Theorem nn0ge0 11925

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11902	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11671	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2829	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 905	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11909	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10729	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 259	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11926  nn0ge0i  11927  nn0le0eq0  11928  nn0p1gt0  11929  0mnnnnn0  11932  nn0addge1  11946  nn0addge2  11947  nn0negleid  11952  nn0ge0d  11961  nn0ge0div  12054  xnn0ge0  12531  xnn0xadd0  12643  nn0rp0  12846  xnn0xrge0  12894  0elfz  13007  fz0fzelfz0  13016  fz0fzdiffz0  13019  fzctr  13022  difelfzle  13023  fzoun  13077  nn0p1elfzo  13083  elfzodifsumelfzo  13106  fvinim0ffz  13159  subfzo0  13162  adddivflid  13191  modmuladdnn0  13286  addmodid  13290  modifeq2int  13304  modfzo0difsn  13314  nn0sq11  13500  bernneq  13593  bernneq3  13595  faclbnd  13653  faclbnd6  13662  facubnd  13663  bcval5  13681  hashneq0  13728  fi1uzind  13858  brfi1indALT  13861  ccat0  13931  ccat2s1fvw  14000  ccat2s1fvwOLD  14001  repswswrd  14148  nn0sqeq1  14638  rprisefaccl  15379  dvdseq  15666  evennn02n  15701  nn0ehalf  15731  nn0oddm1d2  15738  bitsinv1  15793  smuval2  15833  gcdn0gt0  15868  nn0gcdid0  15871  absmulgcd  15899  algcvgblem  15923  algcvga  15925  lcmgcdnn  15957  lcmfun  15991  lcmfass  15992  2mulprm  16039  nonsq  16101  hashgcdlem  16127  odzdvds  16134  pcfaclem  16236  coe1sclmul  20452  coe1sclmul2  20454  prmirredlem  20642  prmirred  20644  fvmptnn04ifb  21461  mdegle0  24673  plypf1  24804  dgrlt  24858  fta1  24899  taylfval  24949  logbgcd1irr  25374  eldmgm  25601  basellem3  25662  bcmono  25855  lgsdinn0  25923  2sq2  26011  2sqnn0  26016  2sqreulem1  26024  dchrisumlem1  26067  dchrisumlem2  26068  wwlksnextwrd  27677  wwlksnextfun  27678  wwlksnextinj  27679  wwlksnextproplem2  27691  wwlksnextproplem3  27692  wrdt2ind  30629  xrsmulgzz  30667  hashf2  31345  hasheuni  31346  reprinfz1  31895  0nn0m1nnn0  32353  faclimlem1  32977  rrntotbnd  35116  factwoffsmonot  39105  pell14qrgt0  39463  pell1qrgaplem  39477  monotoddzzfi  39546  jm2.17a  39564  jm2.22  39599  rmxdiophlem  39619  wallispilem3  42359  stirlinglem7  42372  elfz2z  43522  fz0addge0  43526  elfzlble  43527  2ffzoeq  43535  iccpartigtl  43590  sqrtpwpw2p  43707  flsqrt  43763  nn0e  43869  nn0sumltlt  44405  nn0eo  44595  fllog2  44635  dignn0fr  44668  dignnld  44670  dig1  44675