Theorem 1loopgrvd0 29835

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
2	1	eldifbd 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ V
5		fvsng 7180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
6	3, 4, 5	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
7	6	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
8	2, 7	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
9		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
10	9	dmeqd 5897	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
11		dmsnopg 6216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
12	4, 11	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
13	10, 12	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
14	9	fveq1d 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
15	14	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
16	13, 15	rexeqbidv 3339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
17		fveq2 6883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
18	17	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
19	18	rexsng 4643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
20	3, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
21	16, 20	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
22	8, 21	mtbird 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
23	1	eldifad 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
24		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
25	24	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
27		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
30	27, 28, 29	vtxd0nedgb 29819	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
31	26, 30	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
32	22, 31	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ⟨cop 4596  dom cdm 5663  ‘cfv 6538  0cc0 11101  Vtxcvtx 29327  iEdgciedg 29328  VtxDegcvtxdg 29796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-xadd 13139  df-fz 13537  df-hash 14369  df-vtxdg 29797

This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  29842  eupth2lem3lem3  30562