MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodsnf 14901
Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 14899 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsnf.1 𝑘𝐵
prodsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2913 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3698 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3691 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvprodi 14854 . . 3 𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3685 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 11233 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 1z 11609 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 f1osng 6318 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10 fzsn 12590 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
12 f1oeq2 6269 . . . . . . . 8 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
149, 13sylibr 224 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
158, 14mpan 670 . . . . 5 (𝑀𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
1615adantr 466 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17 velsn 4332 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18 csbeq1 3685 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 prodsnf.1 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 prodsnf.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3706 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 466 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2418, 23sylan9eqr 2827 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2517, 24sylan2b 581 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
26 simplr 752 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26eqeltrd 2850 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2811eleq2i 2842 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
29 velsn 4332 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
3028, 29bitri 264 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
31 fvsng 6591 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
328, 31mpan 670 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3332adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3433csbeq1d 3689 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
35 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 6591 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
378, 35, 36sylancr 575 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3823, 34, 373eqtr4rd 2816 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
39 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
40 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4140csbeq1d 3689 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
4239, 41eqeq12d 2786 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴))
4338, 42syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴))
4443imp 393 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
4530, 44sylan2b 581 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
465, 7, 16, 27, 45fprod 14878 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
474, 46syl5eq 2817 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
488, 37seq1i 13022 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4947, 48eqtrd 2805 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wnfc 2900  csb 3682  {csn 4316  cop 4322  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  1c1 10139   · cmul 10143  cn 11222  cz 11579  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cprod 14842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843
This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  14926
  Copyright terms: Public domain W3C validator