MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1egrvtxdg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1egrvtxdg1 29542
Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1egrvtxdg1.v (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a (𝜑𝐴𝑋)
1egrvtxdg1.b (𝜑𝐵𝑉)
1egrvtxdg1.c (𝜑𝐶𝑉)
1egrvtxdg1.n (𝜑𝐵𝐶)
1egrvtxdg1.i (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
Assertion
Ref Expression
1egrvtxdg1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 1egrvtxdg1.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
3 1egrvtxdg1.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
4 1egrvtxdg1.v . . . . 5 (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
53, 4eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
6 1egrvtxdg1.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
76, 4eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
8 1egrvtxdg1.i . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
9 1egrvtxdg1.n . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
101, 2, 5, 7, 8, 9usgr1e 29277 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
11 eqid 2735 . . . 4 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
12 eqid 2735 . . . 4 dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
13 eqid 2735 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
141, 11, 12, 13vtxdusgrval 29520 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
1510, 5, 14syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
16 dmeq 5917 . . . . . . . 8 ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 prex 5443 . . . . . . . 8 {𝐵, 𝐶} ∈ V
19 dmsnopg 6235 . . . . . . . 8 ({𝐵, 𝐶} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2018, 19mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
2117, 20eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22 fveq1 6906 . . . . . . . 8 ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
2322eleq2d 2825 . . . . . . 7 ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
2521, 24rabeqbidv 3452 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)})
2625fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}))
27 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
2827eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴)))
2928rabsnif 4728 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅)
30 prid1g 4765 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑉𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
313, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
32 fvsng 7200 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
332, 18, 32sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
3431, 33eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
3534iftrued 4539 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
3629, 35eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = {𝐴})
3736fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
38 hashsng 14405 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
392, 38syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
4037, 39eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
4140adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
4226, 41eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
438, 42mpdan 687 . 2 (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
4415, 43eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637  dom cdm 5689  cfv 6563  1c1 11154  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  USGraphcusgr 29181  VtxDegcvtxdg 29498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-vtxdg 29499
This theorem is referenced by:  1egrvtxdg1r  29543
  Copyright terms: Public domain W3C validator