MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1hevtxdg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1hevtxdg0 29538
Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1hevtxdg0.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a (𝜑𝐴𝑋)
1hevtxdg0.d (𝜑𝐷𝑉)
1hevtxdg0.e (𝜑𝐸𝑌)
1hevtxdg0.n (𝜑𝐷𝐸)
Assertion
Ref Expression
1hevtxdg0 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1hevtxdg0.n . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐸)
2 df-nel 3045 . . . . . . 7 (𝐷𝐸 ↔ ¬ 𝐷𝐸)
31, 2sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐷𝐸)
4 1hevtxdg0.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
54fveq1d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6 1hevtxdg0.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
7 1hevtxdg0.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸𝑌)
8 fvsng 7200 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋𝐸𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
105, 9eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
113, 10neleqtrrd 2862 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
1312eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1413notbid 318 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1514ralsng 4680 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
166, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
1711, 16mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
184dmeqd 5919 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19 dmsnopg 6235 . . . . . 6 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
207, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
2118, 20eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
2217, 21raleqtrrdv 3328 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
23 ralnex 3070 . . 3 (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
2422, 23sylib 218 . 2 (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25 1hevtxdg0.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
26 1hevtxdg0.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
2726eleq2d 2825 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷𝑉))
2825, 27mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
29 eqid 2735 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
30 eqid 2735 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
31 eqid 2735 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3229, 30, 31vtxd0nedgb 29521 . . 3 (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3328, 32syl 17 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
3424, 33mpbird 257 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044  wral 3059  wrex 3068  {csn 4631  cop 4637  dom cdm 5689  cfv 6563  0cc0 11153  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29546  eupth2lem3lem6  30262
  Copyright terms: Public domain W3C validator