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Theorem ring1 20121
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ring1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
ring1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
21grp1 18929 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
3 snex 5431 . . . . . 6 {𝑍} ∈ V
4 ring1.m . . . . . . 7 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
54rngbase 17243 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€)
76eqcomi 2741 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = {𝑍}
8 snex 5431 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V
94rngplusg 17244 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€))
109eqcomd 2738 . . . . 5 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©})
118, 10ax-mp 5 . . . 4 (+gβ€˜π‘€) = {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}
127, 11, 1grppropstr 18838 . . 3 (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
132, 12sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Grp)
141mnd1 18666 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
15 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜π‘€) = (mulGrpβ€˜π‘€)
1615, 6mgpbas 19992 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
171grpbase 17230 . . . . . 6 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
183, 17ax-mp 5 . . . . 5 {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
1916, 18eqtr3i 2762 . . . 4 (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
204rngmulr 17245 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€))
218, 20ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€)
221grpplusg 17232 . . . . . 6 ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
238, 22ax-mp 5 . . . . 5 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
24 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘€)
2515, 24mgpplusg 19990 . . . . 5 (.rβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))
2621, 23, 253eqtr3ri 2769 . . . 4 (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})
2719, 26mndprop 18650 . . 3 ((mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
2814, 27sylibr 233 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd)
29 df-ov 7411 . . . . . 6 (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
30 opex 5464 . . . . . . 7 βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V
31 fvsng 7177 . . . . . . 7 ((βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3230, 31mpan 688 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
3329, 32eqtrid 2784 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = 𝑍)
3433oveq2d 7424 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3533, 33oveq12d 7426 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3634, 35eqtr4d 2775 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
3733oveq1d 7423 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
3837, 35eqtr4d 2775 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
39 oveq1 7415 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
40 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏))
41 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4240, 41oveq12d 7426 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4339, 42eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4440oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
4541oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
4644, 45eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
4743, 46anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
48472ralbidv 3218 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
4948ralsng 4677 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
50 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5150oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
52 oveq2 7416 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
5352oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5451, 53eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5552oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
5650oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
5755, 56eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
5854, 57anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
5958ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑏 = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
6059ralsng 4677 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
61 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6261oveq2d 7424 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6361oveq2d 7424 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6462, 63eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
65 oveq2 7416 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6661, 61oveq12d 7426 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6765, 66eqeq12d 2748 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
6864, 67anbi12d 631 . . . . 5 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
6968ralsng 4677 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7049, 60, 693bitrd 304 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
7136, 38, 70mpbir2and 711 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
728, 9ax-mp 5 . . 3 {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€)
736, 15, 72, 21isring 20059 . 2 (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
7413, 28, 71, 73syl3anbrc 1343 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4628  {cpr 4630  {ctp 4632  βŸ¨cop 4634  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Mndcmnd 18624  Grpcgrp 18818  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ring 20057
This theorem is referenced by:  ringn0  20122  rng1nnzr  20395  lmod1zr  47164
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