Theorem sticksstones9 40562

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones9.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
sticksstones9.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones9.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones9.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones9.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
2	1	iftrued 4494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
4		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}
5		1nn 12164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
7		sticksstones9.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		fsng 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
10	4, 9	mpbiri 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁})
11	7	snssd 4769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
12	10, 11	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0))
13		fss 6685	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0) → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
15	1	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16		0p1e1 12275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = 1)
18	17	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19		1zzd 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
20		fzsn 13483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...1) = {1})
22	18, 21	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = {1})
23	22	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
24	23	feq2d 6654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
25	14, 24	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
26	22	sumeq1d 15586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
27		fvsng 7126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
28	6, 7, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
29	7	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	28, 29	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ)
31	6, 30	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ))
32		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
33	32	sumsn 15631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
35	6, 7	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
38	26, 37	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
39	25, 38	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
40	39	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
41		snex 5388	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} ∈ V
42		feq1 6649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
43		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩})
44	43	fveq1d 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
45	44	sumeq2dv 15588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
46	45	eqeq1d 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
47	42, 46	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
48	47	elabg 3628	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ V → ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
49	41, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
50	40, 49	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
51		sticksstones9.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
53	50, 52	eleqtrrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ 𝐴)
54	3, 53	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
55		sticksstones9.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
56	54, 55	fmptd 7062	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ...cfz 13424  Σcsu 15570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  sticksstones11  40564