Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifa 21496
 Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifa ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1130 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1130 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1135 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉)
7 eqidd 2799 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
8 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
98gt0ne0d 11211 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
109neneqd 2992 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
1110pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
1211impancom 455 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
13123adant3 1129 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
14133imp 1108 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
152nnne0d 11693 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ≠ 0)
1615necomd 3042 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18 neeq1 3049 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
1918adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑁𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
2017, 19mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁𝑆)
21203adant3 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁𝑆)
2221neneqd 2992 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2322pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
2423imp 410 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
25 nnnn0 11910 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26 nn0nlt0 11929 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
272, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
2827adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29 breq2 5038 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁𝑆 < 0))
3029notbid 321 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
3130adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
3228, 31mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33323adant3 1129 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3433pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3534imp 410 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
361, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35fvmptnn04if 21495 1 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ⦋csb 3830  ifcif 4428   class class class wbr 5034   ↦ cmpt 5114  ‘cfv 6332  0cc0 10544   < clt 10682  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator