Theorem fz0addge0 47782

Description: The sum of two integers in 0-based finite sets of sequential integers is greater than or equal to zero. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fz0addge0	⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem fz0addge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑀) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		elfznn0 13568	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℕ0)
3	1, 2	anim12i 614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0))
4		nn0re 12440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		nn0re 12440	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	4, 5	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
7		nn0ge0 12456	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
8		nn0ge0 12456	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
9	7, 8	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵))
10	6, 9	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)))
11		addge0 11633	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))
12	3, 10, 11	3syl 18	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032   + caddc 11035   ≤ cle 11174  ℕ₀cn0 12431  ...cfz 13455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456

This theorem is referenced by: (None)