Theorem fvmptnn04ifa 21907

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifa	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉)
7		eqidd 2739	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
9	8	gt0ne0d 11469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	neneqd 2947	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
11	10	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
12	11	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
13	12	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
14	13	3imp 1109	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
15	2	nnne0d 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
16	15	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18		neeq1 3005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
20	17, 19	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 𝑆)
21	20	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 𝑆)
22	21	neneqd 2947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
23	22	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
24	23	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
25		nnnn0 12170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26		nn0nlt0 12189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
27	2, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
30	29	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
32	28, 31	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33	32	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
34	33	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
35	34	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
36	1, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35	fvmptnn04if 21906	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ⦋csb 3828  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  0cc0 10802   < clt 10940  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by: (None)