Theorem nn0ge0 12671

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12648	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12409	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 922	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11349	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12655	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11435	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by:  nn0nlt0  12672  nn0ge0i  12673  nn0le0eq0  12674  nn0p1gt0  12675  0mnnnnn0  12678  nn0addge1  12692  nn0addge2  12693  nn0negleid  12698  nn0ge0d  12710  0nn0m1nnn0  12793  nn0ge0div  12808  xnn0ge0  13303  xnn0xadd0  13417  nn0rp0  13626  xnn0xrge0  13677  0elfz  13798  fz0fzelfz0  13808  fz0fzdiffz0  13811  fzctr  13814  difelfzle  13815  fzoun  13871  nn0p1elfzo  13877  elfzodifsumelfzo  13906  fvinim0ffz  13964  subfzo0  13968  adddivflid  13998  modmuladdnn0  14098  addmodid  14102  modifeq2int  14116  modfzo0difsn  14126  nn0sq11  14315  zzlesq  14390  bernneq  14414  bernneq3  14416  faclbnd  14475  faclbnd6  14484  facubnd  14485  bcval5  14503  hashneq0  14549  fi1uzind  14693  ccat0  14762  ccat2s1fvw  14828  repswswrd  14977  nn0sqeq1  15486  nn0absid  15641  rprisefaccl  16234  dvdseq  16528  evennn02n  16564  nn0ehalf  16592  nn0oddm1d2  16599  bitsinv1  16656  smuval2  16696  gcdn0gt0  16734  nn0gcdid0  16737  gcdnn0id  16744  absmulgcd  16766  algcvgblem  16796  algcvga  16798  lcmgcdnn  16830  lcmfun  16864  lcmfass  16865  2mulprm  16912  nonsq  16979  hashgcdlem  17009  odzdvds  17017  pcfaclem  17120  prmirredlem  21833  prmirred  21835  coe1sclmul  22656  coe1sclmul2  22658  fvmptnn04ifb  23224  mdegle0  26450  plypf1  26586  dgrlt  26640  fta1  26684  taylfval  26743  logbgcd1irr  27179  eldmgm  27406  basellem3  27467  bcmono  27661  lgsdinn0  27729  2sq2  27817  2sqnn0  27822  2sqreulem1  27830  dchrisumlem1  27873  dchrisumlem2  27874  wwlksnextwrd  30543  wwlksnextfun  30544  wwlksnextinj  30545  wwlksnextproplem2  30556  wwlksnextproplem3  30557  wrdt2ind  33612  xrsmulgzz  33669  hashf2  34827  hasheuni  34828  reprinfz1  35362  faclimlem1  36723  rrntotbnd  39036  pell14qrgt0  44132  pell1qrgaplem  44146  monotoddzzfi  44215  jm2.17a  44233  jm2.22  44268  rmxdiophlem  44288  rexanuz2nf  46775  wallispilem3  47350  stirlinglem7  47363  elfz2z  48658  fz0addge0  48662  elfzlble  48663  2ffzoeq  48671  addmodne  48693  iccpartigtl  48778  sqrtpwpw2p  48896  flsqrt  48951  nn0e  49068  nn0sumltlt  49793  nn0eo  49971  fllog2  50011  dignn0fr  50044  dignnld  50046  dig1  50051  itcovalt2lem2lem1  50116