Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones9 40965
Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones9.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones9.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 0)
sticksstones9.3 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
sticksstones9.4 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
sticksstones9.5 𝐡 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
Assertion
Ref Expression
sticksstones9 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐡,𝑏   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,𝑏
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,π‘˜,𝑏)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑏)   𝑁(π‘₯,𝑦,𝑓,π‘˜,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones9
StepHypRef Expression
1 sticksstones9.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = 0)
21iftrued 4536 . . . 4 (πœ‘ β†’ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))) = {⟨1, π‘βŸ©})
32adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))) = {⟨1, π‘βŸ©})
4 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, π‘βŸ©} = {⟨1, π‘βŸ©}
5 1nn 12222 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ β„•
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
7 sticksstones9.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
8 fsng 7134 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ↔ {⟨1, π‘βŸ©} = {⟨1, π‘βŸ©}))
96, 7, 8syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ↔ {⟨1, π‘βŸ©} = {⟨1, π‘βŸ©}))
104, 9mpbiri 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁})
117snssd 4812 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {𝑁} βŠ† β„•0)
1210, 11jca 512 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ∧ {𝑁} βŠ† β„•0))
13 fss 6734 . . . . . . . . 9 (({⟨1, π‘βŸ©}:{1}⟢{𝑁} ∧ {𝑁} βŠ† β„•0) β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:{1}βŸΆβ„•0)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:{1}βŸΆβ„•0)
151oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) = (0 + 1))
16 0p1e1 12333 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
1715, 16eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾 + 1) = 1)
1817oveq2d 7424 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) = (1...1))
19 1zzd 12592 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
20 fzsn 13542 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ β„€ β†’ (1...1) = {1})
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1...1) = {1})
2218, 21eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1...(𝐾 + 1)) = {1})
2322eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {1} = (1...(𝐾 + 1)))
2423feq2d 6703 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:{1}βŸΆβ„•0 ↔ {⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
2514, 24mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0)
2622sumeq1d 15646 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–))
27 fvsng 7177 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
286, 7, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
297nn0cnd 12533 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3028, 29eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) ∈ β„‚)
316, 30jca 512 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„• ∧ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) ∈ β„‚))
32 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 1 β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
3332sumsn 15691 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ β„• ∧ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
3431, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1))
356, 7jca 512 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•0))
3635, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜1) = 𝑁)
3734, 36eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ {1} ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)
3826, 37eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)
3925, 38jca 512 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
4039adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
41 snex 5431 . . . . . 6 {⟨1, π‘βŸ©} ∈ V
42 feq1 6698 . . . . . . . 8 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ↔ {⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0))
43 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ 𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©})
4443fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) β†’ (π‘”β€˜π‘–) = ({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–))
4544sumeq2dv 15648 . . . . . . . . 9 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–))
4645eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
4742, 46anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑔 = {⟨1, π‘βŸ©} β†’ ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁) ↔ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)))
4847elabg 3666 . . . . . 6 ({⟨1, π‘βŸ©} ∈ V β†’ ({⟨1, π‘βŸ©} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁)))
4941, 48ax-mp 5 . . . . 5 ({⟨1, π‘βŸ©} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)} ↔ ({⟨1, π‘βŸ©}:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))({⟨1, π‘βŸ©}β€˜π‘–) = 𝑁))
5040, 49sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
51 sticksstones9.4 . . . . 5 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
5251a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)})
5350, 52eleqtrrd 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ {⟨1, π‘βŸ©} ∈ 𝐴)
543, 53eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐡) β†’ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))) ∈ 𝐴)
55 sticksstones9.3 . 2 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐡 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (π‘˜ ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(π‘˜ = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘β€˜πΎ)), if(π‘˜ = 1, ((π‘β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
5654, 55fmptd 7113 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐡⟢𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  ...cfz 13483  Ξ£csu 15631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632
This theorem is referenced by:  sticksstones11  40967
  Copyright terms: Public domain W3C validator