MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg0 27286
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg0.e (𝜑𝐸𝑌)
1hevtxdg0.n (𝜑𝐷𝐸)
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.n . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐸)
2 df-nel 3118 . . . . . . 7 (𝐷𝐸 ↔ ¬ 𝐷𝐸)
31, 2sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐸)
4 1hevtxdg0.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
54fveq1d 6655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6 1hevtxdg0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
7 1hevtxdg0.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑌)
8 fvsng 6925 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐸𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
96, 7, 8syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
105, 9eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
113, 10neleqtrrd 2938 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12 fveq2 6653 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
1312eleq2d 2901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1413notbid 321 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1514ralsng 4596 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
166, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1711, 16mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
184dmeqd 5757 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19 dmsnopg 6053 . . . . . . 7 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
207, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
2118, 20eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
2221raleqdv 3402 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
2317, 22mpbird 260 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24 ralnex 3230 . . 3 (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
2523, 24sylib 221 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26 1hevtxdg0.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
27 1hevtxdg0.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2827eleq2d 2901 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷𝑉))
2926, 28mpbird 260 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
30 eqid 2824 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31 eqid 2824 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32 eqid 2824 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3330, 31, 32vtxd0nedgb 27269 . . 3 (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3429, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3525, 34mpbird 260 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  wnel 3117  wral 3132  wrex 3133  {csn 4548  cop 4554  dom cdm 5538  cfv 6338  0cc0 10524  Vtxcvtx 26780  iEdgciedg 26781  VtxDegcvtxdg 27246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-hash 13687  df-vtxdg 27247
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  27294  eupth2lem3lem6  28009
  Copyright terms: Public domain W3C validator