MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg1 28499
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
1egrvtxdg1.i (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΅) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
2 1egrvtxdg1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
3 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΊ) = 𝑉)
53, 4eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
6 1egrvtxdg1.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
76, 4eleqtrrd 2837 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
8 1egrvtxdg1.i . . . 4 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩})
9 1egrvtxdg1.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  𝐢)
101, 2, 5, 7, 8, 9usgr1e 28235 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
11 eqid 2733 . . . 4 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
12 eqid 2733 . . . 4 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
13 eqid 2733 . . . 4 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
141, 11, 12, 13vtxdusgrval 28477 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐡 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΅) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
1510, 5, 14syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΅) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
16 dmeq 5860 . . . . . . . 8 ((iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩} β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩})
1716adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩})
18 prex 5390 . . . . . . . 8 {𝐡, 𝐢} ∈ V
19 dmsnopg 6166 . . . . . . . 8 ({𝐡, 𝐢} ∈ V β†’ dom {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩} = {𝐴})
2018, 19mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ dom {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩} = {𝐴})
2117, 20eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) = {𝐴})
22 fveq1 6842 . . . . . . . 8 ((iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩} β†’ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯))
2322eleq2d 2820 . . . . . . 7 ((iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩} β†’ (𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)))
2423adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ (𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)))
2521, 24rabeqbidv 3423 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)})
2625fveq2d 6847 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)}))
27 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯) = ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄))
2827eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯) ↔ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄)))
2928rabsnif 4685 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)} = if(𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄), {𝐴}, βˆ…)
30 prid1g 4722 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 ∈ {𝐡, 𝐢})
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ {𝐡, 𝐢})
32 fvsng 7127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ V) β†’ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄) = {𝐡, 𝐢})
332, 18, 32sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄) = {𝐡, 𝐢})
3431, 33eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄))
3534iftrued 4495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ if(𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π΄), {𝐴}, βˆ…) = {𝐴})
3629, 35eqtrid 2785 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)} = {𝐴})
3736fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)}) = (β™―β€˜{𝐴}))
38 hashsng 14275 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
392, 38syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{𝐴}) = 1)
4037, 39eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)}) = 1)
4140adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ {𝐴} ∣ 𝐡 ∈ ({⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}β€˜π‘₯)}) = 1)
4226, 41eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (iEdgβ€˜πΊ) = {⟨𝐴, {𝐡, 𝐢}⟩}) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1)
438, 42mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝐡 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1)
4415, 43eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π΅) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  1c1 11057  β™―chash 14236  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  USGraphcusgr 28142  VtxDegcvtxdg 28455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-xadd 13039  df-fz 13431  df-hash 14237  df-edg 28041  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-vtxdg 28456
This theorem is referenced by:  1egrvtxdg1r  28500
  Copyright terms: Public domain W3C validator