Theorem sgrp1 17690

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ SGrp)

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	mgm1 17654	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)
3		df-ov 6927	. . . . . 6 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5166	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 6715	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 680	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	syl5eq 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8	7	oveq1d 6939	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9	7	oveq2d 6940	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10	8, 9	eqtr4d 2817	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
11		oveq1 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
12	11	oveq1d 6939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
13		oveq1 6931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
14	12, 13	eqeq12d 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
15	14	2ralbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
16	15	ralsng 4444	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
17		oveq2 6932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
18	17	oveq1d 6939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
19		oveq1 6931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
20	19	oveq2d 6940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2793	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
22	21	ralbidv 3168	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
23	22	ralsng 4444	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
24		oveq2 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
25		oveq2 6932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
26	25	oveq2d 6940	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
27	24, 26	eqeq12d 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
28	27	ralsng 4444	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
29	16, 23, 28	3bitrd 297	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
30	10, 29	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
31		snex 5142	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
32	1	grpbase 16394	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
34		snex 5142	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
35	1	grpplusg 16395	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
37	33, 36	issgrp 17682	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ SGrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
38	2, 30, 37	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ SGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398  {csn 4398  {cpr 4400  ⟨cop 4404  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ndxcnx 16263  Basecbs 16266  +_gcplusg 16349  Mgmcmgm 17637  SGrpcsgrp 17680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mgm 17639  df-sgrp 17681

This theorem is referenced by:  mnd1  17728