Theorem lmod1lem2 49119

Description: Lemma 2 for lmod1 49123. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem2	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼(+g‘𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem lmod1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6884	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		snex 5401	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4		mpoexga 8062	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
5	3, 4	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6		lmod1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
7	6	lmodvsca 17372	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
9	8	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10		simprr 784	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12		snidg 4622	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
13	12	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
14	9, 10, 11, 13, 13	ovmpod 7552	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
15		snex 5401	. . . . . . 7 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
16	6	lmodplusg 17370	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
17	15, 16	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
18	17	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (+g‘𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19	18	oveqd 7417	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20		df-ov 7403	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
21		opex 5436	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
22		simp1 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
23		fvsng 7168	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
24	21, 22, 23	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
25	20, 24	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
26	19, 25	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
27	26	oveq2d 7416	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼(+g‘𝑀)𝐼)) = (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼))
28	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝐼} ∈ V)
29	1, 28, 4	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
30	29, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
31	30	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
32	31, 10, 11, 13, 13	ovmpod 7552	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
33	32, 32	oveq12d 7418	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g‘𝑀)𝐼))
34	33, 26	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = 𝐼)
35	14, 27, 34	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼(+g‘𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∪ cun 3905  {csn 4585  {ctp 4589  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ndxcnx 17243  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  Scalarcsca 17303   ·_𝑠 cvsca 17304  Ringcrg 20306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-plusg 17313  df-sca 17316  df-vsca 17317

This theorem is referenced by:  lmod1  49123