Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones9 42156
Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones9.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones9.2 (𝜑𝐾 = 0)
sticksstones9.3 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones9.4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
sticksstones9.5 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓𝑥) < (𝑓𝑦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones9 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9
StepHypRef Expression
1 sticksstones9.2 . . . . 5 (𝜑𝐾 = 0)
21iftrued 4532 . . . 4 (𝜑 → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
32adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
4 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}
5 1nn 12278 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
7 sticksstones9.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 fsng 7156 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
104, 9mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁})
117snssd 4808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
1210, 11jca 511 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0))
13 fss 6751 . . . . . . . . 9 (({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0) → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
151oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16 0p1e1 12389 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1715, 16eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 + 1) = 1)
1817oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19 1zzd 12650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
20 fzsn 13607 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1...1) = {1})
2218, 21eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = {1})
2322eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
2423feq2d 6721 . . . . . . . 8 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
2514, 24mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
2622sumeq1d 15737 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
27 fvsng 7201 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
286, 7, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
297nn0cnd 12591 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3028, 29eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ)
316, 30jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ))
32 fveq2 6905 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
3332sumsn 15783 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
356, 7jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3635, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
3734, 36eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
3826, 37eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
3925, 38jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
4039adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐵) → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
41 snex 5435 . . . . . 6 {⟨1, 𝑁⟩} ∈ V
42 feq1 6715 . . . . . . . 8 (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
43 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩})
4443fveq1d 6907 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
4544sumeq2dv 15739 . . . . . . . . 9 (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
4645eqeq1d 2738 . . . . . . . 8 (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
4742, 46anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁) ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
4847elabg 3675 . . . . . 6 ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ V → ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
4941, 48ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
5040, 49sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
51 sticksstones9.4 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)}
5251a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔𝑖) = 𝑁)})
5350, 52eleqtrrd 2843 . . 3 ((𝜑𝑏𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ 𝐴)
543, 53eqeltrd 2840 . 2 ((𝜑𝑏𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
55 sticksstones9.3 . 2 𝐺 = (𝑏𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
5654, 55fmptd 7133 1 (𝜑𝐺:𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wral 3060  Vcvv 3479  wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625  cop 4631   class class class wbr 5142  cmpt 5224  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cmin 11493  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  ...cfz 13548  Σcsu 15723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724
This theorem is referenced by:  sticksstones11  42158
  Copyright terms: Public domain W3C validator