Theorem elfznn0 13520

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13518	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  0cc0 11006   ≤ cle 11147  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13522  fz0fzdiffz0  13537  difelfzle  13541  bcrpcl  14215  bccmpl  14216  bcp1n  14223  bcp1nk  14224  bcval5  14225  permnn  14233  pfxmpt  14586  pfxfv  14590  pfxlen  14591  addlenpfx  14598  pfxswrd  14613  swrdpfx  14614  pfxpfx  14615  pfxpfxid  14616  lenrevpfxcctswrd  14619  swrdccatin1  14632  pfxccat3  14641  pfxccatpfx1  14643  pfxccat3a  14645  swrdccat3blem  14646  splfv2a  14663  repswpfx  14692  2cshwcshw  14732  cshwcsh2id  14735  pfxco  14745  binomlem  15736  binom1p  15738  binom1dif  15740  bcxmas  15742  climcnds  15758  arisum  15767  arisum2  15768  pwdif  15775  geolim  15777  geo2sum  15780  mertenslem1  15791  mertenslem2  15792  mertens  15793  risefacval2  15917  fallfacval2  15918  fallfacval3  15919  risefaccllem  15920  fallfaccllem  15921  risefacp1  15936  fallfacp1  15937  fallfacfwd  15943  binomfallfaclem1  15946  binomfallfaclem2  15947  binomrisefac  15949  bcfallfac  15951  bpolylem  15955  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  bpoly4  15966  efcvgfsum  15993  efcj  15999  efaddlem  16000  effsumlt  16020  eirrlem  16113  3dvds  16242  pwp1fsum  16302  prmdiveq  16697  hashgcdlem  16699  pcbc  16812  vdwapf  16884  vdwlem2  16894  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  psgnunilem2  19407  efgcpbllemb  19667  srgbinomlem3  20146  srgbinomlem4  20147  srgbinomlem  20148  freshmansdream  21511  coe1mul2  22183  coe1tmmul2  22190  coe1tmmul  22191  cply1mul  22211  gsummoncoe1  22223  m2pmfzgsumcl  22663  decpmatmul  22687  pmatcollpw3fi1lem1  22701  mp2pm2mplem4  22724  pm2mpmhmlem2  22734  chpscmatgsumbin  22759  chpscmatgsummon  22760  chfacfscmulgsum  22775  chfacfpmmulgsum  22779  cpmadugsumlemB  22789  cpmadugsumlemC  22790  cpmadugsumlemF  22791  cpmadugsumfi  22792  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  itg0  25708  itgz  25709  itgcl  25712  iblabsr  25758  iblmulc2  25759  itgsplit  25764  dvn2bss  25859  coe1mul3  26031  elply2  26128  plyf  26130  elplyd  26134  ply1termlem  26135  plyeq0lem  26142  plypf1  26144  plyaddlem1  26145  plymullem1  26146  plyaddlem  26147  plymullem  26148  coeeulem  26156  coeidlem  26169  coeid3  26172  plyco  26173  coeeq2  26174  dgreq  26176  coefv0  26180  coeaddlem  26181  coemullem  26182  coemulhi  26186  coemulc  26187  coe1termlem  26190  plycn  26193  plycnOLD  26194  plycjlem  26209  plycj  26210  plycjOLD  26212  plyrecj  26214  dvply1  26218  dvply2g  26219  dvply2gOLD  26220  vieta1lem2  26246  elqaalem2  26255  elqaalem3  26256  aareccl  26261  aalioulem1  26267  taylply2  26302  taylply2OLD  26303  taylply  26304  dvtaylp  26305  dvntaylp0  26307  taylthlem2  26309  taylthlem2OLD  26310  pserulm  26358  psercn2  26359  psercn2OLD  26360  pserdvlem2  26365  abelthlem6  26373  abelthlem7  26375  abelthlem8  26376  advlogexp  26591  cxpeq  26694  log2tlbnd  26882  log2ublem2  26884  log2ub  26886  birthdaylem2  26889  birthdaylem3  26890  ftalem1  27010  ftalem5  27014  basellem2  27019  basellem3  27020  dvdsppwf1o  27123  musum  27128  sgmppw  27135  1sgmprm  27137  logexprlim  27163  mersenne  27165  lgseisenlem1  27313  dchrisum0flblem1  27446  pntpbnd2  27525  crctcshwlkn0  29799  bcm1n  32777  esplyfv1  33590  esplyfv  33591  esplysply  33592  plymulx0  34560  signsplypnf  34563  signstres  34588  subfacval2  35231  subfaclim  35232  cvmliftlem7  35335  bccolsum  35783  knoppcnlem7  36543  knoppcnlem8  36544  knoppndvlem5  36560  knoppndvlem11  36566  knoppndvlem14  36569  knoppndvlem15  36570  poimirlem3  37673  poimirlem4  37674  poimirlem12  37682  poimirlem15  37685  poimirlem16  37686  poimirlem17  37687  poimirlem19  37689  poimirlem20  37690  poimirlem23  37693  poimirlem24  37694  poimirlem25  37695  poimirlem28  37698  poimirlem29  37699  poimirlem31  37701  iblmulc2nc  37735  lcmineqlem1  42132  lcmineqlem2  42133  lcmineqlem3  42134  lcmineqlem4  42135  lcmineqlem6  42137  aks6d1c2lem3  42229  bcled  42281  jm2.22  43098  jm2.23  43099  hbt  43233  cnsrplycl  43270  bcc0  44443  binomcxplemnn0  44452  binomcxplemfrat  44454  binomcxplemradcnv  44455  dvnmptdivc  46046  dvnmul  46051  dvnprodlem1  46054  dvnprodlem2  46055  dvnprodlem3  46056  iblsplit  46074  elaa2lem  46341  etransclem2  46344  etransclem23  46365  etransclem28  46370  etransclem29  46371  etransclem32  46374  etransclem33  46375  etransclem35  46377  etransclem38  46380  etransclem39  46381  etransclem43  46385  etransclem44  46386  etransclem45  46387  etransclem46  46388  etransclem47  46389  etransclem48  46390  2elfz3nn0  47426  fz0addcom  47427  2elfz2melfz  47428  fz0addge0  47429  fmtnorec2lem  47652  fmtnodvds  47654  fmtnorec3  47658  lighneallem3  47717  lighneallem4b  47719  lighneallem4  47720  altgsumbc  48462  altgsumbcALT  48463  ply1mulgsumlem2  48498  ply1mulgsum  48501  nn0sumshdiglemA  48730  nn0sumshdiglemB  48731  aacllem  49912