MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptnn04ifa Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmptnn04ifa 22151
Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the first case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptnn04if.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fvmptnn04ifa ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐴)
Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifa
StepHypRef Expression
1 fvmptnn04if.g . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2 fvmptnn04if.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
323ad2ant1 1133 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4 fvmptnn04if.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
543ad2ant1 1133 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 simp3 1138 . 2 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉)
7 eqidd 2738 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐴)
8 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
98gt0ne0d 11677 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
109neneqd 2946 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
1110pm2.21d 121 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
1211impancom 452 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
13123adant3 1132 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)))
14133imp 1111 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 0 < 𝑁𝑁 < 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐵)
152nnne0d 12161 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ≠ 0)
1615necomd 2997 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ 𝑆)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ≠ 𝑆)
18 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝑁𝑆 ↔ 0 ≠ 𝑆))
2017, 19mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁𝑆)
21203adant3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → 𝑁𝑆)
2221neneqd 2946 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → ¬ 𝑁 = 𝑆)
2322pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝑁 = 𝑆𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐶))
2423imp 407 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐶)
25 nnnn0 12378 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℕ0)
26 nn0nlt0 12397 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑆 < 0)
272, 25, 263syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑆 < 0)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 0)
29 breq2 5107 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → (𝑆 < 𝑁𝑆 < 0))
3029notbid 317 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → (¬ 𝑆 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑆 < 0))
3228, 31mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
33323adant3 1132 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
3433pm2.21d 121 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝑆 < 𝑁𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐷))
3534imp 407 . 2 (((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 / 𝑛𝐴 = 𝑁 / 𝑛𝐷)
361, 3, 5, 6, 7, 14, 24, 35fvmptnn04if 22150 1 ((𝜑𝑁 = 0 ∧ 𝑁 / 𝑛𝐴𝑉) → (𝐺𝑁) = 𝑁 / 𝑛𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  csb 3853  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  0cc0 11009   < clt 11147  cn 12111  0cn0 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator