Theorem 1hevtxdg0 29030

Description: The vertex degree of vertex 𝐷 in a graph 𝐺 with only one hyperedge 𝐸 is 0 if 𝐷 is not incident with the edge 𝐸. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
1hevtxdg0.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1hevtxdg0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1hevtxdg0.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
1hevtxdg0.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
1hevtxdg0.n	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Proof of Theorem 1hevtxdg0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∉ 𝐸)
2		df-nel 3046	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∉ 𝐸 ↔ ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
3	1, 2	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ 𝐸)
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, 𝐸⟩})
5	4	fveq1d 6893	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴))
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		fvsng 7180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, 𝐸⟩}‘𝐴) = 𝐸)
10	5, 9	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝐴) = 𝐸)
11	3, 10	neleqtrrd 2855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
12		fveq2 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ((iEdg‘𝐺)‘𝐴))
13	12	eleq2d 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
14	13	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
15	14	ralsng 4677	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝐴)))
17	11, 16	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
18	4	dmeqd 5905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, 𝐸⟩})
19		dmsnopg 6212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
20	7, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, 𝐸⟩} = {𝐴})
21	18, 20	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22	21	raleqdv 3324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
23	17, 22	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
24		ralnex 3071	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ¬ 𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
25	23, 24	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥))
26		1hevtxdg0.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
27		1hevtxdg0.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
28	27	eleq2d 2818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐷 ∈ 𝑉))
29	26, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺))
30		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
32		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
33	30, 31, 32	vtxd0nedgb 29013	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
34	29, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐷 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)))
35	25, 34	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐷) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∉ wnel 3045  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {csn 4628  ⟨cop 4634  dom cdm 5676  ‘cfv 6543  0cc0 11114  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  VtxDegcvtxdg 28990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vtxdg 28991

This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29038  eupth2lem3lem6  29754