Theorem mnd1 18679

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	sgrp1 18629	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)
3		df-ov 7344	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5402	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7109	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → 𝑦 = 𝐼)
10	8, 9	eqeq12d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
11		oveq1 7348	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
12	11, 9	eqeq12d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
13	10, 12	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
14	13	ralsng 4626	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
15	7, 7, 14	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦))
16		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
17	16	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦))
18	17	ovanraleqv 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
19	18	rexsng 4627	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
20	15, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦))
21		snex 5372	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
22	1	grpbase 17185	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
23	21, 22	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
24		snex 5372	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
25	1	grpplusg 17186	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
26	24, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
27	23, 26	ismnddef 18636	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦)))
28	2, 20, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3434  {csn 4574  {cpr 4576  ⟨cop 4580  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ndxcnx 17096  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  Smgrpcsgrp 18618  Mndcmnd 18634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635

This theorem is referenced by:  grp1  18952  ring1  20221