MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge0 12439
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 12416 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nngt0 12185 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
43eqcomd 2743 . . . 4 (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
52, 4orim12i 908 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
61, 5sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7 0re 11158 . . 3 0 ∈ ℝ
8 nn0re 12423 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
9 leloe 11242 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
107, 8, 9sylancr 588 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
116, 10mpbird 257 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11051  0cc0 11052   < clt 11190  cle 11191  cn 12154  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12440  nn0ge0i  12441  nn0le0eq0  12442  nn0p1gt0  12443  0mnnnnn0  12446  nn0addge1  12460  nn0addge2  12461  nn0negleid  12466  nn0ge0d  12477  nn0ge0div  12573  xnn0ge0  13055  xnn0xadd0  13167  nn0rp0  13373  xnn0xrge0  13424  0elfz  13539  fz0fzelfz0  13548  fz0fzdiffz0  13551  fzctr  13554  difelfzle  13555  fzoun  13610  nn0p1elfzo  13616  elfzodifsumelfzo  13639  fvinim0ffz  13692  subfzo0  13695  adddivflid  13724  modmuladdnn0  13821  addmodid  13825  modifeq2int  13839  modfzo0difsn  13849  nn0sq11  14038  zzlesq  14111  bernneq  14133  bernneq3  14135  faclbnd  14191  faclbnd6  14200  facubnd  14201  bcval5  14219  hashneq0  14265  fi1uzind  14397  ccat0  14465  ccat2s1fvw  14527  repswswrd  14673  nn0sqeq1  15162  rprisefaccl  15907  dvdseq  16197  evennn02n  16233  nn0ehalf  16261  nn0oddm1d2  16268  bitsinv1  16323  smuval2  16363  gcdn0gt0  16399  nn0gcdid0  16402  absmulgcd  16431  algcvgblem  16454  algcvga  16456  lcmgcdnn  16488  lcmfun  16522  lcmfass  16523  2mulprm  16570  nonsq  16635  hashgcdlem  16661  odzdvds  16668  pcfaclem  16771  prmirredlem  20896  prmirred  20898  coe1sclmul  21656  coe1sclmul2  21658  fvmptnn04ifb  22203  mdegle0  25445  plypf1  25576  dgrlt  25630  fta1  25671  taylfval  25721  logbgcd1irr  26147  eldmgm  26374  basellem3  26435  bcmono  26628  lgsdinn0  26696  2sq2  26784  2sqnn0  26789  2sqreulem1  26797  dchrisumlem1  26840  dchrisumlem2  26841  wwlksnextwrd  28845  wwlksnextfun  28846  wwlksnextinj  28847  wwlksnextproplem2  28858  wwlksnextproplem3  28859  wrdt2ind  31810  xrsmulgzz  31872  hashf2  32686  hasheuni  32687  reprinfz1  33238  0nn0m1nnn0  33706  faclimlem1  34319  rrntotbnd  36298  factwoffsmonot  40618  gcdnn0id  40818  pell14qrgt0  41185  pell1qrgaplem  41199  monotoddzzfi  41269  jm2.17a  41287  jm2.22  41322  rmxdiophlem  41342  rexanuz2nf  43735  wallispilem3  44315  stirlinglem7  44328  elfz2z  45554  fz0addge0  45558  elfzlble  45559  2ffzoeq  45567  iccpartigtl  45622  sqrtpwpw2p  45737  flsqrt  45792  nn0e  45896  nn0sumltlt  46433  nn0eo  46621  fllog2  46661  dignn0fr  46694  dignnld  46696  dig1  46701  itcovalt2lem2lem1  46766
  Copyright terms: Public domain W3C validator