MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnne0d 11351
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnne0 11339 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2156  wne 2978  0cc0 10221  cn 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306
This theorem is referenced by:  eluz2n0  11946  facne0  13293  bcn1  13320  bcm1k  13322  bcp1n  13323  bcp1nk  13324  bcval5  13325  bcpasc  13328  hashf1  13458  trireciplem  14816  trirecip  14817  geo2sum  14826  geo2lim  14828  mertenslem1  14837  fallfacval4  14994  bcfallfac  14995  bpolycl  15003  bpolysum  15004  bpolydiflem  15005  fsumkthpow  15007  efcllem  15028  ege2le3  15040  efcj  15042  efaddlem  15043  eftlub  15059  eirrlem  15152  ruclem7  15185  sqrt2irrlem  15197  sqrt2irrlemOLD  15198  bitsp1  15372  bitscmp  15379  sadcp1  15396  sadaddlem  15407  bitsres  15414  bitsuz  15415  bitsshft  15416  smupp1  15421  gcdnncl  15448  gcdeq0  15457  mulgcd  15484  sqgcd  15497  lcmeq0  15532  lcmgcdlem  15538  lcmfeq0b  15562  lcmfunsnlem2lem1  15570  lcmfunsnlem2lem2  15571  divgcdcoprm0  15597  prmind2  15616  isprm5  15636  divgcdodd  15639  qmuldeneqnum  15672  divnumden  15673  numdensq  15679  hashdvds  15697  phiprmpw  15698  pythagtriplem4  15741  pythagtriplem19  15755  pcprendvds2  15763  pcpremul  15765  pceulem  15767  pcdiv  15774  pcqmul  15775  pc2dvds  15800  dvdsprmpweqle  15807  pcaddlem  15809  pcadd  15810  pcmpt2  15814  pcmptdvds  15815  pcbc  15821  expnprm  15823  prmpwdvds  15825  pockthlem  15826  prmreclem1  15837  prmreclem3  15839  prmreclem4  15840  4sqlem5  15863  4sqlem8  15866  4sqlem9  15867  4sqlem10  15868  mul4sqlem  15874  4sqlem12  15877  4sqlem14  15879  4sqlem15  15880  4sqlem16  15881  4sqlem17  15882  prmone0  15956  oddvds  18167  sylow1lem1  18214  sylow1lem4  18217  sylow1lem5  18218  sylow2blem3  18238  sylow3lem3  18245  sylow3lem4  18246  gexexlem  18456  ablfacrplem  18666  ablfacrp2  18668  ablfac1lem  18669  ablfac1b  18671  ablfac1eu  18674  pgpfac1lem3a  18677  pgpfac1lem3  18678  prmirredlem  20049  znrrg  20121  fvmptnn04ifa  20868  chfacfscmulgsum  20878  chfacfpmmulgsum  20882  lebnumlem3  22975  lebnumii  22978  ovollb2lem  23469  uniioombllem4  23567  dyadovol  23574  dyaddisjlem  23576  opnmbllem  23582  mbfi1fseqlem3  23698  mbfi1fseqlem4  23699  mbfi1fseqlem5  23700  mbfi1fseqlem6  23701  tdeglem4  24034  dgrcolem1  24243  dgrcolem2  24244  dvply1  24253  vieta1lem1  24279  vieta1lem2  24280  elqaalem2  24289  elqaalem3  24290  aalioulem1  24301  aalioulem2  24302  aaliou3lem9  24319  taylfvallem1  24325  tayl0  24330  taylply2  24336  taylply  24337  dvtaylp  24338  taylthlem2  24342  pserdvlem2  24396  advlogexp  24615  cxpmul2  24649  cxpeq  24712  atantayl3  24880  leibpi  24883  log2cnv  24885  log2tlbnd  24886  birthdaylem2  24893  birthdaylem3  24894  amgmlem  24930  amgm  24931  emcllem2  24937  emcllem5  24940  fsumharmonic  24952  zetacvg  24955  dmgmdivn0  24968  lgamgulmlem2  24970  lgamgulmlem3  24971  lgamgulmlem4  24972  lgamgulmlem5  24973  lgamgulmlem6  24974  lgamgulm2  24976  lgamcvg2  24995  gamcvg  24996  gamcvg2lem  24999  ftalem2  25014  ftalem4  25016  ftalem5  25017  basellem1  