Theorem nn0ge0 11959

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11936	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11705	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 906	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10681	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11943	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10765	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 590	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  ℝcr 10574  0cc0 10575   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  ℕ₀cn0 11934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11960  nn0ge0i  11961  nn0le0eq0  11962  nn0p1gt0  11963  0mnnnnn0  11966  nn0addge1  11980  nn0addge2  11981  nn0negleid  11986  nn0ge0d  11997  nn0ge0div  12090  xnn0ge0  12569  xnn0xadd0  12681  nn0rp0  12887  xnn0xrge0  12938  0elfz  13053  fz0fzelfz0  13062  fz0fzdiffz0  13065  fzctr  13068  difelfzle  13069  fzoun  13123  nn0p1elfzo  13129  elfzodifsumelfzo  13152  fvinim0ffz  13205  subfzo0  13208  adddivflid  13237  modmuladdnn0  13332  addmodid  13336  modifeq2int  13350  modfzo0difsn  13360  nn0sq11  13547  bernneq  13640  bernneq3  13642  faclbnd  13700  faclbnd6  13709  facubnd  13710  bcval5  13728  hashneq0  13775  fi1uzind  13907  ccat0  13976  ccat2s1fvw  14045  ccat2s1fvwOLD  14046  repswswrd  14193  nn0sqeq1  14684  rprisefaccl  15425  dvdseq  15715  evennn02n  15751  nn0ehalf  15779  nn0oddm1d2  15786  bitsinv1  15841  smuval2  15881  gcdn0gt0  15917  nn0gcdid0  15920  absmulgcd  15948  algcvgblem  15973  algcvga  15975  lcmgcdnn  16007  lcmfun  16041  lcmfass  16042  2mulprm  16089  nonsq  16154  hashgcdlem  16180  odzdvds  16187  pcfaclem  16289  prmirredlem  20262  prmirred  20264  coe1sclmul  21006  coe1sclmul2  21008  fvmptnn04ifb  21551  mdegle0  24777  plypf1  24908  dgrlt  24962  fta1  25003  taylfval  25053  logbgcd1irr  25479  eldmgm  25706  basellem3  25767  bcmono  25960  lgsdinn0  26028  2sq2  26116  2sqnn0  26121  2sqreulem1  26129  dchrisumlem1  26172  dchrisumlem2  26173  wwlksnextwrd  27782  wwlksnextfun  27783  wwlksnextinj  27784  wwlksnextproplem2  27795  wwlksnextproplem3  27796  wrdt2ind  30749  xrsmulgzz  30813  hashf2  31571  hasheuni  31572  reprinfz1  32121  0nn0m1nnn0  32579  faclimlem1  33224  rrntotbnd  35554  factwoffsmonot  39685  gcdnn0id  39826  pell14qrgt0  40173  pell1qrgaplem  40187  monotoddzzfi  40256  jm2.17a  40274  jm2.22  40309  rmxdiophlem  40329  wallispilem3  43075  stirlinglem7  43088  elfz2z  44240  fz0addge0  44244  elfzlble  44245  2ffzoeq  44253  iccpartigtl  44308  sqrtpwpw2p  44423  flsqrt  44478  nn0e  44582  nn0sumltlt  45119  nn0eo  45307  fllog2  45347  dignn0fr  45380  dignnld  45382  dig1  45387  itcovalt2lem2lem1  45452