Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt20 41570
Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt20.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt20.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt20.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt20.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt20.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt20.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
metakunt20.7 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
metakunt20.8 (𝜑𝑋 = 𝑀)
Assertion
Ref Expression
metakunt20 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt20
StepHypRef Expression
1 metakunt20.4 . . . . 5 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))))))
3 eqeq1 2730 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑀𝑋 = 𝑀))
4 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝐼𝑋 < 𝐼))
5 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (𝑀𝐼)) = (𝑋 + (𝑀𝐼)))
6 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + (1 − 𝐼)) = (𝑋 + (1 − 𝐼)))
74, 5, 6ifbieq12d 4551 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼))) = if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼))))
83, 7ifbieq2d 4549 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
98adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))))
10 metakunt20.8 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 = 𝑀)
11 iftrue 4529 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑀 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑀)
1410eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = 𝑋)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → 𝑀 = 𝑋)
1613, 15eqtrd 2766 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑋 = 𝑀, 𝑀, if(𝑋 < 𝐼, (𝑋 + (𝑀𝐼)), (𝑋 + (1 − 𝐼)))) = 𝑋)
179, 16eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝑋) → if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))) = 𝑋)
18 metakunt20.7 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (1...𝑀))
192, 17, 18, 18fvmptd 6999 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑋) = 𝑋)
2010fveq2d 6889 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀))
21 metakunt20.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
22 fvsng 7174 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀) = 𝑀)
2321, 21, 22syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑀) = 𝑀)
2420, 23eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = 𝑀)
2524eqcomd 2732 . . 3 (𝜑𝑀 = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
2619, 10, 253eqtrd 2770 . 2 (𝜑 → (𝐵𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
27 metakunt20.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
28 metakunt20.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
29 metakunt20.5 . . . . . . 7 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
30 metakunt20.6 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
3121, 27, 28, 1, 29, 30metakunt19 41569 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
3231simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
3332simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
3431simprd 495 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
3521nnzd 12589 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
36 fzsn 13549 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
3837ineq2d 4207 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}))
3938eqcomd 2732 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)))
4027nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
4121nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4240, 41pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + (𝑀𝐼)) = 𝑀)
4342oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (1..^𝑀))
44 fzoval 13639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (1..^𝑀) = (1...(𝑀 − 1)))
4535, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1..^𝑀) = (1...(𝑀 − 1)))
4643, 45eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (1...(𝑀 − 1)))
4746eqcomd 2732 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))))
48 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
4927, 48eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ∈ (ℤ‘1))
5027nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
5150, 35jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
52 znn0sub 12613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐼𝑀 ↔ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼𝑀 ↔ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0))
5428, 53mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝐼) ∈ ℕ0)
55 fzoun 13675 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (ℤ‘1) ∧ (𝑀𝐼) ∈ ℕ0) → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
5649, 54, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
5747, 56eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))))
58 fzoval 13639 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℤ → (1..^𝐼) = (1...(𝐼 − 1)))
5950, 58syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1..^𝐼) = (1...(𝐼 − 1)))
6042oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (𝐼..^𝑀))
61 fzoval 13639 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐼..^𝑀) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6235, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼..^𝑀) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6360, 62eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼))) = (𝐼...(𝑀 − 1)))
6459, 63uneq12d 4159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1..^𝐼) ∪ (𝐼..^(𝐼 + (𝑀𝐼)))) = ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6557, 64eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1...(𝑀 − 1)) = ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
6665ineq1d 4206 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)))
6766eqcomd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)))
6821nnred 12231 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6968ltm1d 12150 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
70 fzdisj 13534 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) < 𝑀 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((1...(𝑀 − 1)) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7267, 71eqtrd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ (𝑀...𝑀)) = ∅)
7339, 72eqtrd 2766 . . . 4 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))) ∩ {𝑀}) = ∅)
74 elsng 4637 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝑀) → (𝑋 ∈ {𝑀} ↔ 𝑋 = 𝑀))
7518, 74syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑀} ↔ 𝑋 = 𝑀))
7610, 75mpbird 257 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ {𝑀})
7733, 34, 73, 76fvun2d 6979 . . 3 (𝜑 → (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋) = ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋))
7877eqcomd 2732 . 2 (𝜑 → ({⟨𝑀, 𝑀⟩}‘𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
7926, 78eqtrd 2766 1 (𝜑 → (𝐵𝑋) = (((𝐶𝐷) ∪ {⟨𝑀, 𝑀⟩})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3941  cin 3942  c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  cop 4629   class class class wbr 5141  cmpt 5224   Fn wfn 6532  cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  cn 12216  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634
This theorem is referenced by:  metakunt23  41573
  Copyright terms: Public domain W3C validator