Theorem elfznn0 12995

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 12993	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  0cc0 10526   ≤ cle 10665  ℕ₀cn0 11885  ...cfz 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  12997  fz0fzdiffz0  13011  difelfzle  13015  bcrpcl  13664  bccmpl  13665  bcp1n  13672  bcp1nk  13673  bcval5  13674  permnn  13682  pfxmpt  14031  pfxfv  14035  pfxlen  14036  addlenpfx  14044  pfxswrd  14059  swrdpfx  14060  pfxpfx  14061  pfxpfxid  14062  swrdccatin1  14078  pfxccat3  14087  pfxccatpfx1  14089  pfxccat3a  14091  swrdccat3blem  14092  splfv2a  14109  repswpfx  14138  2cshwcshw  14178  cshwcsh2id  14181  pfxco  14191  binomlem  15176  binom1p  15178  binom1dif  15180  bcxmas  15182  climcnds  15198  arisum  15207  arisum2  15208  pwdif  15215  pwm1geoserOLD  15217  geolim  15218  geo2sum  15221  mertenslem1  15232  mertenslem2  15233  mertens  15234  risefacval2  15356  fallfacval2  15357  fallfacval3  15358  risefaccllem  15359  fallfaccllem  15360  risefacp1  15375  fallfacp1  15376  fallfacfwd  15382  binomfallfaclem1  15385  binomfallfaclem2  15386  binomrisefac  15388  bcfallfac  15390  bpolylem  15394  bpolysum  15399  bpolydiflem  15400  fsumkthpow  15402  bpoly4  15405  efcvgfsum  15431  efcj  15437  efaddlem  15438  effsumlt  15456  eirrlem  15549  3dvds  15672  pwp1fsum  15732  prmdiveq  16113  hashgcdlem  16115  pcbc  16226  vdwapf  16298  vdwlem2  16308  vdwlem6  16312  vdwlem8  16314  psgnunilem2  18615  efgcpbllemb  18873  srgbinomlem3  19285  srgbinomlem4  19286  srgbinomlem  19287  coe1mul2  20898  coe1tmmul2  20905  coe1tmmul  20906  cply1mul  20923  gsummoncoe1  20933  m2pmfzgsumcl  21353  decpmatmul  21377  pmatcollpw3fi1lem1  21391  mp2pm2mplem4  21414  pm2mpmhmlem2  21424  chpscmatgsumbin  21449  chpscmatgsummon  21450  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulgsum  21469  cpmadugsumlemB  21479  cpmadugsumlemC  21480  cpmadugsumlemF  21481  cpmadugsumfi  21482  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  itg0  24383  itgz  24384  itgcl  24387  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  itgsplit  24439  dvn2bss  24533  coe1mul3  24700  elply2  24793  plyf  24795  elplyd  24799  ply1termlem  24800  plyeq0lem  24807  plypf1  24809  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  plyaddlem  24812  plymullem  24813  coeeulem  24821  coeidlem  24834  coeid3  24837  plyco  24838  coeeq2  24839  dgreq  24841  coefv0  24845  coeaddlem  24846  coemullem  24847  coemulhi  24851  coemulc  24852  coe1termlem  24855  plycn  24858  plycjlem  24873  plycj  24874  plyrecj  24876  dvply1  24880  dvply2g  24881  vieta1lem2  24907  elqaalem2  24916  elqaalem3  24917  aareccl  24922  aalioulem1  24928  taylply2  24963  taylply  24964  dvtaylp  24965  dvntaylp0  24967  taylthlem2  24969  pserulm  25017  psercn2  25018  pserdvlem2  25023  abelthlem6  25031  abelthlem7  25033  abelthlem8  25034  advlogexp  25246  cxpeq  25346  log2tlbnd  25531  log2ublem2  25533  log2ub  25535  birthdaylem2  25538  birthdaylem3  25539  ftalem1  25658  ftalem5  25662  basellem2  25667  basellem3  25668  dvdsppwf1o  25771  musum  25776  sgmppw  25781  1sgmprm  25783  logexprlim  25809  mersenne  25811  lgseisenlem1  25959  dchrisum0flblem1  26092  pntpbnd2  26171  crctcshwlkn0  27607  bcm1n  30544  freshmansdream  30909  plymulx0  31927  signsplypnf  31930  signstres  31955  subfacval2  32547  subfaclim  32548  cvmliftlem7  32651  bccolsum  33084  knoppcnlem7  33951  knoppcnlem8  33952  knoppndvlem5  33968  knoppndvlem11  33974  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem15  33978  poimirlem3  35060  poimirlem4  35061  poimirlem12  35069  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  poimirlem25  35082  poimirlem28  35085  poimirlem29  35086  poimirlem31  35088  iblmulc2nc  35122  lcmineqlem1  39317  lcmineqlem2  39318  lcmineqlem3  39319  lcmineqlem4  39320  lcmineqlem6  39322  jm2.22  39936  jm2.23  39937  hbt  40074  cnsrplycl  40111  bcc0  41044  binomcxplemnn0  41053  binomcxplemfrat  41055  binomcxplemradcnv  41056  dvnmptdivc  42580  dvnmul  42585  dvnprodlem1  42588  dvnprodlem2  42589  dvnprodlem3  42590  iblsplit  42608  elaa2lem  42875  etransclem2  42878  etransclem23  42899  etransclem28  42904  etransclem29  42905  etransclem32  42908  etransclem33  42909  etransclem35  42911  etransclem38  42914  etransclem39  42915  etransclem43  42919  etransclem44  42920  etransclem45  42921  etransclem46  42922  etransclem47  42923  etransclem48  42924  2elfz3nn0  43873  fz0addcom  43874  2elfz2melfz  43875  fz0addge0  43876  fmtnorec2lem  44059  fmtnodvds  44061  fmtnorec3  44065  lighneallem3  44125  lighneallem4b  44127  lighneallem4  44128  altgsumbc  44754  altgsumbcALT  44755  ply1mulgsumlem2  44795  ply1mulgsum  44798  nn0sumshdiglemA  45033  nn0sumshdiglemB  45034  aacllem  45329