Theorem elfznn0 13661

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13659	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  0cc0 11156   ≤ cle 11297  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13663  fz0fzdiffz0  13678  difelfzle  13682  bcrpcl  14348  bccmpl  14349  bcp1n  14356  bcp1nk  14357  bcval5  14358  permnn  14366  pfxmpt  14717  pfxfv  14721  pfxlen  14722  addlenpfx  14730  pfxswrd  14745  swrdpfx  14746  pfxpfx  14747  pfxpfxid  14748  swrdccatin1  14764  pfxccat3  14773  pfxccatpfx1  14775  pfxccat3a  14777  swrdccat3blem  14778  splfv2a  14795  repswpfx  14824  2cshwcshw  14865  cshwcsh2id  14868  pfxco  14878  binomlem  15866  binom1p  15868  binom1dif  15870  bcxmas  15872  climcnds  15888  arisum  15897  arisum2  15898  pwdif  15905  geolim  15907  geo2sum  15910  mertenslem1  15921  mertenslem2  15922  mertens  15923  risefacval2  16047  fallfacval2  16048  fallfacval3  16049  risefaccllem  16050  fallfaccllem  16051  risefacp1  16066  fallfacp1  16067  fallfacfwd  16073  binomfallfaclem1  16076  binomfallfaclem2  16077  binomrisefac  16079  bcfallfac  16081  bpolylem  16085  bpolysum  16090  bpolydiflem  16091  fsumkthpow  16093  bpoly4  16096  efcvgfsum  16123  efcj  16129  efaddlem  16130  effsumlt  16148  eirrlem  16241  3dvds  16369  pwp1fsum  16429  prmdiveq  16824  hashgcdlem  16826  pcbc  16939  vdwapf  17011  vdwlem2  17021  vdwlem6  17025  vdwlem8  17027  psgnunilem2  19514  efgcpbllemb  19774  srgbinomlem3  20226  srgbinomlem4  20227  srgbinomlem  20228  freshmansdream  21594  coe1mul2  22273  coe1tmmul2  22280  coe1tmmul  22281  cply1mul  22301  gsummoncoe1  22313  m2pmfzgsumcl  22755  decpmatmul  22779  pmatcollpw3fi1lem1  22793  mp2pm2mplem4  22816  pm2mpmhmlem2  22826  chpscmatgsumbin  22851  chpscmatgsummon  22852  chfacfscmulgsum  22867  chfacfpmmulgsum  22871  cpmadugsumlemB  22881  cpmadugsumlemC  22882  cpmadugsumlemF  22883  cpmadugsumfi  22884  mbfi1fseqlem3  25753  mbfi1fseqlem4  25754  itg0  25816  itgz  25817  itgcl  25820  iblabsr  25866  iblmulc2  25867  itgsplit  25872  dvn2bss  25967  coe1mul3  26139  elply2  26236  plyf  26238  elplyd  26242  ply1termlem  26243  plyeq0lem  26250  plypf1  26252  plyaddlem1  26253  plymullem1  26254  plyaddlem  26255  plymullem  26256  coeeulem  26264  coeidlem  26277  coeid3  26280  plyco  26281  coeeq2  26282  dgreq  26284  coefv0  26288  coeaddlem  26289  coemullem  26290  coemulhi  26294  coemulc  26295  coe1termlem  26298  plycn  26301  plycnOLD  26302  plycjlem  26317  plycj  26318  plycjOLD  26320  plyrecj  26322  dvply1  26326  dvply2g  26327  dvply2gOLD  26328  vieta1lem2  26354  elqaalem2  26363  elqaalem3  26364  aareccl  26369  aalioulem1  26375  taylply2  26410  taylply2OLD  26411  taylply  26412  dvtaylp  26413  dvntaylp0  26415  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  pserulm  26466  psercn2  26467  psercn2OLD  26468  pserdvlem2  26473  abelthlem6  26481  abelthlem7  26483  abelthlem8  26484  advlogexp  26698  cxpeq  26801  log2tlbnd  26989  log2ublem2  26991  log2ub  26993  birthdaylem2  26996  birthdaylem3  26997  ftalem1  27117  ftalem5  27121  basellem2  27126  basellem3  27127  dvdsppwf1o  27230  musum  27235  sgmppw  27242  1sgmprm  27244  logexprlim  27270  mersenne  27272  lgseisenlem1  27420  dchrisum0flblem1  27553  pntpbnd2  27632  crctcshwlkn0  29842  bcm1n  32798  plymulx0  34563  signsplypnf  34566  signstres  34591  subfacval2  35193  subfaclim  35194  cvmliftlem7  35297  bccolsum  35740  knoppcnlem7  36501  knoppcnlem8  36502  knoppndvlem5  36518  knoppndvlem11  36524  knoppndvlem14  36527  knoppndvlem15  36528  poimirlem3  37631  poimirlem4  37632  poimirlem12  37640  poimirlem15  37643  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem23  37651  poimirlem24  37652  poimirlem25  37653  poimirlem28  37656  poimirlem29  37657  poimirlem31  37659  iblmulc2nc  37693  lcmineqlem1  42031  lcmineqlem2  42032  lcmineqlem3  42033  lcmineqlem4  42034  lcmineqlem6  42036  aks6d1c2lem3  42128  bcled  42180  jm2.22  43012  jm2.23  43013  hbt  43147  cnsrplycl  43184  bcc0  44364  binomcxplemnn0  44373  binomcxplemfrat  44375  binomcxplemradcnv  44376  dvnmptdivc  45958  dvnmul  45963  dvnprodlem1  45966  dvnprodlem2  45967  dvnprodlem3  45968  iblsplit  45986  elaa2lem  46253  etransclem2  46256  etransclem23  46277  etransclem28  46282  etransclem29  46283  etransclem32  46286  etransclem33  46287  etransclem35  46289  etransclem38  46292  etransclem39  46293  etransclem43  46297  etransclem44  46298  etransclem45  46299  etransclem46  46300  etransclem47  46301  etransclem48  46302  2elfz3nn0  47333  fz0addcom  47334  2elfz2melfz  47335  fz0addge0  47336  fmtnorec2lem  47534  fmtnodvds  47536  fmtnorec3  47540  lighneallem3  47599  lighneallem4b  47601  lighneallem4  47602  altgsumbc  48273  altgsumbcALT  48274  ply1mulgsumlem2  48309  ply1mulgsum  48312  nn0sumshdiglemA  48545  nn0sumshdiglemB  48546  aacllem  49375