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Theorem ring1 20034
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ring1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
ring1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
21grp1 18862 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
3 snex 5392 . . . . . 6 {𝑍} ∈ V
4 ring1.m . . . . . . 7 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
54rngbase 17188 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€)
76eqcomi 2742 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = {𝑍}
8 snex 5392 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V
94rngplusg 17189 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€))
109eqcomd 2739 . . . . 5 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©})
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}
127, 11, 1grppropstr 18775 . . 3 (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
132, 12sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Grp)
141mnd1 18605 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
15 eqid 2733 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘€) = (mulGrpβ€˜π‘€)
1615, 6mgpbas 19910 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
171grpbase 17175 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
183, 17ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
1916, 18eqtr3i 2763 . . . 4 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
204rngmulr 17190 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€))
218, 20ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€)
221grpplusg 17177 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
238, 22ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
24 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘€)
2515, 24mgpplusg 19908 . . . . 5 (.rβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
2621, 23, 253eqtr3ri 2770 . . . 4 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
2719, 26mndprop 18590 . . 3 ((mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
2814, 27sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd)
29 df-ov 7364 . . . . . 6 (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
30 opex 5425 . . . . . . 7 βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V
31 fvsng 7130 . . . . . . 7 ((βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3230, 31mpan 689 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3329, 32eqtrid 2785 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = 𝑍)
3433oveq2d 7377 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3533, 33oveq12d 7379 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3634, 35eqtr4d 2776 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
3733oveq1d 7376 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3837, 35eqtr4d 2776 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
39 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
40 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏))
41 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4240, 41oveq12d 7379 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4339, 42eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4440oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4541oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4644, 45eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4743, 46anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
48472ralbidv 3209 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
4948ralsng 4638 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
50 oveq1 7368 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5150oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
52 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
5352oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5451, 53eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5552oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5650oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5755, 56eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5854, 57anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
5958ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑏 = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
6059ralsng 4638 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
61 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6261oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6361oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6462, 63eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
65 oveq2 7369 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6661, 61oveq12d 7379 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6765, 66eqeq12d 2749 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
6864, 67anbi12d 632 . . . . 5 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
6968ralsng 4638 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7049, 60, 693bitrd 305 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7136, 38, 70mpbir2and 712 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
728, 9ax-mp 5 . . 3 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€)
736, 15, 72, 21isring 19976 . 2 (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
7413, 28, 71, 73syl3anbrc 1344 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  {csn 4590  {cpr 4592  {ctp 4594  βŸ¨cop 4596  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  ndxcnx 17073  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Mndcmnd 18564  Grpcgrp 18756  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  ringn0  20035  rng1nnzr  20255  lmod1zr  46664
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