Theorem nn0ge0 12535

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12512	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12280	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11246	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12519	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11330	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ℝcr 11137  0cc0 11138   < clt 11278   ≤ cle 11279  ℕcn 12249  ℕ₀cn0 12510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12536  nn0ge0i  12537  nn0le0eq0  12538  nn0p1gt0  12539  0mnnnnn0  12542  nn0addge1  12556  nn0addge2  12557  nn0negleid  12562  nn0ge0d  12574  nn0ge0div  12671  xnn0ge0  13159  xnn0xadd0  13272  nn0rp0  13478  xnn0xrge0  13529  0elfz  13647  fz0fzelfz0  13657  fz0fzdiffz0  13660  fzctr  13663  difelfzle  13664  fzoun  13719  nn0p1elfzo  13725  elfzodifsumelfzo  13753  fvinim0ffz  13808  subfzo0  13811  adddivflid  13841  modmuladdnn0  13939  addmodid  13943  modifeq2int  13957  modfzo0difsn  13967  nn0sq11  14155  zzlesq  14228  bernneq  14251  bernneq3  14253  faclbnd  14312  faclbnd6  14321  facubnd  14322  bcval5  14340  hashneq0  14386  fi1uzind  14529  ccat0  14597  ccat2s1fvw  14659  repswswrd  14805  nn0sqeq1  15298  rprisefaccl  16042  dvdseq  16334  evennn02n  16370  nn0ehalf  16398  nn0oddm1d2  16405  bitsinv1  16462  smuval2  16502  gcdn0gt0  16538  nn0gcdid0  16541  absmulgcd  16569  algcvgblem  16597  algcvga  16599  lcmgcdnn  16631  lcmfun  16665  lcmfass  16666  2mulprm  16713  nonsq  16779  hashgcdlem  16808  odzdvds  16816  pcfaclem  16919  prmirredlem  21450  prmirred  21452  coe1sclmul  22252  coe1sclmul2  22254  fvmptnn04ifb  22824  mdegle0  26071  plypf1  26206  dgrlt  26261  fta1  26305  taylfval  26355  logbgcd1irr  26792  eldmgm  27020  basellem3  27081  bcmono  27276  lgsdinn0  27344  2sq2  27432  2sqnn0  27437  2sqreulem1  27445  dchrisumlem1  27488  dchrisumlem2  27489  wwlksnextwrd  29864  wwlksnextfun  29865  wwlksnextinj  29866  wwlksnextproplem2  29877  wwlksnextproplem3  29878  wrdt2ind  32885  xrsmulgzz  32957  hashf2  34026  hasheuni  34027  reprinfz1  34578  0nn0m1nnn0  35059  faclimlem1  35684  rrntotbnd  37784  factwoffsmonot  42184  gcdnn0id  42309  pell14qrgt0  42815  pell1qrgaplem  42829  monotoddzzfi  42899  jm2.17a  42917  jm2.22  42952  rmxdiophlem  42972  rexanuz2nf  45448  wallispilem3  46027  stirlinglem7  46040  elfz2z  47273  fz0addge0  47277  elfzlble  47278  2ffzoeq  47285  addmodne  47292  iccpartigtl  47356  sqrtpwpw2p  47471  flsqrt  47526  nn0e  47630  nn0sumltlt  48212  nn0eo  48395  fllog2  48435  dignn0fr  48468  dignnld  48470  dig1  48475  itcovalt2lem2lem1  48540