Theorem nn0ge0 12453

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12430	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12199	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 909	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11137	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12437	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11223	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12454  nn0ge0i  12455  nn0le0eq0  12456  nn0p1gt0  12457  0mnnnnn0  12460  nn0addge1  12474  nn0addge2  12475  nn0negleid  12480  nn0ge0d  12492  nn0ge0div  12589  xnn0ge0  13076  xnn0xadd0  13190  nn0rp0  13399  xnn0xrge0  13450  0elfz  13569  fz0fzelfz0  13579  fz0fzdiffz0  13582  fzctr  13585  difelfzle  13586  fzoun  13642  nn0p1elfzo  13648  elfzodifsumelfzo  13677  fvinim0ffz  13735  subfzo0  13738  adddivflid  13768  modmuladdnn0  13868  addmodid  13872  modifeq2int  13886  modfzo0difsn  13896  nn0sq11  14085  zzlesq  14159  bernneq  14182  bernneq3  14184  faclbnd  14243  faclbnd6  14252  facubnd  14253  bcval5  14271  hashneq0  14317  fi1uzind  14460  ccat0  14529  ccat2s1fvw  14592  repswswrd  14737  nn0sqeq1  15229  nn0absid  15383  rprisefaccl  15979  dvdseq  16274  evennn02n  16310  nn0ehalf  16338  nn0oddm1d2  16345  bitsinv1  16402  smuval2  16442  gcdn0gt0  16478  nn0gcdid0  16481  absmulgcd  16509  algcvgblem  16537  algcvga  16539  lcmgcdnn  16571  lcmfun  16605  lcmfass  16606  2mulprm  16653  nonsq  16720  hashgcdlem  16749  odzdvds  16757  pcfaclem  16860  prmirredlem  21462  prmirred  21464  coe1sclmul  22257  coe1sclmul2  22259  fvmptnn04ifb  22826  mdegle0  26052  plypf1  26187  dgrlt  26241  fta1  26285  taylfval  26335  logbgcd1irr  26771  eldmgm  26999  basellem3  27060  bcmono  27254  lgsdinn0  27322  2sq2  27410  2sqnn0  27415  2sqreulem1  27423  dchrisumlem1  27466  dchrisumlem2  27467  wwlksnextwrd  29980  wwlksnextfun  29981  wwlksnextinj  29982  wwlksnextproplem2  29993  wwlksnextproplem3  29994  wrdt2ind  33028  xrsmulgzz  33084  hashf2  34244  hasheuni  34245  reprinfz1  34782  0nn0m1nnn0  35311  faclimlem1  35941  rrntotbnd  38171  gcdnn0id  42775  pell14qrgt0  43305  pell1qrgaplem  43319  monotoddzzfi  43388  jm2.17a  43406  jm2.22  43441  rmxdiophlem  43461  rexanuz2nf  45938  wallispilem3  46513  stirlinglem7  46526  elfz2z  47775  fz0addge0  47779  elfzlble  47780  2ffzoeq  47788  addmodne  47810  iccpartigtl  47895  sqrtpwpw2p  48013  flsqrt  48068  nn0e  48185  nn0sumltlt  48838  nn0eo  49016  fllog2  49056  dignn0fr  49089  dignnld  49091  dig1  49096  itcovalt2lem2lem1  49161