Theorem nn0ge0 12578

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12324	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 907	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12562	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11376	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12579  nn0ge0i  12580  nn0le0eq0  12581  nn0p1gt0  12582  0mnnnnn0  12585  nn0addge1  12599  nn0addge2  12600  nn0negleid  12605  nn0ge0d  12616  nn0ge0div  12712  xnn0ge0  13196  xnn0xadd0  13309  nn0rp0  13515  xnn0xrge0  13566  0elfz  13681  fz0fzelfz0  13691  fz0fzdiffz0  13694  fzctr  13697  difelfzle  13698  fzoun  13753  nn0p1elfzo  13759  elfzodifsumelfzo  13782  fvinim0ffz  13836  subfzo0  13839  adddivflid  13869  modmuladdnn0  13966  addmodid  13970  modifeq2int  13984  modfzo0difsn  13994  nn0sq11  14182  zzlesq  14255  bernneq  14278  bernneq3  14280  faclbnd  14339  faclbnd6  14348  facubnd  14349  bcval5  14367  hashneq0  14413  fi1uzind  14556  ccat0  14624  ccat2s1fvw  14686  repswswrd  14832  nn0sqeq1  15325  rprisefaccl  16071  dvdseq  16362  evennn02n  16398  nn0ehalf  16426  nn0oddm1d2  16433  bitsinv1  16488  smuval2  16528  gcdn0gt0  16564  nn0gcdid0  16567  absmulgcd  16596  algcvgblem  16624  algcvga  16626  lcmgcdnn  16658  lcmfun  16692  lcmfass  16693  2mulprm  16740  nonsq  16806  hashgcdlem  16835  odzdvds  16842  pcfaclem  16945  prmirredlem  21506  prmirred  21508  coe1sclmul  22306  coe1sclmul2  22308  fvmptnn04ifb  22878  mdegle0  26136  plypf1  26271  dgrlt  26326  fta1  26368  taylfval  26418  logbgcd1irr  26855  eldmgm  27083  basellem3  27144  bcmono  27339  lgsdinn0  27407  2sq2  27495  2sqnn0  27500  2sqreulem1  27508  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  wwlksnextwrd  29930  wwlksnextfun  29931  wwlksnextinj  29932  wwlksnextproplem2  29943  wwlksnextproplem3  29944  wrdt2ind  32920  xrsmulgzz  32992  hashf2  34048  hasheuni  34049  reprinfz1  34599  0nn0m1nnn0  35080  faclimlem1  35705  rrntotbnd  37796  factwoffsmonot  42199  gcdnn0id  42316  pell14qrgt0  42815  pell1qrgaplem  42829  monotoddzzfi  42899  jm2.17a  42917  jm2.22  42952  rmxdiophlem  42972  rexanuz2nf  45408  wallispilem3  45988  stirlinglem7  46001  elfz2z  47230  fz0addge0  47234  elfzlble  47235  2ffzoeq  47242  iccpartigtl  47297  sqrtpwpw2p  47412  flsqrt  47467  nn0e  47571  nn0sumltlt  48075  nn0eo  48262  fllog2  48302  dignn0fr  48335  dignnld  48337  dig1  48342  itcovalt2lem2lem1  48407