Theorem 1loopgrvd0 29537

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
2	1	eldifbd 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		snex 5442	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ V
5		fvsng 7200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
7	6	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
8	2, 7	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
9		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
10	9	dmeqd 5919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
11		dmsnopg 6235	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
12	4, 11	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
13	10, 12	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
14	9	fveq1d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
15	14	eleq2d 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
16	13, 15	rexeqbidv 3345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
17		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
18	17	eleq2d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
19	18	rexsng 4681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
21	16, 20	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
22	8, 21	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
23	1	eldifad 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
24		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
25	24	eleq2d 2825	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
27		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
30	27, 28, 29	vtxd0nedgb 29521	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
31	26, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
32	22, 31	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ⟨cop 4637  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  0cc0 11153  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  VtxDegcvtxdg 29498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-hash 14367  df-vtxdg 29499

This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  29544  eupth2lem3lem3  30259