Theorem grp1 18930

Description: The (smallest) structure representing a trivial group. According to Wikipedia ("Trivial group", 28-Apr-2019, https://en.wikipedia.org/wiki/Trivial_group) "In mathematics, a trivial group is a group consisting of a single element. All such groups are isomorphic, so one often speaks of the trivial group. The single element of the trivial group is the identity element". (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)

Proof of Theorem grp1

Dummy variables 𝑒 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	mnd1 18667	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		df-ov 7412	. . . . 5 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opex 5465	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
5		fvsng 7178	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	4, 5	mpan 689	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	3, 6	eqtrid 2785	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
8	1	mnd1id 18668	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) = 𝐼)
9	7, 8	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀))
10		oveq2 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
11	10	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → ((𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
12	11	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ ∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
13	12	ralsng 4678	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ ∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
14		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐼 → (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
15	14	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐼 → ((𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
16	15	rexsng 4679	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
17	13, 16	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀) ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (0g‘𝑀)))
18	9, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀))
19		snex 5432	. . . 4 ⊢ {𝐼} ∈ V
20	1	grpbase 17231	. . . 4 ⊢ ({𝐼} ∈ V → {𝐼} = (Base‘𝑀))
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝐼} = (Base‘𝑀)
22		snex 5432	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
23	1	grpplusg 17233	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀)
25		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
26	21, 24, 25	isgrp 18825	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Grp ↔ (𝑀 ∈ Mnd ∧ ∀𝑖 ∈ {𝐼}∃𝑒 ∈ {𝐼} (𝑒{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑖) = (0g‘𝑀)))
27	2, 18, 26	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475  {csn 4629  {cpr 4631  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822

This theorem is referenced by:  grp1inv  18931  abl1  19734  ring1  20122  lmod1  47173