Theorem nn0ge0 12553

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12530	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12291	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 922	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12537	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11320	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 599	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529

This theorem is used by:  nn0nlt0  12554  nn0ge0i  12555  nn0le0eq0  12556  nn0p1gt0  12557  0mnnnnn0  12560  nn0addge1  12574  nn0addge2  12575  nn0negleid  12580  nn0ge0d  12592  0nn0m1nnn0  12675  nn0ge0div  12690  xnn0ge0  13185  xnn0xadd0  13299  nn0rp0  13508  xnn0xrge0  13559  0elfz  13679  fz0fzelfz0  13689  fz0fzdiffz0  13692  fzctr  13695  difelfzle  13696  fzoun  13752  nn0p1elfzo  13758  elfzodifsumelfzo  13787  fvinim0ffz  13845  subfzo0  13849  adddivflid  13879  modmuladdnn0  13979  addmodid  13983  modifeq2int  13997  modfzo0difsn  14007  nn0sq11  14196  zzlesq  14270  bernneq  14293  bernneq3  14295  faclbnd  14354  faclbnd6  14363  facubnd  14364  bcval5  14382  hashneq0  14428  fi1uzind  14572  ccat0  14641  ccat2s1fvw  14706  repswswrd  14855  nn0sqeq1  15363  nn0absid  15517  rprisefaccl  16110  dvdseq  16404  evennn02n  16440  nn0ehalf  16468  nn0oddm1d2  16475  bitsinv1  16532  smuval2  16572  gcdn0gt0  16608  nn0gcdid0  16611  absmulgcd  16639  algcvgblem  16667  algcvga  16669  lcmgcdnn  16701  lcmfun  16735  lcmfass  16736  2mulprm  16783  nonsq  16850  hashgcdlem  16879  odzdvds  16887  pcfaclem  16990  prmirredlem  21685  prmirred  21687  coe1sclmul  22508  coe1sclmul2  22510  fvmptnn04ifb  23076  mdegle0  26302  plypf1  26438  dgrlt  26492  fta1  26538  taylfval  26595  logbgcd1irr  27031  eldmgm  27258  basellem3  27319  bcmono  27513  lgsdinn0  27581  2sq2  27669  2sqnn0  27674  2sqreulem1  27682  dchrisumlem1  27725  dchrisumlem2  27726  wwlksnextwrd  30365  wwlksnextfun  30366  wwlksnextinj  30367  wwlksnextproplem2  30378  wwlksnextproplem3  30379  wrdt2ind  33395  xrsmulgzz  33449  hashf2  34594  hasheuni  34595  reprinfz1  35130  faclimlem1  36322  rrntotbnd  38586  gcdnn0id  43204  pell14qrgt0  43700  pell1qrgaplem  43714  monotoddzzfi  43783  jm2.17a  43801  jm2.22  43836  rmxdiophlem  43856  rexanuz2nf  46320  wallispilem3  46895  stirlinglem7  46908  elfz2z  48203  fz0addge0  48207  elfzlble  48208  2ffzoeq  48216  addmodne  48238  iccpartigtl  48323  sqrtpwpw2p  48441  flsqrt  48496  nn0e  48613  nn0sumltlt  49280  nn0eo  49458  fllog2  49498  dignn0fr  49531  dignnld  49533  dig1  49538  itcovalt2lem2lem1  49603