Theorem elfznn0 13629

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13627	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  0cc0 11140   ≤ cle 11281  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13631  fz0fzdiffz0  13645  difelfzle  13649  bcrpcl  14303  bccmpl  14304  bcp1n  14311  bcp1nk  14312  bcval5  14313  permnn  14321  pfxmpt  14664  pfxfv  14668  pfxlen  14669  addlenpfx  14677  pfxswrd  14692  swrdpfx  14693  pfxpfx  14694  pfxpfxid  14695  swrdccatin1  14711  pfxccat3  14720  pfxccatpfx1  14722  pfxccat3a  14724  swrdccat3blem  14725  splfv2a  14742  repswpfx  14771  2cshwcshw  14812  cshwcsh2id  14815  pfxco  14825  binomlem  15811  binom1p  15813  binom1dif  15815  bcxmas  15817  climcnds  15833  arisum  15842  arisum2  15843  pwdif  15850  geolim  15852  geo2sum  15855  mertenslem1  15866  mertenslem2  15867  mertens  15868  risefacval2  15990  fallfacval2  15991  fallfacval3  15992  risefaccllem  15993  fallfaccllem  15994  risefacp1  16009  fallfacp1  16010  fallfacfwd  16016  binomfallfaclem1  16019  binomfallfaclem2  16020  binomrisefac  16022  bcfallfac  16024  bpolylem  16028  bpolysum  16033  bpolydiflem  16034  fsumkthpow  16036  bpoly4  16039  efcvgfsum  16066  efcj  16072  efaddlem  16073  effsumlt  16091  eirrlem  16184  3dvds  16311  pwp1fsum  16371  prmdiveq  16758  hashgcdlem  16760  pcbc  16872  vdwapf  16944  vdwlem2  16954  vdwlem6  16958  vdwlem8  16960  psgnunilem2  19462  efgcpbllemb  19722  srgbinomlem3  20180  srgbinomlem4  20181  srgbinomlem  20182  freshmansdream  21525  coe1mul2  22213  coe1tmmul2  22220  coe1tmmul  22221  cply1mul  22240  gsummoncoe1  22252  m2pmfzgsumcl  22694  decpmatmul  22718  pmatcollpw3fi1lem1  22732  mp2pm2mplem4  22755  pm2mpmhmlem2  22765  chpscmatgsumbin  22790  chpscmatgsummon  22791  chfacfscmulgsum  22806  chfacfpmmulgsum  22810  cpmadugsumlemB  22820  cpmadugsumlemC  22821  cpmadugsumlemF  22822  cpmadugsumfi  22823  mbfi1fseqlem3  25691  mbfi1fseqlem4  25692  itg0  25753  itgz  25754  itgcl  25757  iblabsr  25803  iblmulc2  25804  itgsplit  25809  dvn2bss  25904  coe1mul3  26079  elply2  26175  plyf  26177  elplyd  26181  ply1termlem  26182  plyeq0lem  26189  plypf1  26191  plyaddlem1  26192  plymullem1  26193  plyaddlem  26194  plymullem  26195  coeeulem  26203  coeidlem  26216  coeid3  26219  plyco  26220  coeeq2  26221  dgreq  26223  coefv0  26227  coeaddlem  26228  coemullem  26229  coemulhi  26233  coemulc  26234  coe1termlem  26237  plycn  26240  plycnOLD  26241  plycjlem  26256  plycj  26257  plyrecj  26259  dvply1  26263  dvply2g  26264  dvply2gOLD  26265  vieta1lem2  26291  elqaalem2  26300  elqaalem3  26301  aareccl  26306  aalioulem1  26312  taylply2  26347  taylply2OLD  26348  taylply  26349  dvtaylp  26350  dvntaylp0  26352  taylthlem2  26354  taylthlem2OLD  26355  pserulm  26403  psercn2  26404  psercn2OLD  26405  pserdvlem2  26410  abelthlem6  26418  abelthlem7  26420  abelthlem8  26421  advlogexp  26634  cxpeq  26737  log2tlbnd  26922  log2ublem2  26924  log2ub  26926  birthdaylem2  26929  birthdaylem3  26930  ftalem1  27050  ftalem5  27054  basellem2  27059  basellem3  27060  dvdsppwf1o  27163  musum  27168  sgmppw  27175  1sgmprm  27177  logexprlim  27203  mersenne  27205  lgseisenlem1  27353  dchrisum0flblem1  27486  pntpbnd2  27565  crctcshwlkn0  29704  bcm1n  32645  plymulx0  34310  signsplypnf  34313  signstres  34338  subfacval2  34928  subfaclim  34929  cvmliftlem7  35032  bccolsum  35464  knoppcnlem7  36105  knoppcnlem8  36106  knoppndvlem5  36122  knoppndvlem11  36128  knoppndvlem14  36131  knoppndvlem15  36132  poimirlem3  37227  poimirlem4  37228  poimirlem12  37236  poimirlem15  37239  poimirlem16  37240  poimirlem17  37241  poimirlem19  37243  poimirlem20  37244  poimirlem23  37247  poimirlem24  37248  poimirlem25  37249  poimirlem28  37252  poimirlem29  37253  poimirlem31  37255  iblmulc2nc  37289  lcmineqlem1  41632  lcmineqlem2  41633  lcmineqlem3  41634  lcmineqlem4  41635  lcmineqlem6  41637  aks6d1c2lem3  41729  bcled  41781  jm2.22  42558  jm2.23  42559  hbt  42696  cnsrplycl  42733  bcc0  43919  binomcxplemnn0  43928  binomcxplemfrat  43930  binomcxplemradcnv  43931  dvnmptdivc  45464  dvnmul  45469  dvnprodlem1  45472  dvnprodlem2  45473  dvnprodlem3  45474  iblsplit  45492  elaa2lem  45759  etransclem2  45762  etransclem23  45783  etransclem28  45788  etransclem29  45789  etransclem32  45792  etransclem33  45793  etransclem35  45795  etransclem38  45798  etransclem39  45799  etransclem43  45803  etransclem44  45804  etransclem45  45805  etransclem46  45806  etransclem47  45807  etransclem48  45808  2elfz3nn0  46834  fz0addcom  46835  2elfz2melfz  46836  fz0addge0  46837  fmtnorec2lem  47019  fmtnodvds  47021  fmtnorec3  47025  lighneallem3  47084  lighneallem4b  47086  lighneallem4  47087  altgsumbc  47602  altgsumbcALT  47603  ply1mulgsumlem2  47641  ply1mulgsum  47644  nn0sumshdiglemA  47878  nn0sumshdiglemB  47879  aacllem  48420