Theorem nn0ge0 12467

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12444	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12217	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11176	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12451	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11260	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12468  nn0ge0i  12469  nn0le0eq0  12470  nn0p1gt0  12471  0mnnnnn0  12474  nn0addge1  12488  nn0addge2  12489  nn0negleid  12494  nn0ge0d  12506  nn0ge0div  12603  xnn0ge0  13094  xnn0xadd0  13207  nn0rp0  13416  xnn0xrge0  13467  0elfz  13585  fz0fzelfz0  13595  fz0fzdiffz0  13598  fzctr  13601  difelfzle  13602  fzoun  13657  nn0p1elfzo  13663  elfzodifsumelfzo  13692  fvinim0ffz  13747  subfzo0  13750  adddivflid  13780  modmuladdnn0  13880  addmodid  13884  modifeq2int  13898  modfzo0difsn  13908  nn0sq11  14097  zzlesq  14171  bernneq  14194  bernneq3  14196  faclbnd  14255  faclbnd6  14264  facubnd  14265  bcval5  14283  hashneq0  14329  fi1uzind  14472  ccat0  14541  ccat2s1fvw  14603  repswswrd  14749  nn0sqeq1  15242  nn0absid  15396  rprisefaccl  15989  dvdseq  16284  evennn02n  16320  nn0ehalf  16348  nn0oddm1d2  16355  bitsinv1  16412  smuval2  16452  gcdn0gt0  16488  nn0gcdid0  16491  absmulgcd  16519  algcvgblem  16547  algcvga  16549  lcmgcdnn  16581  lcmfun  16615  lcmfass  16616  2mulprm  16663  nonsq  16729  hashgcdlem  16758  odzdvds  16766  pcfaclem  16869  prmirredlem  21382  prmirred  21384  coe1sclmul  22168  coe1sclmul2  22170  fvmptnn04ifb  22738  mdegle0  25982  plypf1  26117  dgrlt  26172  fta1  26216  taylfval  26266  logbgcd1irr  26704  eldmgm  26932  basellem3  26993  bcmono  27188  lgsdinn0  27256  2sq2  27344  2sqnn0  27349  2sqreulem1  27357  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  wwlksnextwrd  29827  wwlksnextfun  29828  wwlksnextinj  29829  wwlksnextproplem2  29840  wwlksnextproplem3  29841  wrdt2ind  32875  xrsmulgzz  32947  hashf2  34074  hasheuni  34075  reprinfz1  34613  0nn0m1nnn0  35100  faclimlem1  35730  rrntotbnd  37830  gcdnn0id  42317  pell14qrgt0  42847  pell1qrgaplem  42861  monotoddzzfi  42931  jm2.17a  42949  jm2.22  42984  rmxdiophlem  43004  rexanuz2nf  45488  wallispilem3  46065  stirlinglem7  46078  elfz2z  47316  fz0addge0  47320  elfzlble  47321  2ffzoeq  47328  addmodne  47345  iccpartigtl  47424  sqrtpwpw2p  47539  flsqrt  47594  nn0e  47698  nn0sumltlt  48338  nn0eo  48517  fllog2  48557  dignn0fr  48590  dignnld  48592  dig1  48597  itcovalt2lem2lem1  48662