Theorem mnd1 18653

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	sgrp1 18603	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)
3		df-ov 7352	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5407	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7116	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8		oveq2 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → 𝑦 = 𝐼)
10	8, 9	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
11		oveq1 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
12	11, 9	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
14	13	ralsng 4627	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
15	7, 7, 14	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦))
16		oveq1 7356	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
17	16	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦))
18	17	ovanraleqv 7373	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
19	18	rexsng 4628	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
20	15, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦))
21		snex 5375	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
22	1	grpbase 17193	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
24		snex 5375	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
25	1	grpplusg 17194	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
27	23, 26	ismnddef 18610	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦)))
28	2, 20, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436  {csn 4577  {cpr 4579  ⟨cop 4583  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ndxcnx 17104  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Smgrpcsgrp 18592  Mndcmnd 18608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609

This theorem is referenced by:  grp1  18926  ring1  20195