Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt20 39385
 Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt20.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt20.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt20.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt20.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt20.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt20.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt20.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt20.8 (𝜑𝑋 = 𝑀)
Assertion
Ref Expression
metakunt20 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt20
StepHypRef Expression
1 metakunt20.4 . . . . 5 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2802 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5033 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7142 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4452 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4450 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt20.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 = 𝑀)
11 iftrue 4431 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1410eqcomd 2804 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = 𝑋)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑀 = 𝑋)
1613, 15eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑋)
179, 16eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = 𝑋)
18 metakunt20.7 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
192, 17, 18, 18fvmptd 6752 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑋) = 𝑋)
2010fveq2d 6649 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀))
21 metakunt20.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
22 fvsng 6919 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀) = 𝑀)
2321, 21, 22syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀) = 𝑀)
2420, 23eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = 𝑀)
2524eqcomd 2804 . . 3 (𝜑𝑀 = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
2619, 10, 253eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
27 metakunt20.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
28 metakunt20.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
29 metakunt20.5 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
30 metakunt20.6 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
3121, 27, 28, 1, 29, 30metakunt19 39384 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3231simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3332simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3431simprd 499 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
3521nnzd 12076 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
36 fzsn 12946 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3837ineq2d 4139 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}))
3938eqcomd 2804 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)))
4027nncnd 11643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
4121nncnd 11643 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4240, 41pncan3d 10991 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + (𝑀𝐼)) = 𝑀)
4342oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (1..^𝑀))
44 fzoval 13036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (1..^𝑀) = (1...(𝑀 − 1)))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1..^𝑀) = (1...(𝑀 − 1)))
4643, 45eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (1...(𝑀 − 1)))
4746eqcomd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))))
48 nnuz 12271 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
4927, 48eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ‘1))
5027nnzd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
5150, 35jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
52 znn0sub 12019 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼𝑀 ↔ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑀 ↔ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0))
5428, 53mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℕ0)
55 fzoun 13071 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0) → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
5649, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
5747, 56eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
58 fzoval 13036 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℤ → (1..^𝐼) = (1...(𝐼 − 1)))
5950, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1..^𝐼) = (1...(𝐼 − 1)))
6042oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (𝐼..^𝑀))
61 fzoval 13036 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼..^𝑀) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6235, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼..^𝑀) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6360, 62eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6459, 63uneq12d 4091 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))) = ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6557, 64eqtrd 2833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6665ineq1d 4138 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)))
6766eqcomd 2804 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
6821nnred 11642 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6968ltm1d 11563 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
70 fzdisj 12931 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7267, 71eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7339, 72eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
74 elsng 4539 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → (𝑋 ∈ {𝑀} ↔ 𝑋 = 𝑀))
7518, 74syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑀} ↔ 𝑋 = 𝑀))
7610, 75mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ {𝑀})
7733, 34, 73, 76fvun2d 6732 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
7877eqcomd 2804 . 2 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
7926, 78eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3879   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  ifcif 4425  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10529   + caddc 10531   < clt 10666   ≤ cle 10667   − cmin 10861  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11887  ℤcz 11971  ℤ≥cuz 12233  ...cfz 12887  ..^cfzo 13030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-rp 12380  df-fz 12888  df-fzo 13031 This theorem is referenced by:  metakunt23  39388
 Copyright terms: Public domain W3C validator