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Theorem ring1 20235
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ring1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
ring1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
21grp1 18994 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
3 snex 5427 . . . . . 6 {𝑍} ∈ V
4 ring1.m . . . . . . 7 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
54rngbase 17271 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€)
76eqcomi 2736 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = {𝑍}
8 snex 5427 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V
94rngplusg 17272 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€))
109eqcomd 2733 . . . . 5 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©})
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}
127, 11, 1grppropstr 18901 . . 3 (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
132, 12sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Grp)
141mnd1 18727 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘€) = (mulGrpβ€˜π‘€)
1615, 6mgpbas 20071 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
171grpbase 17258 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
183, 17ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
1916, 18eqtr3i 2757 . . . 4 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
204rngmulr 17273 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€))
218, 20ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€)
221grpplusg 17260 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
238, 22ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
24 eqid 2727 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘€)
2515, 24mgpplusg 20069 . . . . 5 (.rβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
2621, 23, 253eqtr3ri 2764 . . . 4 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
2719, 26mndprop 18711 . . 3 ((mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
2814, 27sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd)
29 df-ov 7417 . . . . . 6 (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
30 opex 5460 . . . . . . 7 βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V
31 fvsng 7183 . . . . . . 7 ((βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3230, 31mpan 689 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3329, 32eqtrid 2779 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = 𝑍)
3433oveq2d 7430 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3533, 33oveq12d 7432 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3634, 35eqtr4d 2770 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
3733oveq1d 7429 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3837, 35eqtr4d 2770 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
39 oveq1 7421 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
40 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏))
41 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4240, 41oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4339, 42eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4440oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4541oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4644, 45eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4743, 46anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
48472ralbidv 3213 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
4948ralsng 4673 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
50 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5150oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
52 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
5352oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5451, 53eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5552oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5650oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5755, 56eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5854, 57anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
5958ralbidv 3172 . . . . 5 (𝑏 = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
6059ralsng 4673 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
61 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6261oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6361oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6462, 63eqeq12d 2743 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
65 oveq2 7422 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6661, 61oveq12d 7432 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6765, 66eqeq12d 2743 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
6864, 67anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
6968ralsng 4673 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7049, 60, 693bitrd 305 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7136, 38, 70mpbir2and 712 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
728, 9ax-mp 5 . . 3 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€)
736, 15, 72, 21isring 20168 . 2 (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
7413, 28, 71, 73syl3anbrc 1341 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  {csn 4624  {cpr 4626  {ctp 4628  βŸ¨cop 4630  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  ndxcnx 17153  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Mndcmnd 18685  Grpcgrp 18881  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-mgp 20066  df-ring 20166
This theorem is referenced by:  ringn0  20236  rng1nnzr  20652  lmod1zr  47484
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