Theorem sgrp1 17913

Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sgrp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
sgrp1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)

Proof of Theorem sgrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sgrp1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	mgm1 17871	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mgm)
3		df-ov 7162	. . . . . 6 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5359	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 6945	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	syl5eq 2871	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8	7	oveq1d 7174	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
9	7	oveq2d 7175	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10	8, 9	eqtr4d 2862	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
11		oveq1 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
12	11	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
13		oveq1 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
14	12, 13	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
15	14	2ralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
16	15	ralsng 4616	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
17		oveq2 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
18	17	oveq1d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
19		oveq1 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))
20	19	oveq2d 7175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
21	18, 20	eqeq12d 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
22	21	ralbidv 3200	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
23	22	ralsng 4616	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
24		oveq2 7167	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
25		oveq2 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
26	25	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼)))
27	24, 26	eqeq12d 2840	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
28	27	ralsng 4616	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
29	16, 23, 28	3bitrd 307	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))))
30	10, 29	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧)))
31		snex 5335	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
32	1	grpbase 16613	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
34		snex 5335	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
35	1	grpplusg 16614	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
36	34, 35	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
37	33, 36	issgrp 17905	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Smgrp ↔ (𝑀 ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼}∀𝑧 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦){⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧) = (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑧))))
38	2, 30, 37	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  Vcvv 3497  {csn 4570  {cpr 4572  ⟨cop 4576  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ndxcnx 16483  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568  Mgmcmgm 17853  Smgrpcsgrp 17903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-plusg 16581  df-mgm 17855  df-sgrp 17904

This theorem is referenced by:  mnd1  17955