Theorem fvmptnn04ifa 22743

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifa	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉)
7		eqidd 2731	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
8		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
9	8	gt0ne0d 11748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	neneqd 2931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
11	10	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
12	11	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
13	12	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
14	13	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
15	2	nnne0d 12237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
16	15	necomd 2981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18		neeq1 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
20	17, 19	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 𝑆)
21	20	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 𝑆)
22	21	neneqd 2931	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
23	22	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
24	23	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
25		nnnn0 12455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26		nn0nlt0 12474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
27	2, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29		breq2 5113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
30	29	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33	32	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
34	33	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
35	34	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
36	1, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35	fvmptnn04if 22742	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ⦋csb 3864  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6513  0cc0 11074   < clt 11214  ℕcn 12187  ℕ₀cn0 12448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449

This theorem is referenced by: (None)