Theorem nn0ge0 12443

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12420	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12193	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11152	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12427	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11236	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12444  nn0ge0i  12445  nn0le0eq0  12446  nn0p1gt0  12447  0mnnnnn0  12450  nn0addge1  12464  nn0addge2  12465  nn0negleid  12470  nn0ge0d  12482  nn0ge0div  12579  xnn0ge0  13070  xnn0xadd0  13183  nn0rp0  13392  xnn0xrge0  13443  0elfz  13561  fz0fzelfz0  13571  fz0fzdiffz0  13574  fzctr  13577  difelfzle  13578  fzoun  13633  nn0p1elfzo  13639  elfzodifsumelfzo  13668  fvinim0ffz  13723  subfzo0  13726  adddivflid  13756  modmuladdnn0  13856  addmodid  13860  modifeq2int  13874  modfzo0difsn  13884  nn0sq11  14073  zzlesq  14147  bernneq  14170  bernneq3  14172  faclbnd  14231  faclbnd6  14240  facubnd  14241  bcval5  14259  hashneq0  14305  fi1uzind  14448  ccat0  14517  ccat2s1fvw  14579  repswswrd  14725  nn0sqeq1  15218  nn0absid  15372  rprisefaccl  15965  dvdseq  16260  evennn02n  16296  nn0ehalf  16324  nn0oddm1d2  16331  bitsinv1  16388  smuval2  16428  gcdn0gt0  16464  nn0gcdid0  16467  absmulgcd  16495  algcvgblem  16523  algcvga  16525  lcmgcdnn  16557  lcmfun  16591  lcmfass  16592  2mulprm  16639  nonsq  16705  hashgcdlem  16734  odzdvds  16742  pcfaclem  16845  prmirredlem  21358  prmirred  21360  coe1sclmul  22144  coe1sclmul2  22146  fvmptnn04ifb  22714  mdegle0  25958  plypf1  26093  dgrlt  26148  fta1  26192  taylfval  26242  logbgcd1irr  26680  eldmgm  26908  basellem3  26969  bcmono  27164  lgsdinn0  27232  2sq2  27320  2sqnn0  27325  2sqreulem1  27333  dchrisumlem1  27376  dchrisumlem2  27377  wwlksnextwrd  29800  wwlksnextfun  29801  wwlksnextinj  29802  wwlksnextproplem2  29813  wwlksnextproplem3  29814  wrdt2ind  32848  xrsmulgzz  32920  hashf2  34047  hasheuni  34048  reprinfz1  34586  0nn0m1nnn0  35073  faclimlem1  35703  rrntotbnd  37803  gcdnn0id  42290  pell14qrgt0  42820  pell1qrgaplem  42834  monotoddzzfi  42904  jm2.17a  42922  jm2.22  42957  rmxdiophlem  42977  rexanuz2nf  45461  wallispilem3  46038  stirlinglem7  46051  elfz2z  47289  fz0addge0  47293  elfzlble  47294  2ffzoeq  47301  addmodne  47318  iccpartigtl  47397  sqrtpwpw2p  47512  flsqrt  47567  nn0e  47671  nn0sumltlt  48311  nn0eo  48490  fllog2  48530  dignn0fr  48563  dignnld  48565  dig1  48570  itcovalt2lem2lem1  48635