Theorem nn0ge0 12462

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12439	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12208	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 909	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11146	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12446	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11232	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12463  nn0ge0i  12464  nn0le0eq0  12465  nn0p1gt0  12466  0mnnnnn0  12469  nn0addge1  12483  nn0addge2  12484  nn0negleid  12489  nn0ge0d  12501  nn0ge0div  12598  xnn0ge0  13085  xnn0xadd0  13199  nn0rp0  13408  xnn0xrge0  13459  0elfz  13578  fz0fzelfz0  13588  fz0fzdiffz0  13591  fzctr  13594  difelfzle  13595  fzoun  13651  nn0p1elfzo  13657  elfzodifsumelfzo  13686  fvinim0ffz  13744  subfzo0  13747  adddivflid  13777  modmuladdnn0  13877  addmodid  13881  modifeq2int  13895  modfzo0difsn  13905  nn0sq11  14094  zzlesq  14168  bernneq  14191  bernneq3  14193  faclbnd  14252  faclbnd6  14261  facubnd  14262  bcval5  14280  hashneq0  14326  fi1uzind  14469  ccat0  14538  ccat2s1fvw  14601  repswswrd  14746  nn0sqeq1  15238  nn0absid  15392  rprisefaccl  15988  dvdseq  16283  evennn02n  16319  nn0ehalf  16347  nn0oddm1d2  16354  bitsinv1  16411  smuval2  16451  gcdn0gt0  16487  nn0gcdid0  16490  absmulgcd  16518  algcvgblem  16546  algcvga  16548  lcmgcdnn  16580  lcmfun  16614  lcmfass  16615  2mulprm  16662  nonsq  16729  hashgcdlem  16758  odzdvds  16766  pcfaclem  16869  prmirredlem  21452  prmirred  21454  coe1sclmul  22247  coe1sclmul2  22249  fvmptnn04ifb  22816  mdegle0  26042  plypf1  26177  dgrlt  26231  fta1  26274  taylfval  26324  logbgcd1irr  26758  eldmgm  26985  basellem3  27046  bcmono  27240  lgsdinn0  27308  2sq2  27396  2sqnn0  27401  2sqreulem1  27409  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  wwlksnextwrd  29965  wwlksnextfun  29966  wwlksnextinj  29967  wwlksnextproplem2  29978  wwlksnextproplem3  29979  wrdt2ind  33013  xrsmulgzz  33069  hashf2  34228  hasheuni  34229  reprinfz1  34766  0nn0m1nnn0  35295  faclimlem1  35925  rrntotbnd  38157  gcdnn0id  42761  pell14qrgt0  43287  pell1qrgaplem  43301  monotoddzzfi  43370  jm2.17a  43388  jm2.22  43423  rmxdiophlem  43443  rexanuz2nf  45920  wallispilem3  46495  stirlinglem7  46508  elfz2z  47763  fz0addge0  47767  elfzlble  47768  2ffzoeq  47776  addmodne  47798  iccpartigtl  47883  sqrtpwpw2p  48001  flsqrt  48056  nn0e  48173  nn0sumltlt  48826  nn0eo  49004  fllog2  49044  dignn0fr  49077  dignnld  49079  dig1  49084  itcovalt2lem2lem1  49149