Theorem nn0ge0 12530

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12507	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12268	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 921	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11211	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12514	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11297	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 598	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100  0cc0 11101   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12531  nn0ge0i  12532  nn0le0eq0  12533  nn0p1gt0  12534  0mnnnnn0  12537  nn0addge1  12551  nn0addge2  12552  nn0negleid  12557  nn0ge0d  12569  nn0ge0div  12666  xnn0ge0  13160  xnn0xadd0  13274  nn0rp0  13483  xnn0xrge0  13534  0elfz  13654  fz0fzelfz0  13664  fz0fzdiffz0  13667  fzctr  13670  difelfzle  13671  fzoun  13727  nn0p1elfzo  13733  elfzodifsumelfzo  13762  fvinim0ffz  13820  subfzo0  13823  adddivflid  13853  modmuladdnn0  13953  addmodid  13957  modifeq2int  13971  modfzo0difsn  13981  nn0sq11  14170  zzlesq  14244  bernneq  14267  bernneq3  14269  faclbnd  14328  faclbnd6  14337  facubnd  14338  bcval5  14356  hashneq0  14402  fi1uzind  14546  ccat0  14615  ccat2s1fvw  14678  repswswrd  14823  nn0sqeq1  15329  nn0absid  15483  rprisefaccl  16079  dvdseq  16373  evennn02n  16409  nn0ehalf  16437  nn0oddm1d2  16444  bitsinv1  16501  smuval2  16541  gcdn0gt0  16577  nn0gcdid0  16580  absmulgcd  16608  algcvgblem  16636  algcvga  16638  lcmgcdnn  16670  lcmfun  16704  lcmfass  16705  2mulprm  16752  nonsq  16819  hashgcdlem  16848  odzdvds  16856  pcfaclem  16959  prmirredlem  21603  prmirred  21605  coe1sclmul  22424  coe1sclmul2  22426  fvmptnn04ifb  22989  mdegle0  26215  plypf1  26350  dgrlt  26404  fta1  26450  taylfval  26503  logbgcd1irr  26940  eldmgm  27167  basellem3  27228  bcmono  27422  lgsdinn0  27490  2sq2  27578  2sqnn0  27583  2sqreulem1  27591  dchrisumlem1  27634  dchrisumlem2  27635  wwlksnextwrd  30227  wwlksnextfun  30228  wwlksnextinj  30229  wwlksnextproplem2  30240  wwlksnextproplem3  30241  wrdt2ind  33254  xrsmulgzz  33310  hashf2  34455  hasheuni  34456  reprinfz1  34990  0nn0m1nnn0  35585  faclimlem1  36216  rrntotbnd  38468  gcdnn0id  43071  pell14qrgt0  43569  pell1qrgaplem  43583  monotoddzzfi  43652  jm2.17a  43670  jm2.22  43705  rmxdiophlem  43725  rexanuz2nf  46189  wallispilem3  46764  stirlinglem7  46777  elfz2z  48035  fz0addge0  48039  elfzlble  48040  2ffzoeq  48048  addmodne  48070  iccpartigtl  48155  sqrtpwpw2p  48273  flsqrt  48328  nn0e  48445  nn0sumltlt  49113  nn0eo  49291  fllog2  49331  dignn0fr  49364  dignnld  49366  dig1  49371  itcovalt2lem2lem1  49436