Theorem nn0ge0 12460

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12437	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12206	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 914	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11144	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12444	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11230	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 593	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 258	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ℝcr 11035  0cc0 11036   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12461  nn0ge0i  12462  nn0le0eq0  12463  nn0p1gt0  12464  0mnnnnn0  12467  nn0addge1  12481  nn0addge2  12482  nn0negleid  12487  nn0ge0d  12499  nn0ge0div  12596  xnn0ge0  13083  xnn0xadd0  13197  nn0rp0  13406  xnn0xrge0  13457  0elfz  13576  fz0fzelfz0  13586  fz0fzdiffz0  13589  fzctr  13592  difelfzle  13593  fzoun  13649  nn0p1elfzo  13655  elfzodifsumelfzo  13684  fvinim0ffz  13742  subfzo0  13745  adddivflid  13775  modmuladdnn0  13875  addmodid  13879  modifeq2int  13893  modfzo0difsn  13903  nn0sq11  14092  zzlesq  14166  bernneq  14189  bernneq3  14191  faclbnd  14250  faclbnd6  14259  facubnd  14260  bcval5  14278  hashneq0  14324  fi1uzind  14467  ccat0  14536  ccat2s1fvw  14599  repswswrd  14744  nn0sqeq1  15236  nn0absid  15390  rprisefaccl  15986  dvdseq  16281  evennn02n  16317  nn0ehalf  16345  nn0oddm1d2  16352  bitsinv1  16409  smuval2  16449  gcdn0gt0  16485  nn0gcdid0  16488  absmulgcd  16516  algcvgblem  16544  algcvga  16546  lcmgcdnn  16578  lcmfun  16612  lcmfass  16613  2mulprm  16660  nonsq  16727  hashgcdlem  16756  odzdvds  16764  pcfaclem  16867  prmirredlem  21454  prmirred  21456  coe1sclmul  22275  coe1sclmul2  22277  fvmptnn04ifb  22841  mdegle0  26067  plypf1  26202  dgrlt  26256  fta1  26299  taylfval  26349  logbgcd1irr  26783  eldmgm  27010  basellem3  27071  bcmono  27265  lgsdinn0  27333  2sq2  27421  2sqnn0  27426  2sqreulem1  27434  dchrisumlem1  27477  dchrisumlem2  27478  wwlksnextwrd  29990  wwlksnextfun  29991  wwlksnextinj  29992  wwlksnextproplem2  30003  wwlksnextproplem3  30004  wrdt2ind  33039  xrsmulgzz  33095  hashf2  34275  hasheuni  34276  reprinfz1  34813  0nn0m1nnn0  35348  faclimlem1  35978  rrntotbnd  38210  gcdnn0id  42813  pell14qrgt0  43311  pell1qrgaplem  43325  monotoddzzfi  43394  jm2.17a  43412  jm2.22  43447  rmxdiophlem  43467  rexanuz2nf  45942  wallispilem3  46517  stirlinglem7  46530  elfz2z  47785  fz0addge0  47789  elfzlble  47790  2ffzoeq  47798  addmodne  47820  iccpartigtl  47905  sqrtpwpw2p  48023  flsqrt  48078  nn0e  48195  nn0sumltlt  48848  nn0eo  49026  fllog2  49066  dignn0fr  49099  dignnld  49101  dig1  49106  itcovalt2lem2lem1  49171