Theorem nn0ge0 12493

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12470	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 907	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11212	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12477	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11296	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12494  nn0ge0i  12495  nn0le0eq0  12496  nn0p1gt0  12497  0mnnnnn0  12500  nn0addge1  12514  nn0addge2  12515  nn0negleid  12520  nn0ge0d  12531  nn0ge0div  12627  xnn0ge0  13109  xnn0xadd0  13222  nn0rp0  13428  xnn0xrge0  13479  0elfz  13594  fz0fzelfz0  13603  fz0fzdiffz0  13606  fzctr  13609  difelfzle  13610  fzoun  13665  nn0p1elfzo  13671  elfzodifsumelfzo  13694  fvinim0ffz  13747  subfzo0  13750  adddivflid  13779  modmuladdnn0  13876  addmodid  13880  modifeq2int  13894  modfzo0difsn  13904  nn0sq11  14093  zzlesq  14166  bernneq  14188  bernneq3  14190  faclbnd  14246  faclbnd6  14255  facubnd  14256  bcval5  14274  hashneq0  14320  fi1uzind  14454  ccat0  14522  ccat2s1fvw  14584  repswswrd  14730  nn0sqeq1  15219  rprisefaccl  15963  dvdseq  16253  evennn02n  16289  nn0ehalf  16317  nn0oddm1d2  16324  bitsinv1  16379  smuval2  16419  gcdn0gt0  16455  nn0gcdid0  16458  absmulgcd  16487  algcvgblem  16510  algcvga  16512  lcmgcdnn  16544  lcmfun  16578  lcmfass  16579  2mulprm  16626  nonsq  16691  hashgcdlem  16717  odzdvds  16724  pcfaclem  16827  prmirredlem  21033  prmirred  21035  coe1sclmul  21795  coe1sclmul2  21797  fvmptnn04ifb  22344  mdegle0  25586  plypf1  25717  dgrlt  25771  fta1  25812  taylfval  25862  logbgcd1irr  26288  eldmgm  26515  basellem3  26576  bcmono  26769  lgsdinn0  26837  2sq2  26925  2sqnn0  26930  2sqreulem1  26938  dchrisumlem1  26981  dchrisumlem2  26982  wwlksnextwrd  29140  wwlksnextfun  29141  wwlksnextinj  29142  wwlksnextproplem2  29153  wwlksnextproplem3  29154  wrdt2ind  32104  xrsmulgzz  32166  hashf2  33070  hasheuni  33071  reprinfz1  33622  0nn0m1nnn0  34090  faclimlem1  34701  rrntotbnd  36692  factwoffsmonot  41011  gcdnn0id  41215  pell14qrgt0  41582  pell1qrgaplem  41596  monotoddzzfi  41666  jm2.17a  41684  jm2.22  41719  rmxdiophlem  41739  rexanuz2nf  44189  wallispilem3  44769  stirlinglem7  44782  elfz2z  46009  fz0addge0  46013  elfzlble  46014  2ffzoeq  46022  iccpartigtl  46077  sqrtpwpw2p  46192  flsqrt  46247  nn0e  46351  nn0sumltlt  46979  nn0eo  47167  fllog2  47207  dignn0fr  47240  dignnld  47242  dig1  47247  itcovalt2lem2lem1  47312