Theorem sticksstones9 42111

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones9.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
sticksstones9.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones9.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones9.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones9.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
2	1	iftrued 4556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
4		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}
5		1nn 12304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
7		sticksstones9.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		fsng 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
9	6, 7, 8	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
10	4, 9	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁})
11	7	snssd 4834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
12	10, 11	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0))
13		fss 6763	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0) → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
15	1	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16		0p1e1 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = 1)
18	17	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19		1zzd 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
20		fzsn 13626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...1) = {1})
22	18, 21	eqtrd 2780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = {1})
23	22	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
24	23	feq2d 6733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
25	14, 24	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
26	22	sumeq1d 15748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
27		fvsng 7214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
28	6, 7, 27	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
29	7	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	28, 29	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ)
31	6, 30	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ))
32		fveq2 6920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
33	32	sumsn 15794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
35	6, 7	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
38	26, 37	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
39	25, 38	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
41		snex 5451	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} ∈ V
42		feq1 6728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
43		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩})
44	43	fveq1d 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
45	44	sumeq2dv 15750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
46	45	eqeq1d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
47	42, 46	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
48	47	elabg 3690	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ V → ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
49	41, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
50	40, 49	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
51		sticksstones9.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
53	50, 52	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ 𝐴)
54	3, 53	eqeltrd 2844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
55		sticksstones9.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
56	54, 55	fmptd 7148	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ...cfz 13567  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  sticksstones11  42113