Theorem nn0ge0 12624

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12601	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12362	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 922	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11303	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12608	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11389	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600

This theorem is used by:  nn0nlt0  12625  nn0ge0i  12626  nn0le0eq0  12627  nn0p1gt0  12628  0mnnnnn0  12631  nn0addge1  12645  nn0addge2  12646  nn0negleid  12651  nn0ge0d  12663  0nn0m1nnn0  12746  nn0ge0div  12761  xnn0ge0  13256  xnn0xadd0  13370  nn0rp0  13579  xnn0xrge0  13630  0elfz  13751  fz0fzelfz0  13761  fz0fzdiffz0  13764  fzctr  13767  difelfzle  13768  fzoun  13824  nn0p1elfzo  13830  elfzodifsumelfzo  13859  fvinim0ffz  13917  subfzo0  13921  adddivflid  13951  modmuladdnn0  14051  addmodid  14055  modifeq2int  14069  modfzo0difsn  14079  nn0sq11  14268  zzlesq  14343  bernneq  14366  bernneq3  14368  faclbnd  14427  faclbnd6  14436  facubnd  14437  bcval5  14455  hashneq0  14501  fi1uzind  14645  ccat0  14714  ccat2s1fvw  14779  repswswrd  14928  nn0sqeq1  15436  nn0absid  15590  rprisefaccl  16183  dvdseq  16477  evennn02n  16513  nn0ehalf  16541  nn0oddm1d2  16548  bitsinv1  16605  smuval2  16645  gcdn0gt0  16683  nn0gcdid0  16686  gcdnn0id  16693  absmulgcd  16715  algcvgblem  16745  algcvga  16747  lcmgcdnn  16779  lcmfun  16813  lcmfass  16814  2mulprm  16861  nonsq  16928  hashgcdlem  16958  odzdvds  16966  pcfaclem  17069  prmirredlem  21771  prmirred  21773  coe1sclmul  22594  coe1sclmul2  22596  fvmptnn04ifb  23162  mdegle0  26388  plypf1  26524  dgrlt  26578  fta1  26622  taylfval  26679  logbgcd1irr  27115  eldmgm  27342  basellem3  27403  bcmono  27597  lgsdinn0  27665  2sq2  27753  2sqnn0  27758  2sqreulem1  27766  dchrisumlem1  27809  dchrisumlem2  27810  wwlksnextwrd  30479  wwlksnextfun  30480  wwlksnextinj  30481  wwlksnextproplem2  30492  wwlksnextproplem3  30493  wrdt2ind  33509  xrsmulgzz  33563  hashf2  34709  hasheuni  34710  reprinfz1  35244  faclimlem1  36487  rrntotbnd  38750  pell14qrgt0  43845  pell1qrgaplem  43859  monotoddzzfi  43928  jm2.17a  43946  jm2.22  43981  rmxdiophlem  44001  rexanuz2nf  46471  wallispilem3  47046  stirlinglem7  47059  elfz2z  48354  fz0addge0  48358  elfzlble  48359  2ffzoeq  48367  addmodne  48389  iccpartigtl  48474  sqrtpwpw2p  48592  flsqrt  48647  nn0e  48764  nn0sumltlt  49431  nn0eo  49609  fllog2  49649  dignn0fr  49682  dignnld  49684  dig1  49689  itcovalt2lem2lem1  49754