Theorem prodsn 15897

Description: A product of a singleton is the term. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
prodsn.1	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodsn	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem prodsn

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3875	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
3		csbeq1a 3865	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvprodi 15850	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3854	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 12168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		1z 12533	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		f1osng 6824	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10		fzsn 13494	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...1) = {1}
12		f1oeq2 6771	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
14	9, 13	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
15	8, 14	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17		velsn 4598	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18		csbeq1 3854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		nfcvd 2900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
20		prodsn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
21	19, 20	csbiegf 3884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	18, 22	sylan9eqr 2794	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24	17, 23	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
25		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
26	24, 25	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
27	11	eleq2i 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
28		velsn 4598	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
29	27, 28	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
30		fvsng 7136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
31	8, 30	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
33	32	csbeq1d 3855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
34		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		fvsng 7136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
36	8, 34, 35	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	22, 33, 36	3eqtr4rd 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴)
38		fveq2 6842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
39		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
40	39	csbeq1d 3855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴)
41	38, 40	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴))
42	37, 41	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴))
43	42	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
44	29, 43	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
45	5, 7, 16, 26, 44	fprod 15876	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
46	4, 45	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
47	8, 36	seq1i 13950	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
48	46, 47	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⦋csb 3851  {csn 4582  ⟨cop 4588  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ∏cprod 15838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839

This theorem is referenced by:  fprod1  15898  fprodm1  15902  fprod1p  15903  prodsns  15907  fprod2dlem  15915  fprodefsum  16030  fprodfvdvdsd  16273  prmdvdsprmo  16982  fprodeq02  32914  prodpr  32917  prodtp  32918  prodfzo03  34780  hoidmv1le  46946  ovnovollem1  47008  ovnovollem2  47009  fmtnorec2  47897