Theorem nn0ge0 12549

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12295	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11261	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12533	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11345	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12550  nn0ge0i  12551  nn0le0eq0  12552  nn0p1gt0  12553  0mnnnnn0  12556  nn0addge1  12570  nn0addge2  12571  nn0negleid  12576  nn0ge0d  12588  nn0ge0div  12685  xnn0ge0  13173  xnn0xadd0  13286  nn0rp0  13492  xnn0xrge0  13543  0elfz  13661  fz0fzelfz0  13671  fz0fzdiffz0  13674  fzctr  13677  difelfzle  13678  fzoun  13733  nn0p1elfzo  13739  elfzodifsumelfzo  13767  fvinim0ffz  13822  subfzo0  13825  adddivflid  13855  modmuladdnn0  13953  addmodid  13957  modifeq2int  13971  modfzo0difsn  13981  nn0sq11  14169  zzlesq  14242  bernneq  14265  bernneq3  14267  faclbnd  14326  faclbnd6  14335  facubnd  14336  bcval5  14354  hashneq0  14400  fi1uzind  14543  ccat0  14611  ccat2s1fvw  14673  repswswrd  14819  nn0sqeq1  15312  rprisefaccl  16056  dvdseq  16348  evennn02n  16384  nn0ehalf  16412  nn0oddm1d2  16419  bitsinv1  16476  smuval2  16516  gcdn0gt0  16552  nn0gcdid0  16555  absmulgcd  16583  algcvgblem  16611  algcvga  16613  lcmgcdnn  16645  lcmfun  16679  lcmfass  16680  2mulprm  16727  nonsq  16793  hashgcdlem  16822  odzdvds  16829  pcfaclem  16932  prmirredlem  21501  prmirred  21503  coe1sclmul  22301  coe1sclmul2  22303  fvmptnn04ifb  22873  mdegle0  26131  plypf1  26266  dgrlt  26321  fta1  26365  taylfval  26415  logbgcd1irr  26852  eldmgm  27080  basellem3  27141  bcmono  27336  lgsdinn0  27404  2sq2  27492  2sqnn0  27497  2sqreulem1  27505  dchrisumlem1  27548  dchrisumlem2  27549  wwlksnextwrd  29927  wwlksnextfun  29928  wwlksnextinj  29929  wwlksnextproplem2  29940  wwlksnextproplem3  29941  wrdt2ind  32923  xrsmulgzz  32994  hashf2  34065  hasheuni  34066  reprinfz1  34616  0nn0m1nnn0  35097  faclimlem1  35723  rrntotbnd  37823  factwoffsmonot  42224  gcdnn0id  42343  pell14qrgt0  42847  pell1qrgaplem  42861  monotoddzzfi  42931  jm2.17a  42949  jm2.22  42984  rmxdiophlem  43004  rexanuz2nf  45443  wallispilem3  46023  stirlinglem7  46036  elfz2z  47265  fz0addge0  47269  elfzlble  47270  2ffzoeq  47277  addmodne  47284  iccpartigtl  47348  sqrtpwpw2p  47463  flsqrt  47518  nn0e  47622  nn0sumltlt  48195  nn0eo  48378  fllog2  48418  dignn0fr  48451  dignnld  48453  dig1  48458  itcovalt2lem2lem1  48523