Theorem 2elfz2melfz 44698

Description: If the sum of two integers of a 0-based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0-based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2elfz2melfz	⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem 2elfz2melfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13185	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzel2 13183	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13185	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
6	5	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ)
9		zre 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		zaddcl 12290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
15	14	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
16	10, 15, 10	ltsub1d 11514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
17		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	9, 17	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19		zre 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
20	18, 19	anim12i 612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21, 21	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ)
24		readdcl 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
27	26	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
28		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ)
30	23, 29	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ))
31		ltle 10994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
32	20, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
33		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	subidd 11250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑁) = 0)
35	34	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
36		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	33	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	42, 43	addcomd 11107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
45	44	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
46		subsub3 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
47	45, 46	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
48	38, 39, 41, 47	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
49	35, 48	breq12d 5083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
50	32, 49	sylibd 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
51	16, 50	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
52	51	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
53		elnn0z 12262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
54	8, 52, 53	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
55	54	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)))
56	2, 3, 55	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)))
57	1, 56	mpan9 506	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
58	57	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
59		elfznn0 13278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	59	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
61		elfzle2 13189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ≤ 𝑁)
62	61	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ 𝑁)
63		elfzel2 13183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
65	1	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	64, 65	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
68		npcan 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
70	62, 69	breqtrrd 5098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴))
71	3	zred 12355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
72	71	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
73	63	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
74	1	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
76	75	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
77	74	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
78	72, 76, 77	lesubadd2d 11504	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴)))
79	70, 78	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
80	79	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
81		elfz2nn0 13276	. . 3 ⊢ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴))
82	58, 60, 80, 81	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴))
83	82	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by: (None)