Theorem 1hevtxdg0 29523

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg0.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
1hevtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)
2		df-nel 3047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∉ 𝐸 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
3	1, 2	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
5	4	fveq1d 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		fvsng 7200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
10	5, 9	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
11	3, 10	neleqtrrd 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
13	12	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
14	13	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
15	14	ralsng 4675	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
17	11, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	4	dmeqd 5916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 6233	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	17, 21	raleqtrrdv 3330	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
23		ralnex 3072	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24	22, 23	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
26		1hevtxdg0.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
27	26	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷 ∈ 𝑉))
28	25, 27	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
30		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
32	29, 30, 31	vtxd0nedgb 29506	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
33	28, 32	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
34	24, 33	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {csn 4626  ⟨cop 4632  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  0cc0 11155  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  VtxDegcvtxdg 29483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtxdg 29484

This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29531  eupth2lem3lem6  30252