Theorem 1loopgrvd0 29468

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
1loopgrvd0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem 1loopgrvd0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}))
2	1	eldifbd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ {𝑁})
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
4		snex 5378	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} ∈ V
5		fvsng 7120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ {𝑁} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) = {𝑁})
7	6	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴) ↔ 𝐾 ∈ {𝑁}))
8	2, 7	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
9		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
10	9	dmeqd 5852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
11		dmsnopg 6166	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} ∈ V → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
12	4, 11	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {𝐴})
13	10, 12	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (iEdg‘𝐺) = {𝐴})
14	9	fveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖))
15	14	eleq2d 2814	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
16	13, 15	rexeqbidv 3311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖)))
17		fveq2 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) = ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴))
18	17	eleq2d 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐴 → (𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
19	18	rexsng 4630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
20	3, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ {𝐴}𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
21	16, 20	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖) ↔ 𝐾 ∈ ({⟨𝐴, {𝑁}⟩}‘𝐴)))
22	8, 21	mtbird 325	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖))
23	1	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
24		1loopgruspgr.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
25	24	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝐾 ∈ 𝑉))
26	23, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺))
27		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
28		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
29		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
30	27, 28, 29	vtxd0nedgb 29452	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
31	26, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0 ↔ ¬ ∃𝑖 ∈ dom (iEdg‘𝐺)𝐾 ∈ ((iEdg‘𝐺)‘𝑖)))
32	22, 31	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ⟨cop 4585  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  0cc0 11028  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  VtxDegcvtxdg 29429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-xadd 13033  df-fz 13429  df-hash 14256  df-vtxdg 29430

This theorem is referenced by:  1egrvtxdg0  29475  eupth2lem3lem3  30192