Theorem fvmptnn04ifa 21999

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifa	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉)
7		eqidd 2739	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
8		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
9	8	gt0ne0d 11539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
10	9	neneqd 2948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
11	10	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
12	11	impancom 452	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
13	12	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
14	13	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
15	2	nnne0d 12023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 0)
16	15	necomd 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18		neeq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ≠ 𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
20	17, 19	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 ≠ 𝑆)
21	20	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑁 ≠ 𝑆)
22	21	neneqd 2948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
23	22	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶))
24	23	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
25		nnnn0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26		nn0nlt0 12259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
27	2, 25, 26	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
28	27	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29		breq2 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁 ↔ 𝑆 < 0))
30	29	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
31	30	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
32	28, 31	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33	32	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
34	33	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
35	34	imp 407	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
36	1, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35	fvmptnn04if 21998	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 0 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ⦋csb 3832  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  0cc0 10871   < clt 11009  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234

This theorem is referenced by: (None)