25021  basellem2  25022  basellem4  25024  basellem5  25025  basellem8  25028  sgmval2  25083  efchtdvds  25099  ppieq0  25116  fsumdvdsdiaglem  25123  dvdsflf1o  25127  muinv  25133  dvdsmulf1o  25134  chpchtsum  25158  logfaclbnd  25161  logexprlim  25164  mersenne  25166  perfectlem2  25169  perfect  25170  dchrabs  25199  bcmono  25216  bclbnd  25219  bposlem1  25223  bposlem2  25224  bposlem3  25225  bposlem6  25228  lgsval2lem  25246  lgsqr  25290  lgseisenlem4  25317  lgsquadlem1  25319  lgsquadlem2  25320  lgsquad2lem1  25323  2sqlem3  25359  2sqlem8  25365  chebbnd1  25375  rplogsumlem2  25388  rpvmasumlem  25390  dchrisumlem1  25392  dchrmusum2  25397  dchrvmasumlem1  25398  dchrvmasum2lem  25399  dchrvmasum2if  25400  dchrvmasumlem3  25402  dchrvmasumiflem1  25404  dchrisum0flblem2  25412  mulogsumlem  25434  mulogsum  25435  mulog2sumlem2  25438  vmalogdivsum2  25441  vmalogdivsum  25442  logsqvma  25445  selberglem3  25450  selberg  25451  logdivbnd  25459  selberg3lem1  25460  selberg4lem1  25463  pntrsumo1  25468  selberg3r  25472  selberg4r  25473  selberg34r  25474  pntsval2  25479  pntrlog2bndlem2  25481  pntrlog2bndlem3  25482  pntrlog2bndlem5  25484  pntrlog2bndlem6  25486  pntpbnd1a  25488  pntpbnd1  25489  pntpbnd2  25490  padicabvf  25534  padicabvcxp  25535  ostth2  25540  ostth3  25541  clwwlknonex2  27278  numclwwlk1lem2foa  27533  numclwwlk1lem2fo  27537  bcm1n  29881  numdenneg  29890  2sqmod  29973  qqhf  30355  qqhghm  30357  qqhrhm  30358  qqhre  30389  oddpwdc  30741  signshnz  30993  hgt750lemb  31059  subfacval2  31492  subfaclim  31493  cvmliftlem7  31596  cvmliftlem10  31599  cvmliftlem11  31600  cvmliftlem13  31601  bcprod  31946  iprodgam  31950  faclimlem1  31951  faclim2  31956  nn0prpwlem  32638  knoppndvlem16  32835  poimirlem17  33739  poimirlem20  33742  poimirlem23  33745  opnmbllem0  33758  irrapxlem4  37891  irrapxlem5  37892  pellexlem2  37896  pellexlem6  37900  jm2.27c  38075  itgpowd  38300  hashnzfzclim  39021  bcccl  39038  bccp1k  39040  bccm1k  39041  binomcxplemwb  39047  binomcxplemrat  39049  binomcxplemfrat  39050  mccllem  40309  clim1fr1  40313  dvnxpaek  40637  dvnprodlem2  40642  itgsinexp  40650  stoweidlem1  40697  stoweidlem11  40707  stoweidlem25  40721  stoweidlem26  40722  stoweidlem37  40733  stoweidlem38  40734  stoweidlem42  40738  stoweidlem51  40747  wallispilem4  40764  wallispilem5  40765  wallispi2lem1  40767  wallispi2lem2  40768  wallispi2  40769  stirlinglem4  40773  stirlinglem5  40774  stirlinglem12  40781  stirlinglem13  40782  sqwvfourb  40925  etransclem15  40945  etransclem20  40950  etransclem21  40951  etransclem22  40952  etransclem23  40953  etransclem24  40954  etransclem25  40955  etransclem31  40961  etransclem32  40962  etransclem33  40963  etransclem34  40964  etransclem35  40965  etransclem38  40968  etransclem41  40971  etransclem44  40974  etransclem45  40975  etransclem47  40977  etransclem48  40978  ovolval5lem1  41348  ovolval5lem2  41349  lighneallem4b  42101  divgcdoddALTV  42168  perfectALTVlem2  42206  perfectALTV  42207  expnegico01  42876  fllogbd  42922  digexp  42969  amgmlemALT  43120
  Copyright terms: Public domain W3C validator