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Theorem 2elfz2melfz 45961
Description: If the sum of two integers of a 0-based finite set of sequential integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the 0-based finite set of sequential integers with the first integer as upper bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13497 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 elfzel2 13495 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 elfzelz 13497 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
5 zsubcl 12600 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
65adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
74, 6zsubcld 12667 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ)
87adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ)
9 zre 12558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
11 zaddcl 12598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
1211zred 12662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
1312expcom 415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
1514imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
1610, 15, 10ltsub1d 11819 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) ↔ (𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
17 zre 12558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
189, 17anim12i 614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19 zre 12558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2018, 19anim12i 614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221, 21resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁𝑁) ∈ ℝ)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝑁) ∈ ℝ)
24 readdcl 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2524expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
2625adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
2726imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
28 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2927, 28resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ)
3023, 29jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ))
31 ltle 11298 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
3220, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → (𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
33 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3433subidd 11555 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁𝑁) = 0)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝑁) = 0)
36 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3837adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3933ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
40 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
42 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4442, 43addcomd 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4544oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
46 subsub3 11488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) − 𝑁))
4745, 46eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁𝐴)))
4838, 39, 41, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = (𝐵 − (𝑁𝐴)))
4935, 48breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) ≤ ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ↔ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5032, 49sylibd 238 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝑁𝑁) < ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5116, 50sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
5251imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴)))
53 elnn0z 12567 . . . . . . . 8 ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝐵 − (𝑁𝐴))))
548, 52, 53sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
5554exp31 421 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)))
562, 3, 55syl2anc 585 . . . . 5 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)))
571, 56mpan9 508 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
5857imp 408 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
59 elfznn0 13590 . . . 4 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6059ad2antrr 725 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
61 elfzle2 13501 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵𝑁)
6261adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵𝑁)
63 elfzel2 13495 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6463zcnd 12663 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
651zcnd 12663 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℂ)
6664, 65jca 513 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
6766adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
68 npcan 11465 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑁𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
6967, 68syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁𝐴) + 𝐴) = 𝑁)
7062, 69breqtrrd 5175 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ≤ ((𝑁𝐴) + 𝐴))
713zred 12662 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0...𝑁) → 𝐵 ∈ ℝ)
7271adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7363zred 12662 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
741zred 12662 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 11638 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7675adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
7774adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
7872, 76, 77lesubadd2d 11809 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴𝐵 ≤ ((𝑁𝐴) + 𝐴)))
7970, 78mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴)
8079adantr 482 . . 3 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴)
81 elfz2nn0 13588 . . 3 ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐵 − (𝑁𝐴)) ≤ 𝐴))
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1344 . 2 (((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑁 < (𝐴 + 𝐵)) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴))
8382ex 414 1 ((𝐴 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁 < (𝐴 + 𝐵) → (𝐵 − (𝑁𝐴)) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5147  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  0cn0 12468  cz 12554  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
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