Theorem nnne0d 12388

Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnne0 12372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  0cc0 11200  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-nn 12336

This theorem is used by:  eluz2n0  13020  facne0  14430  bcn1  14457  bcm1k  14459  bcp1n  14460  bcp1nk  14461  bcval5  14462  bcpasc  14465  hashf1  14602  trireciplem  16031  trirecip  16032  geo2sum  16042  geo2lim  16044  mertenslem1  16053  fallfacval4  16209  bcfallfac  16210  bpolycl  16218  bpolysum  16219  bpolydiflem  16220  fsumkthpow  16222  efcllem  16243  ege2le3  16256  efcj  16258  efaddlem  16259  eftlub  16277  eirrlem  16372  ruclem7  16404  sqrt2irrlem  16416  bitsp1  16601  bitscmp  16608  sadcp1  16625  sadaddlem  16636  bitsres  16643  bitsuz  16644  bitsshft  16645  smupp1  16650  gcdnncl  16677  gcdeq0  16689  dvdsgcdidd  16710  mulgcd  16721  sqgcd  16736  expgcd  16737  lcmeq0  16775  lcmgcdlem  16781  lcmfeq0b  16805  lcmfunsnlem2lem1  16813  lcmfunsnlem2lem2  16814  divgcdcoprm0  16840  prmind2  16860  isprm5  16883  divgcdodd  16886  qmuldeneqnum  16923  divnumden  16924  numdensq  16930  numdenexp  16937  hashdvds  16952  phiprmpw  16953  pythagtriplem4  16997  pythagtriplem19  17011  pcprendvds2  17019  pcpremul  17021  pceulem  17023  pcdiv  17030  pcqmul  17031  pc2dvds  17057  dvdsprmpweqle  17064  pcaddlem  17066  pcadd  17067  pcmpt2  17071  pcmptdvds  17072  pcbc  17078  expnprm  17080  prmpwdvds  17082  pockthlem  17083  prmreclem1  17094  prmreclem3  17096  prmreclem4  17097  4sqlem5  17120  4sqlem8  17123  4sqlem9  17124  4sqlem10  17125  mul4sqlem  17131  4sqlem12  17134  4sqlem14  17136  4sqlem15  17137  4sqlem16  17138  4sqlem17  17139  prmone0  17213  oddvds  19761  sylow1lem1  19812  sylow1lem4  19815  sylow1lem5  19816  sylow2blem3  19836  sylow3lem3  19843  sylow3lem4  19844  gexexlem  20066  ablfacrplem  20281  ablfacrp2  20283  ablfac1lem  20284  ablfac1b  20286  ablfac1eu  20289  pgpfac1lem3a  20292  pgpfac1lem3  20293  fincygsubgodd  20328  fincygsubgodexd  20329  prmirredlem  21778  znrrg  21871  psdmul  22487  fvmptnn04ifa  23168  chfacfscmulgsum  23178  chfacfpmmulgsum  23182  lebnumlem3  25284  lebnumii  25287  ovollb2lem  25809  uniioombllem4  25907  dyadovol  25914  dyaddisjlem  25916  opnmbllem  25922  mbfi1fseqlem3  26038  mbfi1fseqlem4  26039  mbfi1fseqlem5  26040  mbfi1fseqlem6  26041  itgpowd  26370  tdeglem4  26378  dgrcolem1  26592  dgrcolem2  26593  dvply1  26605  vieta1lem1  26633  vieta1lem2  26634  elqaalem2  26643  elqaalem3  26644  aalioulem1  26659  aalioulem2  26660  aaliou3lem9  26677  taylfvallem1  26684  tayl0  26689  taylply2  26695  taylply  26696  dvtaylp  26697  taylthlem2  26701  pserdvlem2  26755  advlogexp  26983  cxpmul2  27017  cxpeq  27085  atantayl3  27267  leibpi  27270  log2cnv  27272  log2tlbnd  27273  birthdaylem2  27280  birthdaylem3  27281  amgmlem  27317  amgm  27318  emcllem2  27324  emcllem5  27327  fsumharmonic  27339  zetacvg  27342  dmgmdivn0  27355  lgamgulmlem2  27357  lgamgulmlem3  27358  lgamgulmlem4  27359  lgamgulmlem5  27360  lgamgulmlem6  27361  lgamgulm2  27363  lgamcvg2  27382  gamcvg  27383  gamcvg2lem  27386  ftalem2  27401  ftalem4  27403  ftalem5  27404  basellem1  27408  basellem2  27409  basellem4  27411  basellem5  27412  basellem8  27415  sgmval2  27470  efchtdvds  27486  ppieq0  27503  fsumdvdsdiaglem  27510  dvdsflf1o  27514  muinv  27520  mpodvdsmulf1o  27521  dvdsmulf1o  27523  chpchtsum  27546  logfaclbnd  27549  logexprlim  27552  mersenne  27554  perfectlem2  27557  perfect  