Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones9 40970
Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones9.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones9.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 0)
sticksstones9.3 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
sticksstones9.4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones9.5 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones9 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐡,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜,𝑏)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑏)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9
StepHypRef Expression
1 sticksstones9.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 0)
21iftrued 4537 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))) = {⟨1, π‘βŸ©})
32adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))) = {⟨1, π‘βŸ©})
4 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, π‘βŸ©} = {⟨1, π‘βŸ©}
5 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
7 sticksstones9.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 fsng 7135 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ↔ {⟨1, π‘βŸ©} = {⟨1, π‘βŸ©}))
96, 7, 8syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ↔ {⟨1, π‘βŸ©} = {⟨1, π‘βŸ©}))
104, 9mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁})
117snssd 4813 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑁} βŠ† β„•0)
1210, 11jca 513 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ∧ {𝑁} βŠ† β„•0))
13 fss 6735 . . . . . . . . 9 (({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ∧ {𝑁} βŠ† β„•0) β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:{1}βŸΆβ„•0)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:{1}βŸΆβ„•0)
151oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) = 1)
1817oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
20 fzsn 13543 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...1) = {1})
2218, 21eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) = {1})
2322eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {1} = (1...(𝐾 + 1)))
2423feq2d 6704 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}βŸΆβ„•0 ↔ {⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
2514, 24mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
2622sumeq1d 15647 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–))
27 fvsng 7178 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
286, 7, 27syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
297nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3028, 29eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) ∈ β„‚)
316, 30jca 513 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„• ∧ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) ∈ β„‚))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
3332sumsn 15692 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„• ∧ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
356, 7jca 513 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
3635, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
3734, 36eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)
3826, 37eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)
3925, 38jca 513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
4039adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
41 snex 5432 . . . . . 6 {⟨1, π‘βŸ©} ∈ V
42 feq1 6699 . . . . . . . 8 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ↔ {⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
43 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©})
4443fveq1d 6894 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (π‘”β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–))
4544sumeq2dv 15649 . . . . . . . . 9 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–))
4645eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
4742, 46anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)))
4847elabg 3667 . . . . . 6 ({⟨1, π‘βŸ©} ∈ V β†’ ({⟨1, π‘βŸ©} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)))
4941, 48ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨1, π‘βŸ©} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
5040, 49sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
51 sticksstones9.4 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
5251a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
5350, 52eleqtrrd 2837 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} ∈ 𝐴)
543, 53eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))) ∈ 𝐴)
55 sticksstones9.3 . 2 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
5654, 55fmptd 7114 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ...cfz 13484  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  sticksstones11  40972
  Copyright terms: Public domain W3C validator