Theorem 1egrvtxdg1 29532

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1egrvtxdg1.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1egrvtxdg1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1egrvtxdg1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1egrvtxdg1.n	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
1egrvtxdg1.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1egrvtxdg1	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Proof of Theorem 1egrvtxdg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		1egrvtxdg1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1egrvtxdg1.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		1egrvtxdg1.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
5	3, 4	eleqtrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		1egrvtxdg1.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7	6, 4	eleqtrrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
8		1egrvtxdg1.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
9		1egrvtxdg1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
10	1, 2, 5, 7, 8, 9	usgr1e 29267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)
11		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
12		eqid 2734	. . . 4 ⊢ dom (iEdg‘𝐺) = dom (iEdg‘𝐺)
13		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
14	1, 11, 12, 13	vtxdusgrval 29510	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
15	10, 5, 14	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}))
16		dmeq 5850	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18		prex 5380	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
19		dmsnopg 6169	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐵, 𝐶} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
20	18, 19	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {𝐴})
21	17, 20	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
22		fveq1 6831	. . . . . . . 8 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥))
23	22	eleq2d 2820	. . . . . . 7 ⊢ ((iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)))
25	21, 24	rabeqbidv 3415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → {𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)})
26	25	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}))
27		fveq2 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
28	27	eleq2d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥) ↔ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴)))
29	28	rabsnif 4678	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅)
30		prid1g 4715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
31	3, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ {𝐵, 𝐶})
32		fvsng 7124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
33	2, 18, 32	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴) = {𝐵, 𝐶})
34	31, 33	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴))
35	34	iftrued 4485	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → if(𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝐴), {𝐴}, ∅) = {𝐴})
36	29, 35	eqtrid 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)} = {𝐴})
37	36	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = (♯‘{𝐴}))
38		hashsng 14290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (♯‘{𝐴}) = 1)
39	2, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐴}) = 1)
40	37, 39	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
41	40	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}‘𝑥)}) = 1)
42	26, 41	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩}) → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
43	8, 42	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom (iEdg‘𝐺) ∣ 𝐵 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑥)}) = 1)
44	15, 43	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐵) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397  Vcvv 3438  ∅c0 4283  ifcif 4477  {csn 4578  {cpr 4580  ⟨cop 4584  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  1c1 11025  ♯chash 14251  Vtxcvtx 29018  iEdgciedg 29019  USGraphcusgr 29171  VtxDegcvtxdg 29488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-xadd 13025  df-fz 13422  df-hash 14252  df-edg 29070  df-upgr 29104  df-umgr 29105  df-uspgr 29172  df-usgr 29173  df-vtxdg 29489

This theorem is referenced by:  1egrvtxdg1r  29533