Theorem 1hevtxdg0 29599

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg0.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
1hevtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)
2		df-nel 3040	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∉ 𝐸 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
3	1, 2	sylib 219	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
5	4	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		fvsng 7131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
10	5, 9	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
11	3, 10	neleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
13	12	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
14	13	notbid 319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
15	14	ralsng 4614	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
17	11, 16	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	4	dmeqd 5854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 6171	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	raleqtrrdv 3302	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
23		ralnex 3066	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24	22, 23	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26		1hevtxdg0.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
27	26	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷 ∈ 𝑉))
28	25, 27	mpbird 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
29		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
30		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
32	29, 30, 31	vtxd0nedgb 29582	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
33	28, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
34	24, 33	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3039  ∀wral 3054  ∃wrex 3064  {csn 4562  ⟨cop 4568  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  0cc0 11036  Vtxcvtx 29090  iEdgciedg 29091  VtxDegcvtxdg 29559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-xadd 13062  df-fz 13460  df-hash 14291  df-vtxdg 29560

This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29607  eupth2lem3lem6  30328