Theorem elfznn0 13591

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13589	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  0cc0 11107   ≤ cle 11246  ℕ₀cn0 12469  ...cfz 13481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13593  fz0fzdiffz0  13607  difelfzle  13611  bcrpcl  14265  bccmpl  14266  bcp1n  14273  bcp1nk  14274  bcval5  14275  permnn  14283  pfxmpt  14625  pfxfv  14629  pfxlen  14630  addlenpfx  14638  pfxswrd  14653  swrdpfx  14654  pfxpfx  14655  pfxpfxid  14656  swrdccatin1  14672  pfxccat3  14681  pfxccatpfx1  14683  pfxccat3a  14685  swrdccat3blem  14686  splfv2a  14703  repswpfx  14732  2cshwcshw  14773  cshwcsh2id  14776  pfxco  14786  binomlem  15772  binom1p  15774  binom1dif  15776  bcxmas  15778  climcnds  15794  arisum  15803  arisum2  15804  pwdif  15811  geolim  15813  geo2sum  15816  mertenslem1  15827  mertenslem2  15828  mertens  15829  risefacval2  15951  fallfacval2  15952  fallfacval3  15953  risefaccllem  15954  fallfaccllem  15955  risefacp1  15970  fallfacp1  15971  fallfacfwd  15977  binomfallfaclem1  15980  binomfallfaclem2  15981  binomrisefac  15983  bcfallfac  15985  bpolylem  15989  bpolysum  15994  bpolydiflem  15995  fsumkthpow  15997  bpoly4  16000  efcvgfsum  16026  efcj  16032  efaddlem  16033  effsumlt  16051  eirrlem  16144  3dvds  16271  pwp1fsum  16331  prmdiveq  16716  hashgcdlem  16718  pcbc  16830  vdwapf  16902  vdwlem2  16912  vdwlem6  16916  vdwlem8  16918  psgnunilem2  19358  efgcpbllemb  19618  srgbinomlem3  20045  srgbinomlem4  20046  srgbinomlem  20047  coe1mul2  21783  coe1tmmul2  21790  coe1tmmul  21791  cply1mul  21810  gsummoncoe1  21820  m2pmfzgsumcl  22242  decpmatmul  22266  pmatcollpw3fi1lem1  22280  mp2pm2mplem4  22303  pm2mpmhmlem2  22313  chpscmatgsumbin  22338  chpscmatgsummon  22339  chfacfscmulgsum  22354  chfacfpmmulgsum  22358  cpmadugsumlemB  22368  cpmadugsumlemC  22369  cpmadugsumlemF  22370  cpmadugsumfi  22371  mbfi1fseqlem3  25227  mbfi1fseqlem4  25228  itg0  25289  itgz  25290  itgcl  25293  iblabsr  25339  iblmulc2  25340  itgsplit  25345  dvn2bss  25439  coe1mul3  25609  elply2  25702  plyf  25704  elplyd  25708  ply1termlem  25709  plyeq0lem  25716  plypf1  25718  plyaddlem1  25719  plymullem1  25720  plyaddlem  25721  plymullem  25722  coeeulem  25730  coeidlem  25743  coeid3  25746  plyco  25747  coeeq2  25748  dgreq  25750  coefv0  25754  coeaddlem  25755  coemullem  25756  coemulhi  25760  coemulc  25761  coe1termlem  25764  plycn  25767  plycjlem  25782  plycj  25783  plyrecj  25785  dvply1  25789  dvply2g  25790  vieta1lem2  25816  elqaalem2  25825  elqaalem3  25826  aareccl  25831  aalioulem1  25837  taylply2  25872  taylply  25873  dvtaylp  25874  dvntaylp0  25876  taylthlem2  25878  pserulm  25926  psercn2  25927  pserdvlem2  25932  abelthlem6  25940  abelthlem7  25942  abelthlem8  25943  advlogexp  26155  cxpeq  26255  log2tlbnd  26440  log2ublem2  26442  log2ub  26444  birthdaylem2  26447  birthdaylem3  26448  ftalem1  26567  ftalem5  26571  basellem2  26576  basellem3  26577  dvdsppwf1o  26680  musum  26685  sgmppw  26690  1sgmprm  26692  logexprlim  26718  mersenne  26720  lgseisenlem1  26868  dchrisum0flblem1  27001  pntpbnd2  27080  crctcshwlkn0  29065  bcm1n  31994  freshmansdream  32370  plymulx0  33547  signsplypnf  33550  signstres  33575  subfacval2  34167  subfaclim  34168  cvmliftlem7  34271  bccolsum  34698  gg-plycn  35166  gg-psercn2  35167  knoppcnlem7  35364  knoppcnlem8  35365  knoppndvlem5  35381  knoppndvlem11  35387  knoppndvlem14  35390  knoppndvlem15  35391  poimirlem3  36480  poimirlem4  36481  poimirlem12  36489  poimirlem15  36492  poimirlem16  36493  poimirlem17  36494  poimirlem19  36496  poimirlem20  36497  poimirlem23  36500  poimirlem24  36501  poimirlem25  36502  poimirlem28  36505  poimirlem29  36506  poimirlem31  36508  iblmulc2nc  36542  lcmineqlem1  40883  lcmineqlem2  40884  lcmineqlem3  40885  lcmineqlem4  40886  lcmineqlem6  40888  jm2.22  41720  jm2.23  41721  hbt  41858  cnsrplycl  41895  bcc0  43085  binomcxplemnn0  43094  binomcxplemfrat  43096  binomcxplemradcnv  43097  dvnmptdivc  44641  dvnmul  44646  dvnprodlem1  44649  dvnprodlem2  44650  dvnprodlem3  44651  iblsplit  44669  elaa2lem  44936  etransclem2  44939  etransclem23  44960  etransclem28  44965  etransclem29  44966  etransclem32  44969  etransclem33  44970  etransclem35  44972  etransclem38  44975  etransclem39  44976  etransclem43  44980  etransclem44  44981  etransclem45  44982  etransclem46  44983  etransclem47  44984  etransclem48  44985  2elfz3nn0  46011  fz0addcom  46012  2elfz2melfz  46013  fz0addge0  46014  fmtnorec2lem  46197  fmtnodvds  46199  fmtnorec3  46203  lighneallem3  46262  lighneallem4b  46264  lighneallem4  46265  altgsumbc  46982  altgsumbcALT  46983  ply1mulgsumlem2  47022  ply1mulgsum  47025  nn0sumshdiglemA  47259  nn0sumshdiglemB  47260  aacllem  47802