MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnd1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnd1 18729
Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
mnd1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mnd1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnd1.m . . 3 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
21sgrp1 18682 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Smgrp)
3 df-ov 7417 . . . . 5 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
4 opex 5460 . . . . . 6 ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5 fvsng 7183 . . . . . 6 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
64, 5mpan 689 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
73, 6eqtrid 2780 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 β†’ 𝑦 = 𝐼)
108, 9eqeq12d 2744 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 β†’ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
11 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 β†’ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
1211, 9eqeq12d 2744 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 β†’ ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
1310, 12anbi12d 631 . . . . 5 (𝑦 = 𝐼 β†’ (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
1413ralsng 4673 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
157, 7, 14mpbir2and 712 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦))
16 oveq1 7421 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
1716eqeq1d 2730 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐼 β†’ ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦))
1817ovanraleqv 7438 . . . 4 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
1918rexsng 4674 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
2015, 19mpbird 257 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦))
21 snex 5427 . . . 4 {𝐼} ∈ V
221grpbase 17260 . . . 4 ({𝐼} ∈ V β†’ {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€)
24 snex 5427 . . . 4 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
251grpplusg 17262 . . . 4 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
2624, 25ax-mp 5 . . 3 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€)
2723, 26ismnddef 18689 . 2 (𝑀 ∈ Mnd ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦)))
282, 20, 27sylanbrc 582 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3470  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  ndxcnx 17155  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  Smgrpcsgrp 18671  Mndcmnd 18687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688
This theorem is referenced by:  grp1  18996  ring1  20239
  Copyright terms: Public domain W3C validator