Theorem 1egrvtxdg1 29802

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		1egrvtxdg1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1egrvtxdg1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		1egrvtxdg1.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
5	3, 4	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		1egrvtxdg1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	6, 4	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
8		1egrvtxdg1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
9		1egrvtxdg1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
10	1, 2, 5, 7, 8, 9	usgr1e 29538	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
12		eqid 2769	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
13		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
14	1, 11, 12, 13	vtxdusgrval 29780	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
15	10, 5, 14	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
16		dmeq 5896	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
17	16	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18		prex 5412	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
19		dmsnopg 6217	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
20	18, 19	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
21	17, 20	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22		fveq1 6883	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
23	22	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
24	23	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
25	21, 24	rabeqbidv 3441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)})
26	25	fveq2d 6888	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}))
27		fveq2 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
28	27	eleq2d 2855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴)))
29	28	rabsnif 4694	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅)
30		prid1g 4731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
31	3, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
32		fvsng 7181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
33	2, 18, 32	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
34	31, 33	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
35	34	iftrued 4500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
36	29, 35	eqtrid 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = {𝐴})
37	36	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
38		hashsng 14407	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
39	2, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
40	37, 39	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
41	40	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
42	26, 41	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
43	8, 42	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
44	15, 43	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ifcif 4492  {csn 4594  {cpr 4596  ⟨cop 4600  dom cdm 5664  ‘cfv 6539  1c1 11103  ♯chash 14368  Vtxcvtx 29289  iEdgciedg 29290  USGraphcusgr 29442  VtxDegcvtxdg 29758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9889  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12865  df-xadd 13140  df-fz 13538  df-hash 14369  df-edg 29341  df-upgr 29375  df-umgr 29376  df-uspgr 29443  df-usgr 29444  df-vtxdg 29759

This theorem is referenced by:  1egrvtxdg1r  29803