Theorem mnd1 18741

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	sgrp1 18691	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)
3		df-ov 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5412	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7129	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8		oveq2 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → 𝑦 = 𝐼)
10	8, 9	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
11		oveq1 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
12	11, 9	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
13	10, 12	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
14	13	ralsng 4620	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
15	7, 7, 14	mpbir2and 714	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦))
16		oveq1 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
17	16	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦))
18	17	ovanraleqv 7385	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
19	18	rexsng 4621	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
20	15, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦))
21		snex 5377	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
22	1	grpbase 17246	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
24		snex 5377	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
25	1	grpplusg 17247	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
27	23, 26	ismnddef 18698	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦)))
28	2, 20, 27	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3430  {csn 4568  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ndxcnx 17157  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  Smgrpcsgrp 18680  Mndcmnd 18696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-struct 17111  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697

This theorem is referenced by:  grp1  19017  ring1  20285