Theorem nn0ge0 12417

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12394	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2739	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 908	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11125	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12401	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11210	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11016  0cc0 11017   < clt 11157   ≤ cle 11158  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12418  nn0ge0i  12419  nn0le0eq0  12420  nn0p1gt0  12421  0mnnnnn0  12424  nn0addge1  12438  nn0addge2  12439  nn0negleid  12444  nn0ge0d  12456  nn0ge0div  12552  xnn0ge0  13039  xnn0xadd0  13153  nn0rp0  13362  xnn0xrge0  13413  0elfz  13531  fz0fzelfz0  13541  fz0fzdiffz0  13544  fzctr  13547  difelfzle  13548  fzoun  13603  nn0p1elfzo  13609  elfzodifsumelfzo  13638  fvinim0ffz  13696  subfzo0  13699  adddivflid  13729  modmuladdnn0  13829  addmodid  13833  modifeq2int  13847  modfzo0difsn  13857  nn0sq11  14046  zzlesq  14120  bernneq  14143  bernneq3  14145  faclbnd  14204  faclbnd6  14213  facubnd  14214  bcval5  14232  hashneq0  14278  fi1uzind  14421  ccat0  14490  ccat2s1fvw  14553  repswswrd  14698  nn0sqeq1  15190  nn0absid  15344  rprisefaccl  15937  dvdseq  16232  evennn02n  16268  nn0ehalf  16296  nn0oddm1d2  16303  bitsinv1  16360  smuval2  16400  gcdn0gt0  16436  nn0gcdid0  16439  absmulgcd  16467  algcvgblem  16495  algcvga  16497  lcmgcdnn  16529  lcmfun  16563  lcmfass  16564  2mulprm  16611  nonsq  16677  hashgcdlem  16706  odzdvds  16714  pcfaclem  16817  prmirredlem  21418  prmirred  21420  coe1sclmul  22215  coe1sclmul2  22217  fvmptnn04ifb  22786  mdegle0  26029  plypf1  26164  dgrlt  26219  fta1  26263  taylfval  26313  logbgcd1irr  26751  eldmgm  26979  basellem3  27040  bcmono  27235  lgsdinn0  27303  2sq2  27391  2sqnn0  27396  2sqreulem1  27404  dchrisumlem1  27447  dchrisumlem2  27448  wwlksnextwrd  29896  wwlksnextfun  29897  wwlksnextinj  29898  wwlksnextproplem2  29909  wwlksnextproplem3  29910  wrdt2ind  32963  xrsmulgzz  33019  hashf2  34169  hasheuni  34170  reprinfz1  34707  0nn0m1nnn0  35229  faclimlem1  35859  rrntotbnd  37949  gcdnn0id  42499  pell14qrgt0  43016  pell1qrgaplem  43030  monotoddzzfi  43099  jm2.17a  43117  jm2.22  43152  rmxdiophlem  43172  rexanuz2nf  45652  wallispilem3  46227  stirlinglem7  46240  elfz2z  47477  fz0addge0  47481  elfzlble  47482  2ffzoeq  47489  addmodne  47506  iccpartigtl  47585  sqrtpwpw2p  47700  flsqrt  47755  nn0e  47859  nn0sumltlt  48512  nn0eo  48690  fllog2  48730  dignn0fr  48763  dignnld  48765  dig1  48770  itcovalt2lem2lem1  48835