Theorem grp1 19108

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)

Proof of Theorem grp1

Dummy variables 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	mnd1 18832	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		df-ov 7413	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5445	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7178	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8	1	mnd1id 18833	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)
9	7, 8	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀))
10		oveq2 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
11	10	eqeq1d 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
12	11	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ ∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
13	12	ralsng 4641	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ ∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
14		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐼 → (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
15	14	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐼 → ((𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
16	15	rexsng 4642	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
17	13, 16	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
18	9, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀))
19		snex 5410	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
20	1	grpbase 17337	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
22		snex 5410	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
23	1	grpplusg 17338	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
25		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
26	21, 24, 25	isgrp 19001	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp ↔ (𝑀 ∈ Mnd ∧ ∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀)))
27	2, 18, 26	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  {csn 4589  {cpr 4591  ⟨cop 4595  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ndxcnx 17248  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  0_gc0g 17487  Mndcmnd 18787  Grpcgrp 18995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998

This theorem is referenced by:  grp1inv  19109  abl1  19931  ring1  20389  lmod1  49292