Theorem nn0ge0 12406

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12383	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12156	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11114	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12390	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11199	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12407  nn0ge0i  12408  nn0le0eq0  12409  nn0p1gt0  12410  0mnnnnn0  12413  nn0addge1  12427  nn0addge2  12428  nn0negleid  12433  nn0ge0d  12445  nn0ge0div  12542  xnn0ge0  13033  xnn0xadd0  13146  nn0rp0  13355  xnn0xrge0  13406  0elfz  13524  fz0fzelfz0  13534  fz0fzdiffz0  13537  fzctr  13540  difelfzle  13541  fzoun  13596  nn0p1elfzo  13602  elfzodifsumelfzo  13631  fvinim0ffz  13689  subfzo0  13692  adddivflid  13722  modmuladdnn0  13822  addmodid  13826  modifeq2int  13840  modfzo0difsn  13850  nn0sq11  14039  zzlesq  14113  bernneq  14136  bernneq3  14138  faclbnd  14197  faclbnd6  14206  facubnd  14207  bcval5  14225  hashneq0  14271  fi1uzind  14414  ccat0  14483  ccat2s1fvw  14546  repswswrd  14691  nn0sqeq1  15183  nn0absid  15337  rprisefaccl  15930  dvdseq  16225  evennn02n  16261  nn0ehalf  16289  nn0oddm1d2  16296  bitsinv1  16353  smuval2  16393  gcdn0gt0  16429  nn0gcdid0  16432  absmulgcd  16460  algcvgblem  16488  algcvga  16490  lcmgcdnn  16522  lcmfun  16556  lcmfass  16557  2mulprm  16604  nonsq  16670  hashgcdlem  16699  odzdvds  16707  pcfaclem  16810  prmirredlem  21410  prmirred  21412  coe1sclmul  22197  coe1sclmul2  22199  fvmptnn04ifb  22767  mdegle0  26010  plypf1  26145  dgrlt  26200  fta1  26244  taylfval  26294  logbgcd1irr  26732  eldmgm  26960  basellem3  27021  bcmono  27216  lgsdinn0  27284  2sq2  27372  2sqnn0  27377  2sqreulem1  27385  dchrisumlem1  27428  dchrisumlem2  27429  wwlksnextwrd  29876  wwlksnextfun  29877  wwlksnextinj  29878  wwlksnextproplem2  29889  wwlksnextproplem3  29890  wrdt2ind  32932  xrsmulgzz  32988  hashf2  34095  hasheuni  34096  reprinfz1  34633  0nn0m1nnn0  35155  faclimlem1  35785  rrntotbnd  37882  gcdnn0id  42368  pell14qrgt0  42898  pell1qrgaplem  42912  monotoddzzfi  42981  jm2.17a  42999  jm2.22  43034  rmxdiophlem  43054  rexanuz2nf  45536  wallispilem3  46111  stirlinglem7  46124  elfz2z  47352  fz0addge0  47356  elfzlble  47357  2ffzoeq  47364  addmodne  47381  iccpartigtl  47460  sqrtpwpw2p  47575  flsqrt  47630  nn0e  47734  nn0sumltlt  48387  nn0eo  48566  fllog2  48606  dignn0fr  48639  dignnld  48641  dig1  48646  itcovalt2lem2lem1  48711