Theorem 2elfz2melfz 43034

Description: If the sum of two integers of a 0-based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0-based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2elfz2melfz	⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem 2elfz2melfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12758	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzel2 12756	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 12758	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zsubcl 11873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
6	5	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ)
9		zre 11833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		zaddcl 11871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11	zred 11936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	expcom 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
15	14	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
16	10, 15, 10	ltsub1d 11097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
17		zre 11833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	9, 17	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19		zre 11833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
20	18, 19	anim12i 612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21, 21	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ)
24		readdcl 10466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
25	24	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
28		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28	resubcld 10916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ)
30	23, 29	jca 512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ))
31		ltle 10576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
32	20, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
33		zcn 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	subidd 10833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑁) = 0)
35	34	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
36		zcn 11834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	33	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40		zcn 11834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		simp3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		simp1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	42, 43	addcomd 10689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
45	44	oveq1d 7031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
46		subsub3 10766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
47	45, 46	eqtr4d 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
48	38, 39, 41, 47	syl3anc 1364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
49	35, 48	breq12d 4975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
50	32, 49	sylibd 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
51	16, 50	sylbid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
52	51	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
53		elnn0z 11842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
54	8, 52, 53	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
55	54	exp31 420	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)))
56	2, 3, 55	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)))
57	1, 56	mpan9 507	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
58	57	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
59		elfznn0 12850	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	59	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
61		elfzle2 12761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ≤ 𝑁)
62	61	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ 𝑁)
63		elfzel2 12756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	zcnd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
65	1	zcnd 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	64, 65	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
68		npcan 10743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
70	62, 69	breqtrrd 4990	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴))
71	3	zred 11936	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
72	71	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
73	63	zred 11936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
74	1	zred 11936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 10916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
76	75	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
77	74	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
78	72, 76, 77	lesubadd2d 11087	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴)))
79	70, 78	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
80	79	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
81		elfz2nn0 12848	. . 3 ⊢ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴))
82	58, 60, 80, 81	syl3anbrc 1336	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴))
83	82	ex 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  ℝcr 10382  0cc0 10383   + caddc 10386   < clt 10521   ≤ cle 10522   − cmin 10717  ℕ₀cn0 11745  ℤcz 11829  ...cfz 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743

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