Theorem nn0ge0 12188

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11934	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 905	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10908	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12172	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10992	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12189  nn0ge0i  12190  nn0le0eq0  12191  nn0p1gt0  12192  0mnnnnn0  12195  nn0addge1  12209  nn0addge2  12210  nn0negleid  12215  nn0ge0d  12226  nn0ge0div  12319  xnn0ge0  12798  xnn0xadd0  12910  nn0rp0  13116  xnn0xrge0  13167  0elfz  13282  fz0fzelfz0  13291  fz0fzdiffz0  13294  fzctr  13297  difelfzle  13298  fzoun  13352  nn0p1elfzo  13358  elfzodifsumelfzo  13381  fvinim0ffz  13434  subfzo0  13437  adddivflid  13466  modmuladdnn0  13563  addmodid  13567  modifeq2int  13581  modfzo0difsn  13591  nn0sq11  13779  bernneq  13872  bernneq3  13874  faclbnd  13932  faclbnd6  13941  facubnd  13942  bcval5  13960  hashneq0  14007  fi1uzind  14139  ccat0  14208  ccat2s1fvw  14277  ccat2s1fvwOLD  14278  repswswrd  14425  nn0sqeq1  14916  rprisefaccl  15661  dvdseq  15951  evennn02n  15987  nn0ehalf  16015  nn0oddm1d2  16022  bitsinv1  16077  smuval2  16117  gcdn0gt0  16153  nn0gcdid0  16156  absmulgcd  16185  algcvgblem  16210  algcvga  16212  lcmgcdnn  16244  lcmfun  16278  lcmfass  16279  2mulprm  16326  nonsq  16391  hashgcdlem  16417  odzdvds  16424  pcfaclem  16527  prmirredlem  20606  prmirred  20608  coe1sclmul  21363  coe1sclmul2  21365  fvmptnn04ifb  21908  mdegle0  25147  plypf1  25278  dgrlt  25332  fta1  25373  taylfval  25423  logbgcd1irr  25849  eldmgm  26076  basellem3  26137  bcmono  26330  lgsdinn0  26398  2sq2  26486  2sqnn0  26491  2sqreulem1  26499  dchrisumlem1  26542  dchrisumlem2  26543  wwlksnextwrd  28163  wwlksnextfun  28164  wwlksnextinj  28165  wwlksnextproplem2  28176  wwlksnextproplem3  28177  wrdt2ind  31127  xrsmulgzz  31189  hashf2  31952  hasheuni  31953  reprinfz1  32502  0nn0m1nnn0  32971  faclimlem1  33615  rrntotbnd  35921  factwoffsmonot  40091  gcdnn0id  40250  pell14qrgt0  40597  pell1qrgaplem  40611  monotoddzzfi  40680  jm2.17a  40698  jm2.22  40733  rmxdiophlem  40753  wallispilem3  43498  stirlinglem7  43511  elfz2z  44695  fz0addge0  44699  elfzlble  44700  2ffzoeq  44708  iccpartigtl  44763  sqrtpwpw2p  44878  flsqrt  44933  nn0e  45037  nn0sumltlt  45574  nn0eo  45762  fllog2  45802  dignn0fr  45835  dignnld  45837  dig1  45842  itcovalt2lem2lem1  45907