Theorem sticksstones9 42597

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones9.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
sticksstones9.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones9.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones9.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones9.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
2	1	iftrued 4475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
4		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}
5		1nn 12174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
7		sticksstones9.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		fsng 7082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
9	6, 7, 8	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
10	4, 9	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁})
11	7	snssd 4753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
12	10, 11	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0))
13		fss 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0) → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
15	1	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16		0p1e1 12287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = 1)
18	17	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19		1zzd 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
20		fzsn 13509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...1) = {1})
22	18, 21	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = {1})
23	22	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
24	23	feq2d 6644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
25	14, 24	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
26	22	sumeq1d 15651	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
27		fvsng 7126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
28	6, 7, 27	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
29	7	nn0cnd 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	28, 29	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ)
31	6, 30	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ))
32		fveq2 6832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
33	32	sumsn 15697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
34	31, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
35	6, 7	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
38	26, 37	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
39	25, 38	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
41		snex 5374	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} ∈ V
42		feq1 6638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
43		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩})
44	43	fveq1d 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
45	44	sumeq2dv 15653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
46	45	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
47	42, 46	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
48	47	elabg 3620	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ V → ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
49	41, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
50	40, 49	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
51		sticksstones9.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
53	50, 52	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ 𝐴)
54	3, 53	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
55		sticksstones9.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
56	54, 55	fmptd 7058	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168   − cmin 11366  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ...cfz 13450  Σcsu 15637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638

This theorem is referenced by:  sticksstones11  42599