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Theorem ring1 20324
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ring1.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
ring1 (𝑍𝑉𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
21grp1 19078 . . 3 (𝑍𝑉 → {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Grp)
3 snex 5442 . . . . . 6 {𝑍} ∈ V
4 ring1.m . . . . . . 7 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
54rngbase 17345 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑀))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Base‘𝑀)
76eqcomi 2744 . . . 4 (Base‘𝑀) = {𝑍}
8 snex 5442 . . . . 5 {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V
94rngplusg 17346 . . . . . 6 ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+g𝑀))
109eqcomd 2741 . . . . 5 ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → (+g𝑀) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (+g𝑀) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}
127, 11, 1grppropstr 18984 . . 3 (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Grp)
132, 12sylibr 234 . 2 (𝑍𝑉𝑀 ∈ Grp)
141mnd1 18805 . . 3 (𝑍𝑉 → {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Mnd)
15 eqid 2735 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
1615, 6mgpbas 20158 . . . . 5 {𝑍} = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
171grpbase 17332 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}))
183, 17ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
1916, 18eqtr3i 2765 . . . 4 (Base‘(mulGrp‘𝑀)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
204rngmulr 17347 . . . . . 6 ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (.r𝑀))
218, 20ax-mp 5 . . . . 5 {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (.r𝑀)
221grpplusg 17334 . . . . . 6 ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∈ V → {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}))
238, 22ax-mp 5 . . . . 5 {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
24 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑀) = (.r𝑀)
2515, 24mgpplusg 20156 . . . . 5 (.r𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
2621, 23, 253eqtr3ri 2772 . . . 4 (+g‘(mulGrp‘𝑀)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩})
2719, 26mndprop 18786 . . 3 ((mulGrp‘𝑀) ∈ Mnd ↔ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ Mnd)
2814, 27sylibr 234 . 2 (𝑍𝑉 → (mulGrp‘𝑀) ∈ Mnd)
29 df-ov 7434 . . . . . 6 (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}‘⟨𝑍, 𝑍⟩)
30 opex 5475 . . . . . . 7 𝑍, 𝑍⟩ ∈ V
31 fvsng 7200 . . . . . . 7 ((⟨𝑍, 𝑍⟩ ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}‘⟨𝑍, 𝑍⟩) = 𝑍)
3230, 31mpan 690 . . . . . 6 (𝑍𝑉 → ({⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}‘⟨𝑍, 𝑍⟩) = 𝑍)
3329, 32eqtrid 2787 . . . . 5 (𝑍𝑉 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = 𝑍)
3433oveq2d 7447 . . . 4 (𝑍𝑉 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
3533, 33oveq12d 7449 . . . 4 (𝑍𝑉 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
3634, 35eqtr4d 2778 . . 3 (𝑍𝑉 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
3733oveq1d 7446 . . . 4 (𝑍𝑉 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
3837, 35eqtr4d 2778 . . 3 (𝑍𝑉 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
39 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑍 → (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
40 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑍 → (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏))
41 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑍 → (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
4240, 41oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
4339, 42eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
4440oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
4541oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑍 → ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
4644, 45eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑍 → (((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
4743, 46anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑍 → (((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
48472ralbidv 3219 . . . . 5 (𝑎 = 𝑍 → (∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
4948ralsng 4680 . . . 4 (𝑍𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
50 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 → (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
5150oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
52 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
5352oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
5451, 53eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
5552oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))
5650oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))
5755, 56eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
5854, 57anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
5958ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑏 = 𝑍 → (∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
6059ralsng 4680 . . . 4 (𝑍𝑉 → (∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
61 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
6261oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
6361oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
6462, 63eqeq12d 2751 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))))
65 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))
6661, 61oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 → ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))
6765, 66eqeq12d 2751 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍))))
6864, 67anbi12d 632 . . . . 5 (𝑐 = 𝑍 → (((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))))
6968ralsng 4680 . . . 4 (𝑍𝑉 → (∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))))
7049, 60, 693bitrd 305 . . 3 (𝑍𝑉 → (∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))) ↔ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)) ∧ ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍) = ((𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑍{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑍)))))
7136, 38, 70mpbir2and 713 . 2 (𝑍𝑉 → ∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐))))
728, 9ax-mp 5 . . 3 {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} = (+g𝑀)
736, 15, 72, 21isring 20255 . 2 (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrp‘𝑀) ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ {𝑍}∀𝑏 ∈ {𝑍}∀𝑐 ∈ {𝑍} ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)) ∧ ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑏){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐) = ((𝑎{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐){⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} (𝑏{⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}𝑐)))))
7413, 28, 71, 73syl3anbrc 1342 1 (𝑍𝑉𝑀 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-mgp 20153  df-ring 20253
This theorem is referenced by:  ringn0  20325  rng1nnzr  20793  lmod1zr  48339
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