Theorem fvmptnn04ifa 22976

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifa	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1154	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉)
7		eqidd 2770	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
8		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
9	8	gt0ne0d 11778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	neneqd 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
11	10	pm2.21d 122	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
12	11	impancom 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
13	12	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
14	13	3imp 1126	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
15	2	nnne0d 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
16	15	necomd 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18		neeq1 3026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
19	18	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
20	17, 19	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 𝑆)
21	20	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 𝑆)
22	21	neneqd 2969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
23	22	pm2.21d 122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
24	23	imp 411	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
25		nnnn0 12511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26		nn0nlt0 12530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
27	2, 25, 26	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29		breq2 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
30	29	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
31	30	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33	32	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
34	33	pm2.21d 122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
35	34	imp 411	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
36	1, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35	fvmptnn04if 22975	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ⦋csb 3861  ifcif 4492   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  0cc0 11100   < clt 11243  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505

This theorem is referenced by: (None)