod 𝑁) /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3630, 33, 353eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (𝐴 /L 𝑁) = (π‘š /L 𝑁))
3736eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) ↔ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))
3837biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))) β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
3938anassrs 469 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) ∧ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š)) β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4039expimpd 455 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4140rexlimdva 3156 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) β†’ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
42 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 𝐴 β†’ (πΏβ€˜π‘š) = (πΏβ€˜π΄))
4342eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝐴 β†’ (πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š))
4443biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝐴 β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) ↔ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
45 oveq1 7416 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝐴 β†’ (π‘š /L 𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
4645eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝐴 β†’ (β„Ž = (π‘š /L 𝑁) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4744, 46bitr3d 281 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝐴 β†’ (((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
4847rspcev 3613 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)))
4948ex 414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„€ β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
5049adantl 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (β„Ž = (𝐴 /L 𝑁) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))))
5141, 50impbid 211 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
5251adantr 482 . . . 4 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁)) ↔ β„Ž = (𝐴 /L 𝑁)))
5352iota5 6527 . . 3 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) ∧ (𝐴 /L 𝑁) ∈ V) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5418, 53mpan2 690 . 2 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (β„©β„Žβˆƒπ‘š ∈ β„€ ((πΏβ€˜π΄) = (πΏβ€˜π‘š) ∧ β„Ž = (π‘š /L 𝑁))) = (𝐴 /L 𝑁))
5517, 54eqtrd 2773 1 (((𝑁 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑁) ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β„©cio 6494  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558   mod cmo 13834   βˆ₯ cdvds 16197  Basecbs 17144  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  DChrcdchr 26735   /L clgs 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-lgs 26798
This theorem is referenced by:  lgsdchr  26858
  Copyright terms: Public domain W3C validator