Theorem elfznn0 13581

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13579	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  0cc0 11068   ≤ cle 11209  ℕ₀cn0 12442  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13583  fz0fzdiffz0  13598  difelfzle  13602  bcrpcl  14273  bccmpl  14274  bcp1n  14281  bcp1nk  14282  bcval5  14283  permnn  14291  pfxmpt  14643  pfxfv  14647  pfxlen  14648  addlenpfx  14656  pfxswrd  14671  swrdpfx  14672  pfxpfx  14673  pfxpfxid  14674  swrdccatin1  14690  pfxccat3  14699  pfxccatpfx1  14701  pfxccat3a  14703  swrdccat3blem  14704  splfv2a  14721  repswpfx  14750  2cshwcshw  14791  cshwcsh2id  14794  pfxco  14804  binomlem  15795  binom1p  15797  binom1dif  15799  bcxmas  15801  climcnds  15817  arisum  15826  arisum2  15827  pwdif  15834  geolim  15836  geo2sum  15839  mertenslem1  15850  mertenslem2  15851  mertens  15852  risefacval2  15976  fallfacval2  15977  fallfacval3  15978  risefaccllem  15979  fallfaccllem  15980  risefacp1  15995  fallfacp1  15996  fallfacfwd  16002  binomfallfaclem1  16005  binomfallfaclem2  16006  binomrisefac  16008  bcfallfac  16010  bpolylem  16014  bpolysum  16019  bpolydiflem  16020  fsumkthpow  16022  bpoly4  16025  efcvgfsum  16052  efcj  16058  efaddlem  16059  effsumlt  16079  eirrlem  16172  3dvds  16301  pwp1fsum  16361  prmdiveq  16756  hashgcdlem  16758  pcbc  16871  vdwapf  16943  vdwlem2  16953  vdwlem6  16957  vdwlem8  16959  psgnunilem2  19425  efgcpbllemb  19685  srgbinomlem3  20137  srgbinomlem4  20138  srgbinomlem  20139  freshmansdream  21484  coe1mul2  22155  coe1tmmul2  22162  coe1tmmul  22163  cply1mul  22183  gsummoncoe1  22195  m2pmfzgsumcl  22635  decpmatmul  22659  pmatcollpw3fi1lem1  22673  mp2pm2mplem4  22696  pm2mpmhmlem2  22706  chpscmatgsumbin  22731  chpscmatgsummon  22732  chfacfscmulgsum  22747  chfacfpmmulgsum  22751  cpmadugsumlemB  22761  cpmadugsumlemC  22762  cpmadugsumlemF  22763  cpmadugsumfi  22764  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  itg0  25681  itgz  25682  itgcl  25685  iblabsr  25731  iblmulc2  25732  itgsplit  25737  dvn2bss  25832  coe1mul3  26004  elply2  26101  plyf  26103  elplyd  26107  ply1termlem  26108  plyeq0lem  26115  plypf1  26117  plyaddlem1  26118  plymullem1  26119  plyaddlem  26120  plymullem  26121  coeeulem  26129  coeidlem  26142  coeid3  26145  plyco  26146  coeeq2  26147  dgreq  26149  coefv0  26153  coeaddlem  26154  coemullem  26155  coemulhi  26159  coemulc  26160  coe1termlem  26163  plycn  26166  plycnOLD  26167  plycjlem  26182  plycj  26183  plycjOLD  26185  plyrecj  26187  dvply1  26191  dvply2g  26192  dvply2gOLD  26193  vieta1lem2  26219  elqaalem2  26228  elqaalem3  26229  aareccl  26234  aalioulem1  26240  taylply2  26275  taylply2OLD  26276  taylply  26277  dvtaylp  26278  dvntaylp0  26280  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  pserulm  26331  psercn2  26332  psercn2OLD  26333  pserdvlem2  26338  abelthlem6  26346  abelthlem7  26348  abelthlem8  26349  advlogexp  26564  cxpeq  26667  log2tlbnd  26855  log2ublem2  26857  log2ub  26859  birthdaylem2  26862  birthdaylem3  26863  ftalem1  26983  ftalem5  26987  basellem2  26992  basellem3  26993  dvdsppwf1o  27096  musum  27101  sgmppw  27108  1sgmprm  27110  logexprlim  27136  mersenne  27138  lgseisenlem1  27286  dchrisum0flblem1  27419  pntpbnd2  27498  crctcshwlkn0  29751  bcm1n  32718  plymulx0  34538  signsplypnf  34541  signstres  34566  subfacval2  35174  subfaclim  35175  cvmliftlem7  35278  bccolsum  35726  knoppcnlem7  36487  knoppcnlem8  36488  knoppndvlem5  36504  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem12  37626  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem25  37639  poimirlem28  37642  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  iblmulc2nc  37679  lcmineqlem1  42017  lcmineqlem2  42018  lcmineqlem3  42019  lcmineqlem4  42020  lcmineqlem6  42022  aks6d1c2lem3  42114  bcled  42166  jm2.22  42984  jm2.23  42985  hbt  43119  cnsrplycl  43156  bcc0  44329  binomcxplemnn0  44338  binomcxplemfrat  44340  binomcxplemradcnv  44341  dvnmptdivc  45936  dvnmul  45941  dvnprodlem1  45944  dvnprodlem2  45945  dvnprodlem3  45946  iblsplit  45964  elaa2lem  46231  etransclem2  46234  etransclem23  46255  etransclem28  46260  etransclem29  46261  etransclem32  46264  etransclem33  46265  etransclem35  46267  etransclem38  46270  etransclem39  46271  etransclem43  46275  etransclem44  46276  etransclem45  46277  etransclem46  46278  etransclem47  46279  etransclem48  46280  2elfz3nn0  47317  fz0addcom  47318  2elfz2melfz  47319  fz0addge0  47320  fmtnorec2lem  47543  fmtnodvds  47545  fmtnorec3  47549  lighneallem3  47608  lighneallem4b  47610  lighneallem4  47611  altgsumbc  48340  altgsumbcALT  48341  ply1mulgsumlem2  48376  ply1mulgsum  48379  nn0sumshdiglemA  48608  nn0sumshdiglemB  48609  aacllem  49790