Theorem 0aryfvalelfv 48646

Description: The value of a nullary (endo)function on a set 𝑋. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
0aryfvalelfv	⊢ (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘∅) = 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋

Proof of Theorem 0aryfvalelfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (0..^0) = (0..^0)
2	1	naryrcl 48642	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) → (0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
3		0aryfvalel 48645	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩}))
4		0ex 5243	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5		fvsng 7109	. . . . . . 7 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ({⟨∅, 𝑥⟩}‘∅) = 𝑥)
6	4, 5	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → ({⟨∅, 𝑥⟩}‘∅) = 𝑥)
7		fveq1 6816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹‘∅) = ({⟨∅, 𝑥⟩}‘∅))
8	7	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → ((𝐹‘∅) = 𝑥 ↔ ({⟨∅, 𝑥⟩}‘∅) = 𝑥))
9	6, 8	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 → (𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → (𝐹‘∅) = 𝑥))
10	9	reximia 3065	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝐹 = {⟨∅, 𝑥⟩} → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘∅) = 𝑥)
11	3, 10	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘∅) = 𝑥))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘∅) = 𝑥))
13	2, 12	mpcom 38	1 ⊢ (𝐹 ∈ (0-aryF 𝑋) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘∅) = 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3054  Vcvv 3434  ∅c0 4281  {csn 4574  ⟨cop 4580  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  0cc0 10998  ℕ₀cn0 12373  ..^cfzo 13546  -aryF cnaryf 48637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-naryf 48638

This theorem is referenced by: (None)