Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem2 45383
Description: Lemma 2 for lmod1 45387. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 6687 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 5298 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 474 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4 mpoexga 7801 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 16743 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
85, 7syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2744 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 773 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥 = 𝑟𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11 simp3 1139 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12 snidg 4550 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
13123ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
149, 10, 11, 13, 13ovmpod 7317 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
15 snex 5298 . . . . . . 7 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
166lmodplusg 16741 . . . . . . 7 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
1715, 16mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
1817eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (+g𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
1918oveqd 7187 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20 df-ov 7173 . . . . 5 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
21 opex 5322 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
22 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
23 fvsng 6952 . . . . . 6 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
2421, 22, 23sylancr 590 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
2520, 24syl5eq 2785 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
2619, 25eqtrd 2773 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = 𝐼)
2726oveq2d 7186 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼))
282a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝐼} ∈ V)
291, 28, 4sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
3029, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
3130eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3231, 10, 11, 13, 13ovmpod 7317 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
3332, 32oveq12d 7188 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g𝑀)𝐼))
3433, 26eqtrd 2773 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = 𝐼)
3514, 27, 343eqtr4d 2783 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  cun 3841  {csn 4516  {ctp 4520  cop 4522  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  ndxcnx 16583  Basecbs 16586  +gcplusg 16668  Scalarcsca 16671   ·𝑠 cvsca 16672  Ringcrg 19416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-plusg 16681  df-sca 16684  df-vsca 16685
This theorem is referenced by:  lmod1  45387
  Copyright terms: Public domain W3C validator