Theorem nn0ge0 11776

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11753	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11522	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2803	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 903	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10496	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11760	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10580	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 258	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∨ wo 842   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ℝcr 10389  0cc0 10390   < clt 10528   ≤ cle 10529  ℕcn 11492  ℕ₀cn0 11751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11777  nn0ge0i  11778  nn0le0eq0  11779  nn0p1gt0  11780  0mnnnnn0  11783  nn0addge1  11797  nn0addge2  11798  nn0negleid  11803  nn0ge0d  11812  nn0ge0div  11905  xnn0ge0  12382  xnn0xadd0  12494  nn0rp0  12697  xnn0xrge0  12745  0elfz  12858  fz0fzelfz0  12867  fz0fzdiffz0  12870  fzctr  12873  difelfzle  12874  fzoun  12928  nn0p1elfzo  12934  elfzodifsumelfzo  12957  fvinim0ffz  13010  subfzo0  13013  adddivflid  13042  modmuladdnn0  13137  addmodid  13141  modifeq2int  13155  modfzo0difsn  13165  nn0sq11  13351  bernneq  13444  bernneq3  13446  faclbnd  13504  faclbnd6  13513  facubnd  13514  bcval5  13532  hashneq0  13579  fi1uzind  13705  brfi1indALT  13708  ccat0  13778  ccat2s1fvw  13840  repswswrd  13986  nn0sqeq1  14474  rprisefaccl  15214  dvdseq  15501  evennn02n  15536  nn0ehalf  15566  nn0oddm1d2  15573  bitsinv1  15628  smuval2  15668  gcdn0gt0  15703  nn0gcdid0  15706  absmulgcd  15730  algcvgblem  15754  algcvga  15756  lcmgcdnn  15788  lcmfun  15822  lcmfass  15823  2mulprm  15870  nonsq  15932  hashgcdlem  15958  odzdvds  15965  pcfaclem  16067  coe1sclmul  20137  coe1sclmul2  20139  prmirredlem  20326  prmirred  20328  fvmptnn04ifb  21147  mdegle0  24358  plypf1  24489  dgrlt  24543  fta1  24584  taylfval  24634  logbgcd1irr  25057  eldmgm  25285  basellem3  25346  bcmono  25539  lgsdinn0  25607  2sq2  25695  2sqnn0  25700  2sqreulem1  25708  dchrisumlem1  25751  dchrisumlem2  25752  wwlksnextwrd  27361  wwlksnextfun  27362  wwlksnextinj  27363  wwlksnextproplem2  27375  wwlksnextproplem3  27376  wrdt2ind  30302  xrsmulgzz  30335  hashf2  30956  hasheuni  30957  reprinfz1  31506  0nn0m1nnn0  31961  faclimlem1  32585  rrntotbnd  34667  pell14qrgt0  38962  pell1qrgaplem  38976  monotoddzzfi  39045  jm2.17a  39063  jm2.22  39098  rmxdiophlem  39118  wallispilem3  41916  stirlinglem7  41929  elfz2z  43053  fz0addge0  43057  elfzlble  43058  2ffzoeq  43066  iccpartigtl  43087  sqrtpwpw2p  43204  flsqrt  43260  nn0e  43366  nn0sumltlt  43898  nn0eo  44091  fllog2  44131  dignn0fr  44164  dignnld  44166  dig1  44171