Theorem nn0ge0 12401

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12378	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12151	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11109	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12385	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11194	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141   ≤ cle 11142  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12402  nn0ge0i  12403  nn0le0eq0  12404  nn0p1gt0  12405  0mnnnnn0  12408  nn0addge1  12422  nn0addge2  12423  nn0negleid  12428  nn0ge0d  12440  nn0ge0div  12537  xnn0ge0  13028  xnn0xadd0  13141  nn0rp0  13350  xnn0xrge0  13401  0elfz  13519  fz0fzelfz0  13529  fz0fzdiffz0  13532  fzctr  13535  difelfzle  13536  fzoun  13591  nn0p1elfzo  13597  elfzodifsumelfzo  13626  fvinim0ffz  13684  subfzo0  13687  adddivflid  13717  modmuladdnn0  13817  addmodid  13821  modifeq2int  13835  modfzo0difsn  13845  nn0sq11  14034  zzlesq  14108  bernneq  14131  bernneq3  14133  faclbnd  14192  faclbnd6  14201  facubnd  14202  bcval5  14220  hashneq0  14266  fi1uzind  14409  ccat0  14478  ccat2s1fvw  14541  repswswrd  14686  nn0sqeq1  15178  nn0absid  15332  rprisefaccl  15925  dvdseq  16220  evennn02n  16256  nn0ehalf  16284  nn0oddm1d2  16291  bitsinv1  16348  smuval2  16388  gcdn0gt0  16424  nn0gcdid0  16427  absmulgcd  16455  algcvgblem  16483  algcvga  16485  lcmgcdnn  16517  lcmfun  16551  lcmfass  16552  2mulprm  16599  nonsq  16665  hashgcdlem  16694  odzdvds  16702  pcfaclem  16805  prmirredlem  21404  prmirred  21406  coe1sclmul  22191  coe1sclmul2  22193  fvmptnn04ifb  22761  mdegle0  26004  plypf1  26139  dgrlt  26194  fta1  26238  taylfval  26288  logbgcd1irr  26726  eldmgm  26954  basellem3  27015  bcmono  27210  lgsdinn0  27278  2sq2  27366  2sqnn0  27371  2sqreulem1  27379  dchrisumlem1  27422  dchrisumlem2  27423  wwlksnextwrd  29870  wwlksnextfun  29871  wwlksnextinj  29872  wwlksnextproplem2  29883  wwlksnextproplem3  29884  wrdt2ind  32926  xrsmulgzz  32982  hashf2  34089  hasheuni  34090  reprinfz1  34627  0nn0m1nnn0  35149  faclimlem1  35779  rrntotbnd  37876  gcdnn0id  42362  pell14qrgt0  42892  pell1qrgaplem  42906  monotoddzzfi  42975  jm2.17a  42993  jm2.22  43028  rmxdiophlem  43048  rexanuz2nf  45530  wallispilem3  46105  stirlinglem7  46118  elfz2z  47346  fz0addge0  47350  elfzlble  47351  2ffzoeq  47358  addmodne  47375  iccpartigtl  47454  sqrtpwpw2p  47569  flsqrt  47624  nn0e  47728  nn0sumltlt  48381  nn0eo  48560  fllog2  48600  dignn0fr  48633  dignnld  48635  dig1  48640  itcovalt2lem2lem1  48705