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Theorem 2elfz2melfz 47268
Description: If the sum of two integers of a 0-based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0-based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13561 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 elfzel2 13559 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 13561 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 zsubcl 12657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
65adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
74, 6zsubcld 12725 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ)
9 zre 12615 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11 zaddcl 12655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
1211zred 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
1312expcom 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
1514imp 406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
1610, 15, 10ltsub1d 11870 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
17 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
189, 17anim12i 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19 zre 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2018, 19anim12i 613 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221, 21resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁𝑁) ∈ ℝ)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝑁) ∈ ℝ)
24 readdcl 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2524expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
2726imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
28 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2927, 28resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ)
3023, 29jca 511 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ))
31 ltle 11347 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
3220, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
33 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3433subidd 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁𝑁) = 0)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝑁) = 0)
36 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3933ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4442, 43addcomd 11461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4544oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
46 subsub3 11539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
4745, 46eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁𝐴)))
4838, 39, 41, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁𝐴)))
4935, 48breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5032, 49sylibd 239 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5116, 50sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5251imp 406 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴)))
53 elnn0z 12624 . . . . . . . 8 ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
548, 52, 53sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
5554exp31 419 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)))
562, 3, 55syl2anc 584 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)))
571, 56mpan9 506 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
5857imp 406 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
59 elfznn0 13657 . . . 4 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6059ad2antrr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
61 elfzle2 13565 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵𝑁)
6261adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑁)
63 elfzel2 13559 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463zcnd 12721 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
651zcnd 12721 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
6664, 65jca 511 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
68 npcan 11515 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑁𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
7062, 69breqtrrd 5176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ ((𝑁𝐴) + 𝐴))
713zred 12720 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
7271adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7363zred 12720 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
741zred 12720 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7774adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7872, 76, 77lesubadd2d 11860 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴𝐵 ≤ ((𝑁𝐴) + 𝐴)))
7970, 78mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴)
8079adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴)
81 elfz2nn0 13655 . . 3 ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴))
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1342 . 2 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴))
8382ex 412 1 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
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