Theorem elfznn0 13676

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13674	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  0cc0 11125   ≤ cle 11269  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563

This theorem is used by:  fz0ssnn0  13678  fz0fzdiffz0  13693  difelfzle  13697  bcrpcl  14373  bccmpl  14374  bcp1n  14381  bcp1nk  14382  bcval5  14383  permnn  14391  pfxmpt  14749  pfxfv  14753  pfxlen  14754  addlenpfx  14761  pfxswrd  14776  swrdpfx  14777  pfxpfx  14778  pfxpfxid  14779  lenrevpfxcctswrd  14782  swrdccatin1  14795  pfxccat3  14804  pfxccatpfx1  14806  pfxccat3a  14808  swrdccat3blem  14809  splfv2a  14826  repswpfx  14857  2cshwcshw  14897  cshwcsh2id  14900  pfxco  14910  binomlem  15919  binom1p  15921  binom1dif  15923  bcxmas  15925  climcnds  15941  arisum  15950  arisum2  15951  pwdif  15958  geolim  15960  geo2sum  15963  mertenslem1  15974  mertenslem2  15975  mertens  15976  risefacval2  16098  fallfacval2  16099  fallfacval3  16100  risefaccllem  16101  fallfaccllem  16102  risefacp1  16116  fallfacp1  16117  fallfacfwd  16123  binomfallfaclem1  16126  binomfallfaclem2  16127  binomrisefac  16129  bcfallfac  16131  bpolylem  16135  bpolysum  16140  bpolydiflem  16141  fsumkthpow  16143  bpoly4  16146  efcvgfsum  16173  efcj  16179  efaddlem  16180  effsumlt  16200  eirrlem  16293  3dvds  16422  pwp1fsum  16482  prmdiveq  16878  hashgcdlem  16880  pcbc  16993  vdwapf  17065  vdwlem2  17075  vdwlem6  17079  vdwlem8  17081  psgnunilem2  19623  efgcpbllemb  19883  srgbinomlem3  20368  srgbinomlem4  20369  srgbinomlem  20370  freshmansdream  21788  coe1mul2  22496  coe1tmmul2  22503  coe1tmmul  22504  cply1mul  22522  gsummoncoe1  22534  m2pmfzgsumcl  22974  decpmatmul  22998  pmatcollpw3fi1lem1  23012  mp2pm2mplem4  23035  pm2mpmhmlem2  23045  chpscmatgsumbin  23070  chpscmatgsummon  23071  chfacfscmulgsum  23086  chfacfpmmulgsum  23090  cpmadugsumlemB  23100  cpmadugsumlemC  23101  cpmadugsumlemF  23102  cpmadugsumfi  23103  mbfi1fseqlem3  25946  mbfi1fseqlem4  25947  itg0  26008  itgz  26009  itgcl  26012  iblabsr  26058  iblmulc2  26059  itgsplit  26064  dvn2bss  26158  coe1mul3  26325  elply2  26422  plyf  26424  elplyd  26428  ply1termlem  26429  plyeq0lem  26437  plypf1  26439  plyaddlem1  26440  plymullem1  26441  plyaddlem  26442  plymullem  26443  coeeulem  26451  coeidlem  26464  coeid3  26467  plyco  26468  coeeq2  26469  dgreq  26471  coefv0  26475  coeaddlem  26476  coemullem  26477  coemulhi  26481  coemulc  26482  coe1termlem  26485  plycn  26488  plycjlem  26503  plycj  26504  plycjOLD  26506  plyrecj  26508  plyn0mulidp  26512  dvply1  26515  dvply2g  26516  vieta1lem2  26544  elqaalem2  26553  elqaalem3  26554  aareccl  26563  aalioulem1  26569  taylply2  26605  taylply  26606  dvtaylp  26607  dvntaylp0  26609  taylthlem2  26611  pserulm  26659  psercn2  26660  pserdvlem2  26665  abelthlem6  26673  abelthlem7  26675  abelthlem8  26676  advlogexp  26893  cxpeq  26995  log2tlbnd  27183  log2ublem2  27185  log2ub  27187  birthdaylem2  27190  birthdaylem3  27191  ftalem1  27310  ftalem5  27314  basellem2  27319  basellem3  27320  dvdsppwf1o  27423  musum  27428  sgmppw  27434  1sgmprm  27436  logexprlim  27462  mersenne  27464  lgseisenlem1  27612  dchrisum0flblem1  27745  pntpbnd2  27824  crctcshwlkn0  30290  bcm1n  33267  gsummptrev  33497  gsummulsubdishift1  33509  esplyfv1  34080  esplyfv  34081  esplysply  34082  vietalem  34090  vieta  34091  signsplypnf  35059  signstres  35084  subfacval2  35767  subfaclim  35768  cvmliftlem7  35871  bccolsum  36319  knoppcnlem7  37197  knoppcnlem8  37198  knoppndvlem5  37214  knoppndvlem11  37220  knoppndvlem14  37223  knoppndvlem15  37224  poimirlem3  38373  poimirlem4  38374  poimirlem12  38382  poimirlem15  38385  poimirlem16  38386  poimirlem17  38387  poimirlem19  38389  poimirlem20  38390  poimirlem23  38393  poimirlem24  38394  poimirlem25  38395  poimirlem28  38398  poimirlem29  38399  poimirlem31  38401  iblmulc2nc  38435  lcmineqlem1  42896  lcmineqlem2  42897  lcmineqlem3  42898  lcmineqlem4  42899  lcmineqlem6  42901  aks6d1c2lem3  42993  bcled  43045  jm2.22  43837  jm2.23  43838  hbt  43972  cnsrplycl  44009  bcc0  45165  binomcxplemnn0  45174  binomcxplemfrat  45176  binomcxplemradcnv  45177  dvnmptdivc  46767  dvnmul  46772  dvnprodlem1  46775  dvnprodlem2  46776  dvnprodlem3  46777  iblsplit  46795  elaa2lem  47062  etransclem2  47065  etransclem23  47086  etransclem28  47091  etransclem29  47092  etransclem32  47095  etransclem33  47096  etransclem35  47098  etransclem38  47101  etransclem39  47102  etransclem43  47106  etransclem44  47107  etransclem45  47108  etransclem46  47109  etransclem47  47110  etransclem48  47111  2elfz3nn0  48205  fz0addcom  48206  2elfz2melfz  48207  fz0addge0  48208  facnn0dvdsfac  48274  fmtnorec2lem  48446  fmtnodvds  48448  fmtnorec3  48452  lighneallem3  48511  lighneallem4b  48513  lighneallem4  48514  altgsumbc  49283  altgsumbcALT  49284  ply1mulgsumlem2  49318  ply1mulgsum  49321  nn0sumshdiglemA  49550  nn0sumshdiglemB  49551  aacllem  50773