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Theorem ring1 20199
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ring1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
ring1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
21grp1 18965 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
3 snex 5421 . . . . . 6 {𝑍} ∈ V
4 ring1.m . . . . . . 7 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
54rngbase 17243 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€)
76eqcomi 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = {𝑍}
8 snex 5421 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V
94rngplusg 17244 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€))
109eqcomd 2730 . . . . 5 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©})
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}
127, 11, 1grppropstr 18873 . . 3 (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
132, 12sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Grp)
141mnd1 18699 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
15 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘€) = (mulGrpβ€˜π‘€)
1615, 6mgpbas 20035 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
171grpbase 17230 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
183, 17ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
1916, 18eqtr3i 2754 . . . 4 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
204rngmulr 17245 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€))
218, 20ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€)
221grpplusg 17232 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
238, 22ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
24 eqid 2724 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘€)
2515, 24mgpplusg 20033 . . . . 5 (.rβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
2621, 23, 253eqtr3ri 2761 . . . 4 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
2719, 26mndprop 18683 . . 3 ((mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
2814, 27sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd)
29 df-ov 7404 . . . . . 6 (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
30 opex 5454 . . . . . . 7 βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V
31 fvsng 7170 . . . . . . 7 ((βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3230, 31mpan 687 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3329, 32eqtrid 2776 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = 𝑍)
3433oveq2d 7417 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3533, 33oveq12d 7419 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3634, 35eqtr4d 2767 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
3733oveq1d 7416 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3837, 35eqtr4d 2767 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
39 oveq1 7408 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
40 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏))
41 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4240, 41oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4339, 42eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4440oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4541oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4644, 45eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4743, 46anbi12d 630 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
48472ralbidv 3210 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
4948ralsng 4669 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
50 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5150oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
52 oveq2 7409 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
5352oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5451, 53eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5552oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5650oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5755, 56eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5854, 57anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
5958ralbidv 3169 . . . . 5 (𝑏 = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
6059ralsng 4669 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
61 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6261oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6361oveq2d 7417 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6462, 63eqeq12d 2740 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
65 oveq2 7409 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6661, 61oveq12d 7419 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6765, 66eqeq12d 2740 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
6864, 67anbi12d 630 . . . . 5 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
6968ralsng 4669 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7049, 60, 693bitrd 305 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7136, 38, 70mpbir2and 710 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
728, 9ax-mp 5 . . 3 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€)
736, 15, 72, 21isring 20132 . 2 (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
7413, 28, 71, 73syl3anbrc 1340 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466  {csn 4620  {cpr 4622  {ctp 4624  βŸ¨cop 4626  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Mndcmnd 18657  Grpcgrp 18853  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-mgp 20030  df-ring 20130
This theorem is referenced by:  ringn0  20200  rng1nnzr  20616  lmod1zr  47362
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