Theorem elfzlble 45705

Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers with the integer as upper bound and a lower bound less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzlble	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzlble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12548	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12569	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
4		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		nn0ge0 12462	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
7		zre 12527	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nn0re 12446	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		subge02 11695	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁))
11	6, 10	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁)
12		eluz2 12793	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁))
13	3, 4, 11, 12	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑀)))
14		eluzfz2 13474	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑀)) → 𝑁 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))
15	13, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5125  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377  ℝcr 11074  0cc0 11075   ≤ cle 11214   − cmin 11409  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12523  ℤ_≥cuz 12787  ...cfz 13449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450

This theorem is referenced by: (None)