Theorem sgrp1 18767

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	mgm1 18696	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)
3		df-ov 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5484	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7214	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8	7	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9	7	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10	8, 9	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
11		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
12	11	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
13		oveq1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
14	12, 13	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
15	14	2ralbidv 3227	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
16	15	ralsng 4697	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
17		oveq2 7456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
18	17	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
19		oveq1 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
20	19	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2756	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
22	21	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
23	22	ralsng 4697	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
24		oveq2 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
25		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
26	25	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
27	24, 26	eqeq12d 2756	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
28	27	ralsng 4697	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
29	16, 23, 28	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
30	10, 29	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
31		snex 5451	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
32	1	grpbase 17345	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
34		snex 5451	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
35	1	grpplusg 17347	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
37	33, 36	issgrp 18758	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Smgrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
38	2, 30, 37	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Mgmcmgm 18676  Smgrpcsgrp 18756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mgm 18678  df-sgrp 18757

This theorem is referenced by:  mnd1  18814