Theorem lmod1lem2 49309

Description: Lemma 2 for lmod1 49313. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmod1.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1lem2	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼(+g‘𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑟)

Proof of Theorem lmod1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
2		snex 5415	. . . . . . 7 ⊢ {𝐼} ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4		mpoexga 8083	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
5	3, 4	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6		lmod1.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
7	6	lmodvsca 17407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
9	8	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10		simprr 785	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12		snidg 4631	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
13	12	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
14	9, 10, 11, 13, 13	ovmpod 7575	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
15		snex 5415	. . . . . . 7 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
16	6	lmodplusg 17405	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
17	15, 16	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
18	17	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (+g‘𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
19	18	oveqd 7440	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20		df-ov 7426	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
21		opex 5450	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
22		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
23		fvsng 7185	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
24	21, 22, 23	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
25	20, 24	eqtrid 2813	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
26	19, 25	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
27	26	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼(+g‘𝑀)𝐼)) = (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼))
28	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝐼} ∈ V)
29	1, 28, 4	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
30	29, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠 ‘𝑀))
31	30	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠 ‘𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
32	31, 10, 11, 13, 13	ovmpod 7575	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼) = 𝐼)
33	32, 32	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g‘𝑀)𝐼))
34	33, 26	eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)) = 𝐼)
35	14, 27, 34	3eqtr4d 2811	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)(𝐼(+g‘𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)(+g‘𝑀)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑀)𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  Ringcrg 20346

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-plusg 17348  df-sca 17351  df-vsca 17352

This theorem is used by:  lmod1  49313