Theorem nn0ge0 12500

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12477	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 12238	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 919	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 11177	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 12484	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 11263	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 596	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 259	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11066  0cc0 11067   < clt 11210   ≤ cle 11211  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  12501  nn0ge0i  12502  nn0le0eq0  12503  nn0p1gt0  12504  0mnnnnn0  12507  nn0addge1  12521  nn0addge2  12522  nn0negleid  12527  nn0ge0d  12539  nn0ge0div  12636  xnn0ge0  13130  xnn0xadd0  13244  nn0rp0  13453  xnn0xrge0  13504  0elfz  13623  fz0fzelfz0  13633  fz0fzdiffz0  13636  fzctr  13639  difelfzle  13640  fzoun  13696  nn0p1elfzo  13702  elfzodifsumelfzo  13731  fvinim0ffz  13789  subfzo0  13792  adddivflid  13822  modmuladdnn0  13922  addmodid  13926  modifeq2int  13940  modfzo0difsn  13950  nn0sq11  14139  zzlesq  14213  bernneq  14236  bernneq3  14238  faclbnd  14297  faclbnd6  14306  facubnd  14307  bcval5  14325  hashneq0  14371  fi1uzind  14514  ccat0  14583  ccat2s1fvw  14646  repswswrd  14791  nn0sqeq1  15294  nn0absid  15448  rprisefaccl  16044  dvdseq  16339  evennn02n  16375  nn0ehalf  16403  nn0oddm1d2  16410  bitsinv1  16467  smuval2  16507  gcdn0gt0  16543  nn0gcdid0  16546  absmulgcd  16574  algcvgblem  16602  algcvga  16604  lcmgcdnn  16636  lcmfun  16670  lcmfass  16671  2mulprm  16718  nonsq  16785  hashgcdlem  16814  odzdvds  16822  pcfaclem  16925  prmirredlem  21512  prmirred  21514  coe1sclmul  22333  coe1sclmul2  22335  fvmptnn04ifb  22899  mdegle0  26125  plypf1  26260  dgrlt  26314  fta1  26360  taylfval  26410  logbgcd1irr  26847  eldmgm  27074  basellem3  27135  bcmono  27329  lgsdinn0  27397  2sq2  27485  2sqnn0  27490  2sqreulem1  27498  dchrisumlem1  27541  dchrisumlem2  27542  wwlksnextwrd  30054  wwlksnextfun  30055  wwlksnextinj  30056  wwlksnextproplem2  30067  wwlksnextproplem3  30068  wrdt2ind  33092  xrsmulgzz  33148  hashf2  34342  hasheuni  34343  reprinfz1  34877  0nn0m1nnn0  35424  faclimlem1  36054  rrntotbnd  38296  gcdnn0id  42899  pell14qrgt0  43397  pell1qrgaplem  43411  monotoddzzfi  43480  jm2.17a  43498  jm2.22  43533  rmxdiophlem  43553  rexanuz2nf  46027  wallispilem3  46602  stirlinglem7  46615  elfz2z  47870  fz0addge0  47874  elfzlble  47875  2ffzoeq  47883  addmodne  47905  iccpartigtl  47990  sqrtpwpw2p  48108  flsqrt  48163  nn0e  48280  nn0sumltlt  48933  nn0eo  49111  fllog2  49151  dignn0fr  49184  dignnld  49186  dig1  49191  itcovalt2lem2lem1  49256