Theorem grp1 19257

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by NM, 4-Nov-2006.) (Revised by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)

Proof of Theorem grp1

Dummy variables 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	mnd1 18973	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		df-ov 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7185	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8	1	mnd1id 18974	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)
9	7, 8	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀))
10		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
11	10	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
12	11	rexbidv 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ ∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
13	12	ralsng 4636	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ ∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
14		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐼 → (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
15	14	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐼 → ((𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
16	15	rexsng 4637	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
17	13, 16	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
18	9, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀))
19		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
20	1	grpbase 17460	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
22		snex 5397	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
23	1	grpplusg 17461	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
25		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
26	21, 24, 25	isgrp 19150	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp ↔ (𝑀 ∈ Mnd ∧ ∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀)))
27	2, 18, 26	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ndxcnx 17371  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Mndcmnd 18923  Grpcgrp 19144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147

This theorem is used by:  grp1inv  19258  abl1  20080  ring1  20541  lmod1  49603