Theorem nn0ge0 12497

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12474	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12243	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11216	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12481	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11300	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12498  nn0ge0i  12499  nn0le0eq0  12500  nn0p1gt0  12501  0mnnnnn0  12504  nn0addge1  12518  nn0addge2  12519  nn0negleid  12524  nn0ge0d  12535  nn0ge0div  12631  xnn0ge0  13113  xnn0xadd0  13226  nn0rp0  13432  xnn0xrge0  13483  0elfz  13598  fz0fzelfz0  13607  fz0fzdiffz0  13610  fzctr  13613  difelfzle  13614  fzoun  13669  nn0p1elfzo  13675  elfzodifsumelfzo  13698  fvinim0ffz  13751  subfzo0  13754  adddivflid  13783  modmuladdnn0  13880  addmodid  13884  modifeq2int  13898  modfzo0difsn  13908  nn0sq11  14097  zzlesq  14170  bernneq  14192  bernneq3  14194  faclbnd  14250  faclbnd6  14259  facubnd  14260  bcval5  14278  hashneq0  14324  fi1uzind  14458  ccat0  14526  ccat2s1fvw  14588  repswswrd  14734  nn0sqeq1  15223  rprisefaccl  15967  dvdseq  16257  evennn02n  16293  nn0ehalf  16321  nn0oddm1d2  16328  bitsinv1  16383  smuval2  16423  gcdn0gt0  16459  nn0gcdid0  16462  absmulgcd  16491  algcvgblem  16514  algcvga  16516  lcmgcdnn  16548  lcmfun  16582  lcmfass  16583  2mulprm  16630  nonsq  16695  hashgcdlem  16721  odzdvds  16728  pcfaclem  16831  prmirredlem  21042  prmirred  21044  coe1sclmul  21804  coe1sclmul2  21806  fvmptnn04ifb  22353  mdegle0  25595  plypf1  25726  dgrlt  25780  fta1  25821  taylfval  25871  logbgcd1irr  26299  eldmgm  26526  basellem3  26587  bcmono  26780  lgsdinn0  26848  2sq2  26936  2sqnn0  26941  2sqreulem1  26949  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  wwlksnextwrd  29182  wwlksnextfun  29183  wwlksnextinj  29184  wwlksnextproplem2  29195  wwlksnextproplem3  29196  wrdt2ind  32148  xrsmulgzz  32210  hashf2  33113  hasheuni  33114  reprinfz1  33665  0nn0m1nnn0  34133  faclimlem1  34744  rrntotbnd  36752  factwoffsmonot  41071  gcdnn0id  41268  pell14qrgt0  41645  pell1qrgaplem  41659  monotoddzzfi  41729  jm2.17a  41747  jm2.22  41782  rmxdiophlem  41802  rexanuz2nf  44251  wallispilem3  44831  stirlinglem7  44844  elfz2z  46071  fz0addge0  46075  elfzlble  46076  2ffzoeq  46084  iccpartigtl  46139  sqrtpwpw2p  46254  flsqrt  46309  nn0e  46413  nn0sumltlt  47074  nn0eo  47262  fllog2  47302  dignn0fr  47335  dignnld  47337  dig1  47342  itcovalt2lem2lem1  47407