Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt20 40642
Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt20.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt20.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt20.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt20.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt20.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt20.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt20.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt20.8 (𝜑𝑋 = 𝑀)
Assertion
Ref Expression
metakunt20 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt20
StepHypRef Expression
1 metakunt20.4 . . . . 5 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2737 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5109 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4515 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4513 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt20.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 = 𝑀)
11 iftrue 4493 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1410eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = 𝑋)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑀 = 𝑋)
1613, 15eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑋)
179, 16eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = 𝑋)
18 metakunt20.7 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
192, 17, 18, 18fvmptd 6956 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑋) = 𝑋)
2010fveq2d 6847 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀))
21 metakunt20.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
22 fvsng 7127 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀) = 𝑀)
2321, 21, 22syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀) = 𝑀)
2420, 23eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = 𝑀)
2524eqcomd 2739 . . 3 (𝜑𝑀 = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
2619, 10, 253eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
27 metakunt20.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
28 metakunt20.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
29 metakunt20.5 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
30 metakunt20.6 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
3121, 27, 28, 1, 29, 30metakunt19 40641 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3231simpld 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3332simp3d 1145 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3431simprd 497 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
3521nnzd 12531 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
36 fzsn 13489 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3837ineq2d 4173 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}))
3938eqcomd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)))
4027nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
4121nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4240, 41pncan3d 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + (𝑀𝐼)) = 𝑀)
4342oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (1..^𝑀))
44 fzoval 13579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (1..^𝑀) = (1...(𝑀 − 1)))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1..^𝑀) = (1...(𝑀 − 1)))
4643, 45eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (1...(𝑀 − 1)))
4746eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))))
48 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
4927, 48eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ‘1))
5027nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
5150, 35jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
52 znn0sub 12555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼𝑀 ↔ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑀 ↔ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0))
5428, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℕ0)
55 fzoun 13615 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0) → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
5649, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
5747, 56eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
58 fzoval 13579 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℤ → (1..^𝐼) = (1...(𝐼 − 1)))
5950, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1..^𝐼) = (1...(𝐼 − 1)))
6042oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (𝐼..^𝑀))
61 fzoval 13579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼..^𝑀) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6235, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼..^𝑀) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6360, 62eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6459, 63uneq12d 4125 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))) = ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6557, 64eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6665ineq1d 4172 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)))
6766eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
6821nnred 12173 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6968ltm1d 12092 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
70 fzdisj 13474 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7267, 71eqtrd 2773 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7339, 72eqtrd 2773 . . . 4 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
74 elsng 4601 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → (𝑋 ∈ {𝑀} ↔ 𝑋 = 𝑀))
7518, 74syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑀} ↔ 𝑋 = 𝑀))
7610, 75mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ {𝑀})
7733, 34, 73, 76fvun2d 6936 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
7877eqcomd 2739 . 2 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
7926, 78eqtrd 2773 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  cin 3910  c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  cop 4593   class class class wbr 5106  cmpt 5189   Fn wfn 6492  cfv 6497  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390  cn 12158  0cn0 12418  cz 12504  cuz 12768  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  metakunt23  40645
  Copyright terms: Public domain W3C validator