Theorem sticksstones9 42871

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones9.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones9.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
sticksstones9.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones9.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones9.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones9	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑓,𝑘,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones9.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = 0)
2	1	iftrued 4500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = {⟨1, 𝑁⟩})
4		eqid 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}
5		1nn 12247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℕ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
7		sticksstones9.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		fsng 7137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
9	6, 7, 8	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ↔ {⟨1, 𝑁⟩} = {⟨1, 𝑁⟩}))
10	4, 9	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁})
11	7	snssd 4757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑁} ⊆ ℕ0)
12	10, 11	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0))
13		fss 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶{𝑁} ∧ {𝑁} ⊆ ℕ0) → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0)
15	1	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16		0p1e1 12364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) = 1
17	15, 16	eqtrdi 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 + 1) = 1)
18	17	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19		1zzd 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
20		fzsn 13597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1...1) = {1})
22	18, 21	eqtrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...(𝐾 + 1)) = {1})
23	22	eqcomd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {1} = (1...(𝐾 + 1)))
24	23	feq2d 6693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:{1}⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
25	14, 24	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0)
26	22	sumeq1d 15754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
27		fvsng 7182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
28	6, 7, 27	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
29	7	nn0cnd 12570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
30	28, 29	eqeltrd 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ)
31	6, 30	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ))
32		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 1 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
33	32	sumsn 15800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘1))
35	6, 7	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
36	35, 27	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}‘1) = 𝑁)
37	34, 36	eqtrd 2805	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
38	26, 37	eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)
39	25, 38	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
40	39	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
41		snex 5414	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 𝑁⟩} ∈ V
42		feq1 6687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ↔ {⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0))
43		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩})
44	43	fveq1d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
45	44	sumeq2dv 15756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖))
46	45	eqeq1d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
47	42, 46	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = {⟨1, 𝑁⟩} → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
48	47	elabg 3643	. . . . . 6 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ V → ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁)))
49	41, 48	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ({⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, 𝑁⟩}:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, 𝑁⟩}‘𝑖) = 𝑁))
50	40, 49	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
51		sticksstones9.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
52	51	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
53	50, 52	eleqtrrd 2873	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → {⟨1, 𝑁⟩} ∈ 𝐴)
54	3, 53	eqeltrd 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
55		sticksstones9.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
56	54, 55	fmptd 7113	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {cab 2748  ∀wral 3086  Vcvv 3462   ⊆ wss 3913  ifcif 4492  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℂcc 11101  0cc0 11103  1c1 11104   + caddc 11106   < clt 11246   − cmin 11444  ℕcn 12236  ℕ₀cn0 12507  ℤcz 12594  ...cfz 13538  Σcsu 15740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-sum 15741

This theorem is referenced by:  sticksstones11  42873