Theorem 2elfz2melfz 48038

Description: If the sum of two integers of a 0-based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0-based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2elfz2melfz	⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem 2elfz2melfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13553	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		elfzel2 13551	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		elfzelz 13553	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		zsubcl 12637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
6	5	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℤ)
7	4, 6	zsubcld 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ)
8	7	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ)
9		zre 12596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		zaddcl 12635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
12	11	zred 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
13	12	expcom 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
15	14	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
16	10, 15, 10	ltsub1d 11824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
17		zre 12596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
18	9, 17	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19		zre 12596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
20	18, 19	anim12i 624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21, 21	resubcld 11643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ)
23	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ)
24		readdcl 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
25	24	expcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
26	25	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
27	26	imp 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
28		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
29	27, 28	resubcld 11643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ)
30	23, 29	jca 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ))
31		ltle 11299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
32	20, 30, 31	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
33		zcn 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34	33	subidd 11558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝑁) = 0)
35	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
36		zcn 12597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	33	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40		zcn 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
43		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
44	42, 43	addcomd 11413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
45	44	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
46		subsub3 11491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
47	45, 46	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
48	38, 39, 41, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
49	35, 48	breq12d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
50	32, 49	sylibd 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
51	16, 50	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
52	51	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)))
53		elnn0z 12605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴))))
54	8, 52, 53	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
55	54	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)))
56	2, 3, 55	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)))
57	1, 56	mpan9 515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0))
58	57	imp 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0)
59		elfznn0 13650	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ0)
60	59	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
61		elfzle2 13557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ≤ 𝑁)
62	61	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ 𝑁)
63		elfzel2 13551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	63	zcnd 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
65	1	zcnd 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	64, 65	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
67	66	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
68		npcan 11467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
69	67, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
70	62, 69	breqtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴))
71	3	zred 12701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
72	71	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
73	63	zred 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
74	1	zred 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 11643	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
76	75	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 − 𝐴) ∈ ℝ)
77	74	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
78	72, 76, 77	lesubadd2d 11814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ ((𝑁 − 𝐴) + 𝐴)))
79	70, 78	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
80	79	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
81		elfz2nn0 13648	. . 3 ⊢ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ≤ 𝐴))
82	58, 60, 80, 81	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴))
83	82	ex 417	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁 − 𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537

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