Theorem nn0ge0 12540

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12517	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12278	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2771	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 922	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11221	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12524	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11307	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110  0cc0 11111   < clt 11254   ≤ cle 11255  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516

This theorem is used by:  nn0nlt0  12541  nn0ge0i  12542  nn0le0eq0  12543  nn0p1gt0  12544  0mnnnnn0  12547  nn0addge1  12561  nn0addge2  12562  nn0negleid  12567  nn0ge0d  12579  nn0ge0div  12676  xnn0ge0  13170  xnn0xadd0  13284  nn0rp0  13493  xnn0xrge0  13544  0elfz  13664  fz0fzelfz0  13674  fz0fzdiffz0  13677  fzctr  13680  difelfzle  13681  fzoun  13737  nn0p1elfzo  13743  elfzodifsumelfzo  13772  fvinim0ffz  13830  subfzo0  13834  adddivflid  13864  modmuladdnn0  13964  addmodid  13968  modifeq2int  13982  modfzo0difsn  13992  nn0sq11  14181  zzlesq  14255  bernneq  14278  bernneq3  14280  faclbnd  14339  faclbnd6  14348  facubnd  14349  bcval5  14367  hashneq0  14413  fi1uzind  14557  ccat0  14626  ccat2s1fvw  14691  repswswrd  14840  nn0sqeq1  15346  nn0absid  15500  rprisefaccl  16095  dvdseq  16389  evennn02n  16425  nn0ehalf  16453  nn0oddm1d2  16460  bitsinv1  16517  smuval2  16557  gcdn0gt0  16593  nn0gcdid0  16596  absmulgcd  16624  algcvgblem  16652  algcvga  16654  lcmgcdnn  16686  lcmfun  16720  lcmfass  16721  2mulprm  16768  nonsq  16835  hashgcdlem  16864  odzdvds  16872  pcfaclem  16975  prmirredlem  21651  prmirred  21653  coe1sclmul  22472  coe1sclmul2  22474  fvmptnn04ifb  23037  mdegle0  26263  plypf1  26398  dgrlt  26452  fta1  26498  taylfval  26551  logbgcd1irr  26988  eldmgm  27215  basellem3  27276  bcmono  27470  lgsdinn0  27538  2sq2  27626  2sqnn0  27631  2sqreulem1  27639  dchrisumlem1  27682  dchrisumlem2  27683  wwlksnextwrd  30275  wwlksnextfun  30276  wwlksnextinj  30277  wwlksnextproplem2  30288  wwlksnextproplem3  30289  wrdt2ind  33298  xrsmulgzz  33352  hashf2  34497  hasheuni  34498  reprinfz1  35033  0nn0m1nnn0  35620  faclimlem1  36248  rrntotbnd  38520  gcdnn0id  43123  pell14qrgt0  43619  pell1qrgaplem  43633  monotoddzzfi  43702  jm2.17a  43720  jm2.22  43755  rmxdiophlem  43775  rexanuz2nf  46239  wallispilem3  46814  stirlinglem7  46827  elfz2z  48085  fz0addge0  48089  elfzlble  48090  2ffzoeq  48098  addmodne  48120  iccpartigtl  48205  sqrtpwpw2p  48323  flsqrt  48378  nn0e  48495  nn0sumltlt  49163  nn0eo  49341  fllog2  49381  dignn0fr  49414  dignnld  49416  dig1  49421  itcovalt2lem2lem1  49486