Theorem elfzlble 47981

Description: Membership of an integer in a finite set of sequential integers with the integer as upper bound and a lower bound less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 21-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzlble	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Proof of Theorem elfzlble

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12615	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		zsubcl 12636	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	1, 2	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		nn0ge0 12529	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
7		zre 12595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nn0re 12513	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		subge02 11730	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁))
10	7, 8, 9	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁))
11	6, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁)
12		eluz2 12868	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑀)) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝑀) ≤ 𝑁))
13	3, 4, 11, 12	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑀)))
14		eluzfz2 13560	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 𝑀)) → 𝑁 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))
15	13, 14	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ((𝑁 − 𝑀)...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536

This theorem is referenced by: (None)