Theorem elfznn0 13657

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13655	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153   ≤ cle 11294  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13659  fz0fzdiffz0  13674  difelfzle  13678  bcrpcl  14344  bccmpl  14345  bcp1n  14352  bcp1nk  14353  bcval5  14354  permnn  14362  pfxmpt  14713  pfxfv  14717  pfxlen  14718  addlenpfx  14726  pfxswrd  14741  swrdpfx  14742  pfxpfx  14743  pfxpfxid  14744  swrdccatin1  14760  pfxccat3  14769  pfxccatpfx1  14771  pfxccat3a  14773  swrdccat3blem  14774  splfv2a  14791  repswpfx  14820  2cshwcshw  14861  cshwcsh2id  14864  pfxco  14874  binomlem  15862  binom1p  15864  binom1dif  15866  bcxmas  15868  climcnds  15884  arisum  15893  arisum2  15894  pwdif  15901  geolim  15903  geo2sum  15906  mertenslem1  15917  mertenslem2  15918  mertens  15919  risefacval2  16043  fallfacval2  16044  fallfacval3  16045  risefaccllem  16046  fallfaccllem  16047  risefacp1  16062  fallfacp1  16063  fallfacfwd  16069  binomfallfaclem1  16072  binomfallfaclem2  16073  binomrisefac  16075  bcfallfac  16077  bpolylem  16081  bpolysum  16086  bpolydiflem  16087  fsumkthpow  16089  bpoly4  16092  efcvgfsum  16119  efcj  16125  efaddlem  16126  effsumlt  16144  eirrlem  16237  3dvds  16365  pwp1fsum  16425  prmdiveq  16820  hashgcdlem  16822  pcbc  16934  vdwapf  17006  vdwlem2  17016  vdwlem6  17020  vdwlem8  17022  psgnunilem2  19528  efgcpbllemb  19788  srgbinomlem3  20246  srgbinomlem4  20247  srgbinomlem  20248  freshmansdream  21611  coe1mul2  22288  coe1tmmul2  22295  coe1tmmul  22296  cply1mul  22316  gsummoncoe1  22328  m2pmfzgsumcl  22770  decpmatmul  22794  pmatcollpw3fi1lem1  22808  mp2pm2mplem4  22831  pm2mpmhmlem2  22841  chpscmatgsumbin  22866  chpscmatgsummon  22867  chfacfscmulgsum  22882  chfacfpmmulgsum  22886  cpmadugsumlemB  22896  cpmadugsumlemC  22897  cpmadugsumlemF  22898  cpmadugsumfi  22899  mbfi1fseqlem3  25767  mbfi1fseqlem4  25768  itg0  25830  itgz  25831  itgcl  25834  iblabsr  25880  iblmulc2  25881  itgsplit  25886  dvn2bss  25981  coe1mul3  26153  elply2  26250  plyf  26252  elplyd  26256  ply1termlem  26257  plyeq0lem  26264  plypf1  26266  plyaddlem1  26267  plymullem1  26268  plyaddlem  26269  plymullem  26270  coeeulem  26278  coeidlem  26291  coeid3  26294  plyco  26295  coeeq2  26296  dgreq  26298  coefv0  26302  coeaddlem  26303  coemullem  26304  coemulhi  26308  coemulc  26309  coe1termlem  26312  plycn  26315  plycnOLD  26316  plycjlem  26331  plycj  26332  plycjOLD  26334  plyrecj  26336  dvply1  26340  dvply2g  26341  dvply2gOLD  26342  vieta1lem2  26368  elqaalem2  26377  elqaalem3  26378  aareccl  26383  aalioulem1  26389  taylply2  26424  taylply2OLD  26425  taylply  26426  dvtaylp  26427  dvntaylp0  26429  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  pserulm  26480  psercn2  26481  psercn2OLD  26482  pserdvlem2  26487  abelthlem6  26495  abelthlem7  26497  abelthlem8  26498  advlogexp  26712  cxpeq  26815  log2tlbnd  27003  log2ublem2  27005  log2ub  27007  birthdaylem2  27010  birthdaylem3  27011  ftalem1  27131  ftalem5  27135  basellem2  27140  basellem3  27141  dvdsppwf1o  27244  musum  27249  sgmppw  27256  1sgmprm  27258  logexprlim  27284  mersenne  27286  lgseisenlem1  27434  dchrisum0flblem1  27567  pntpbnd2  27646  crctcshwlkn0  29851  bcm1n  32803  plymulx0  34541  signsplypnf  34544  signstres  34569  subfacval2  35172  subfaclim  35173  cvmliftlem7  35276  bccolsum  35719  knoppcnlem7  36482  knoppcnlem8  36483  knoppndvlem5  36499  knoppndvlem11  36505  knoppndvlem14  36508  knoppndvlem15  36509  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem12  37619  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem28  37635  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  iblmulc2nc  37672  lcmineqlem1  42011  lcmineqlem2  42012  lcmineqlem3  42013  lcmineqlem4  42014  lcmineqlem6  42016  aks6d1c2lem3  42108  bcled  42160  jm2.22  42984  jm2.23  42985  hbt  43119  cnsrplycl  43156  bcc0  44336  binomcxplemnn0  44345  binomcxplemfrat  44347  binomcxplemradcnv  44348  dvnmptdivc  45894  dvnmul  45899  dvnprodlem1  45902  dvnprodlem2  45903  dvnprodlem3  45904  iblsplit  45922  elaa2lem  46189  etransclem2  46192  etransclem23  46213  etransclem28  46218  etransclem29  46219  etransclem32  46222  etransclem33  46223  etransclem35  46225  etransclem38  46228  etransclem39  46229  etransclem43  46233  etransclem44  46234  etransclem45  46235  etransclem46  46236  etransclem47  46237  etransclem48  46238  2elfz3nn0  47266  fz0addcom  47267  2elfz2melfz  47268  fz0addge0  47269  fmtnorec2lem  47467  fmtnodvds  47469  fmtnorec3  47473  lighneallem3  47532  lighneallem4b  47534  lighneallem4  47535  altgsumbc  48197  altgsumbcALT  48198  ply1mulgsumlem2  48233  ply1mulgsum  48236  nn0sumshdiglemA  48469  nn0sumshdiglemB  48470  aacllem  49032