ring1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ring1 19348

Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
ring1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(._r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
ring1	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1 Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2	1	grp1 18198	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Grp)
3		snex 5297	. . . . . 6 ⊢ {𝑍} ∈ V
4		ring1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(._r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
5	4	rngbase 16612	. . . . . 6 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑀))
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑍} = (Base‘𝑀)
7	6	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = {𝑍}
8		snex 5297	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V
9	4	rngplusg 16613	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+_g‘𝑀))
10	9	eqcomd 2804	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → (+_g‘𝑀) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+_g‘𝑀) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}
12	7, 11, 1	grppropstr 18112	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Grp)
13	2, 12	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
14	1	mnd1 17944	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Mnd)
15		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
16	15, 6	mgpbas 19238	. . . . 5 ⊢ {𝑍} = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
17	1	grpbase 16602	. . . . . 6 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}))
18	3, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑍} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
19	16, 18	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑀)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
20	4	rngmulr 16614	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (._r‘𝑀))
21	8, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (._r‘𝑀)
22	1	grpplusg 16603	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+_g‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}))
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+_g‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
24		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (._r‘𝑀) = (._r‘𝑀)
25	15, 24	mgpplusg 19236	. . . . 5 ⊢ (._r‘𝑀) = (+_g‘(mulGrp‘𝑀))
26	21, 23, 25	3eqtr3ri 2830	. . . 4 ⊢ (+_g‘(mulGrp‘𝑀)) = (+_g‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
27	19, 26	mndprop 17929	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝑀) ∈ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+_g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Mnd)
28	14, 27	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (mulGrp‘𝑀) ∈ Mnd)
29		df-ov 7138	. . . . . 6 ⊢ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}‘⟨𝑍, 𝑍⟩)
30		opex 5321	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝑍, 𝑍⟩ ∈ V
31		fvsng 6919	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝑍, 𝑍⟩ ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}‘⟨𝑍, 𝑍⟩) = 𝑍)
32	30, 31	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}‘⟨𝑍, 𝑍⟩) = 𝑍)
33	29, 32	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = 𝑍)
34	33	oveq2d 7151	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
35	33, 33	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
36	34, 35	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
37	33	oveq1d 7150	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
38	37, 35	eqtr4d 2836	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
39		oveq1 7142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
40		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏))
41		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
42	40, 41	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
43	39, 42	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
44	40	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
45	41	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
46	44, 45	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → (((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
47	43, 46	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → (((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
48	47	2ralbidv 3164	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
49	48	ralsng 4573	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
50		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
51	50	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
52		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
53	52	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
54	51, 53	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
55	52	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
56	50	oveq2d 7151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
57	55, 56	eqeq12d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
58	54, 57	anbi12d 633	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
59	58	ralbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
60	59	ralsng 4573	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
61		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
62	61	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
63	61	oveq2d 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
64	62, 63	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))))
65		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
66	61, 61	oveq12d 7153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
67	65, 66	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))))
68	64, 67	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))))
69	68	ralsng 4573	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))))
70	49, 60, 69	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))))
71	36, 38, 70	mpbir2and 712	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
72	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+_g‘𝑀)
73	6, 15, 72, 21	isring 19294	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑀) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
74	13, 28, 71, 73	syl3anbrc 1340	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Ring)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 399 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ∀wral 3106 Vcvv 3441 {csn 4525 {cpr 4527 {ctp 4529 ⟨cop 4531 ‘cfv 6324 (class class class)co 7135 ndxcnx 16472 Basecbs 16475 +_gcplusg 16557 ._rcmulr 16558 Mndcmnd 17903 Grpcgrp 18095 mulGrpcmgp 19232 Ringcrg 19290

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-pss 3900 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-tp 4530 df-op 4532 df-uni 4801 df-int 4839 df-iun 4883 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-tr 5137 df-id 5425 df-eprel 5430 df-po 5438 df-so 5439 df-fr 5478 df-we 5480 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-pred 6116 df-ord 6162 df-on 6163 df-lim 6164 df-suc 6165 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-om 7561 df-1st 7671 df-2nd 7672 df-wrecs 7930 df-recs 7991 df-rdg 8029 df-1o 8085 df-oadd 8089 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-fin 8496 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-nn 11626 df-2 11688 df-3 11689 df-n0 11886 df-z 11970 df-uz 12232 df-fz 12886 df-struct 16477 df-ndx 16478 df-slot 16479 df-base 16481 df-sets 16482 df-plusg 16570 df-mulr 16571 df-0g 16707 df-mgm 17844 df-sgrp 17893 df-mnd 17904 df-grp 18098 df-mgp 19233 df-ring 19292

This theorem is referenced by: ringn0 19349 rng1nnzr 20040 lmod1zr 44902

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