Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem2 47247
Description: Lemma 2 for lmod1 47251. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑅,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,𝑦,π‘Ÿ)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
2 snex 5431 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 471 . . . . . 6 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4 mpoexga 8066 . . . . . 6 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalarβ€˜ndx), π‘…βŸ©} βˆͺ {⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 17276 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
85, 7syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
98eqcomd 2738 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 771 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ = π‘Ÿ ∧ 𝑦 = 𝐼)) β†’ 𝑦 = 𝐼)
11 simp3 1138 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12 snidg 4662 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
13123ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ {𝐼})
149, 10, 11, 13, 13ovmpod 7562 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
15 snex 5431 . . . . . . 7 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
166lmodplusg 17274 . . . . . . 7 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
1715, 16mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
1817eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (+gβ€˜π‘€) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
1918oveqd 7428 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20 df-ov 7414 . . . . 5 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
21 opex 5464 . . . . . 6 ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
22 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
23 fvsng 7180 . . . . . 6 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
2421, 22, 23sylancr 587 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
2520, 24eqtrid 2784 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
2619, 25eqtrd 2772 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
2726oveq2d 7427 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼)) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼))
282a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ {𝐼} ∈ V)
291, 28, 4sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
3029, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 β€˜π‘€))
3130eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘€) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3231, 10, 11, 13, 13ovmpod 7562 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼) = 𝐼)
3332, 32oveq12d 7429 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)) = (𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼))
3433, 26eqtrd 2772 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)) = 𝐼)
3514, 27, 343eqtr4d 2782 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝐼(+gβ€˜π‘€)𝐼)) = ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946  {csn 4628  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ndxcnx 17128  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  Ringcrg 20058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-plusg 17212  df-sca 17215  df-vsca 17216
This theorem is referenced by:  lmod1  47251
  Copyright terms: Public domain W3C validator