27558  dchrabs  27587  bcmono  27604  bclbnd  27607  bposlem1  27611  bposlem2  27612  bposlem3  27613  bposlem6  27616  lgsval2lem  27634  lgsqr  27678  lgseisenlem4  27705  lgsquadlem1  27707  lgsquadlem2  27708  lgsquad2lem1  27711  2sqlem3  27747  2sqlem8  27753  2sqmod  27763  chebbnd1  27799  rplogsumlem2  27812  rpvmasumlem  27814  dchrisumlem1  27816  dchrmusum2  27821  dchrvmasumlem1  27822  dchrvmasum2lem  27823  dchrvmasum2if  27824  dchrvmasumlem3  27826  dchrvmasumiflem1  27828  dchrisum0flblem2  27836  mulogsumlem  27858  mulogsum  27859  mulog2sumlem2  27862  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  logsqvma  27869  selberglem3  27874  selberg  27875  logdivbnd  27883  selberg3lem1  27884  selberg4lem1  27887  pntrsumo1  27892  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntsval2  27903  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntpbnd1a  27912  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  padicabvf  27958  padicabvcxp  27959  ostth2  27964  ostth3  27965  fltabcoprmex  27971  fltne  27975  flt4lem6  27988  nna4b4nsq  27990  clwwlknonex2  30700  numclwwlk1lem2foa  30955  numclwwlk1lem2fo  30959  nrt2irr  31074  bcm1n  33387  elq2  33403  numdenneg  33406  2exple2exp  33425  zringfrac  34086  cos9thpiminplylem2  34415  qqhf  34618  qqhghm  34620  qqhrhm  34621  qqhre  34652  oddpwdc  34986  signshnz  35220  hgt750lemb  35285  subfacval2  35952  subfaclim  35953  cvmliftlem7  36056  cvmliftlem10  36059  cvmliftlem11  36060  cvmliftlem13  36061  bcprod  36503  iprodgam  36507  faclimlem1  36508  faclim2  36513  nn0prpwlem  37110  knoppndvlem16  37393  poimirlem17  38555  poimirlem20  38558  poimirlem23  38561  opnmbllem0  38574  nnproddivdvdsd  43050  lcmineqlem6  43084  lcmineqlem10  43088  lcmineqlem11  43089  lcmineqlem12  43090  lcmineqlem15  43093  lcmineqlem16  43094  lcmineqlem18  43096  lcmineqlem23  43101  aks4d1p5  43130  aks4d1p7d1  43132  aks4d1p8  43137  aks6d1c1p3  43160  aks6d1c1  43166  aks6d1c2p2  43169  aks6d1c3  43173  aks6d1c4  43174  aks6d1c2lem4  43177  2np3bcnp1  43194  sticksstones10  43205  aks6d1c6lem3  43222  aks6d1c6lem4  43223  bcled  43228  bcle2d  43229  aks6d1c7lem1  43230  aks6d1c7  43234  unitscyglem2  43246  unitscyglem4  43248  fsuppind  43618  fltnlta  43674  irrapxlem4  43831  irrapxlem5  43832  pellexlem2  43836  pellexlem6  43840  jm2.27c  44013  hashnzfzclim  45305  bcccl  45322  bccp1k  45324  bccm1k  45325  binomcxplemwb  45331  binomcxplemrat  45333  binomcxplemfrat  45334  mccllem  46608  clim1fr1  46612  dvnxpaek  46951  dvnprodlem2  46956  itgsinexp  46964  stoweidlem1  47010  stoweidlem11  47020  stoweidlem25  47034  stoweidlem26  47035  stoweidlem37  47046  stoweidlem38  47047  stoweidlem42  47051  stoweidlem51  47060  wallispilem4  47077  wallispilem5  47078  wallispi2lem1  47080  wallispi2lem2  47081  wallispi2  47082  stirlinglem4  47086  stirlinglem5  47087  stirlinglem12  47094  stirlinglem13  47095  sqwvfourb  47238  etransclem15  47258  etransclem20  47263  etransclem21  47264  etransclem22  47265  etransclem23  47266  etransclem24  47267  etransclem25  47268  etransclem31  47274  etransclem32  47275  etransclem33  47276  etransclem34  47277  etransclem35  47278  etransclem38  47281  etransclem41  47284  etransclem44  47287  etransclem45  47288  etransclem47  47290  etransclem48  47291  ovolval5lem1  47661  ovolval5lem2  47662  lighneallem4b  48693  ppivalnnnprmge6  48710  divgcdoddALTV  48779  perfectALTVlem2  48819  perfectALTV  48820  expnegico01  49629  fllogbd  49671  digexp  49718  amgmlemALT  50987