Theorem elfznn0 13278

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13276	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1143	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13280  fz0fzdiffz0  13294  difelfzle  13298  bcrpcl  13950  bccmpl  13951  bcp1n  13958  bcp1nk  13959  bcval5  13960  permnn  13968  pfxmpt  14319  pfxfv  14323  pfxlen  14324  addlenpfx  14332  pfxswrd  14347  swrdpfx  14348  pfxpfx  14349  pfxpfxid  14350  swrdccatin1  14366  pfxccat3  14375  pfxccatpfx1  14377  pfxccat3a  14379  swrdccat3blem  14380  splfv2a  14397  repswpfx  14426  2cshwcshw  14466  cshwcsh2id  14469  pfxco  14479  binomlem  15469  binom1p  15471  binom1dif  15473  bcxmas  15475  climcnds  15491  arisum  15500  arisum2  15501  pwdif  15508  geolim  15510  geo2sum  15513  mertenslem1  15524  mertenslem2  15525  mertens  15526  risefacval2  15648  fallfacval2  15649  fallfacval3  15650  risefaccllem  15651  fallfaccllem  15652  risefacp1  15667  fallfacp1  15668  fallfacfwd  15674  binomfallfaclem1  15677  binomfallfaclem2  15678  binomrisefac  15680  bcfallfac  15682  bpolylem  15686  bpolysum  15691  bpolydiflem  15692  fsumkthpow  15694  bpoly4  15697  efcvgfsum  15723  efcj  15729  efaddlem  15730  effsumlt  15748  eirrlem  15841  3dvds  15968  pwp1fsum  16028  prmdiveq  16415  hashgcdlem  16417  pcbc  16529  vdwapf  16601  vdwlem2  16611  vdwlem6  16615  vdwlem8  16617  psgnunilem2  19018  efgcpbllemb  19276  srgbinomlem3  19693  srgbinomlem4  19694  srgbinomlem  19695  coe1mul2  21350  coe1tmmul2  21357  coe1tmmul  21358  cply1mul  21375  gsummoncoe1  21385  m2pmfzgsumcl  21805  decpmatmul  21829  pmatcollpw3fi1lem1  21843  mp2pm2mplem4  21866  pm2mpmhmlem2  21876  chpscmatgsumbin  21901  chpscmatgsummon  21902  chfacfscmulgsum  21917  chfacfpmmulgsum  21921  cpmadugsumlemB  21931  cpmadugsumlemC  21932  cpmadugsumlemF  21933  cpmadugsumfi  21934  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  itg0  24849  itgz  24850  itgcl  24853  iblabsr  24899  iblmulc2  24900  itgsplit  24905  dvn2bss  24999  coe1mul3  25169  elply2  25262  plyf  25264  elplyd  25268  ply1termlem  25269  plyeq0lem  25276  plypf1  25278  plyaddlem1  25279  plymullem1  25280  plyaddlem  25281  plymullem  25282  coeeulem  25290  coeidlem  25303  coeid3  25306  plyco  25307  coeeq2  25308  dgreq  25310  coefv0  25314  coeaddlem  25315  coemullem  25316  coemulhi  25320  coemulc  25321  coe1termlem  25324  plycn  25327  plycjlem  25342  plycj  25343  plyrecj  25345  dvply1  25349  dvply2g  25350  vieta1lem2  25376  elqaalem2  25385  elqaalem3  25386  aareccl  25391  aalioulem1  25397  taylply2  25432  taylply  25433  dvtaylp  25434  dvntaylp0  25436  taylthlem2  25438  pserulm  25486  psercn2  25487  pserdvlem2  25492  abelthlem6  25500  abelthlem7  25502  abelthlem8  25503  advlogexp  25715  cxpeq  25815  log2tlbnd  26000  log2ublem2  26002  log2ub  26004  birthdaylem2  26007  birthdaylem3  26008  ftalem1  26127  ftalem5  26131  basellem2  26136  basellem3  26137  dvdsppwf1o  26240  musum  26245  sgmppw  26250  1sgmprm  26252  logexprlim  26278  mersenne  26280  lgseisenlem1  26428  dchrisum0flblem1  26561  pntpbnd2  26640  crctcshwlkn0  28087  bcm1n  31018  freshmansdream  31386  plymulx0  32426  signsplypnf  32429  signstres  32454  subfacval2  33049  subfaclim  33050  cvmliftlem7  33153  bccolsum  33611  knoppcnlem7  34606  knoppcnlem8  34607  knoppndvlem5  34623  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  poimirlem3  35707  poimirlem4  35708  poimirlem12  35716  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem23  35727  poimirlem24  35728  poimirlem25  35729  poimirlem28  35732  poimirlem29  35733  poimirlem31  35735  iblmulc2nc  35769  lcmineqlem1  39965  lcmineqlem2  39966  lcmineqlem3  39967  lcmineqlem4  39968  lcmineqlem6  39970  jm2.22  40733  jm2.23  40734  hbt  40871  cnsrplycl  40908  bcc0  41847  binomcxplemnn0  41856  binomcxplemfrat  41858  binomcxplemradcnv  41859  dvnmptdivc  43369  dvnmul  43374  dvnprodlem1  43377  dvnprodlem2  43378  dvnprodlem3  43379  iblsplit  43397  elaa2lem  43664  etransclem2  43667  etransclem23  43688  etransclem28  43693  etransclem29  43694  etransclem32  43697  etransclem33  43698  etransclem35  43700  etransclem38  43703  etransclem39  43704  etransclem43  43708  etransclem44  43709  etransclem45  43710  etransclem46  43711  etransclem47  43712  etransclem48  43713  2elfz3nn0  44696  fz0addcom  44697  2elfz2melfz  44698  fz0addge0  44699  fmtnorec2lem  44882  fmtnodvds  44884  fmtnorec3  44888  lighneallem3  44947  lighneallem4b  44949  lighneallem4  44950  altgsumbc  45576  altgsumbcALT  45577  ply1mulgsumlem2  45616  ply1mulgsum  45619  nn0sumshdiglemA  45853  nn0sumshdiglemB  45854  aacllem  46391