Theorem elfznn0 13754

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13752	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1163	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  0cc0 11200   ≤ cle 11344  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  fz0ssnn0  13756  fz0fzdiffz0  13771  difelfzle  13775  bcrpcl  14452  bccmpl  14453  bcp1n  14460  bcp1nk  14461  bcval5  14462  permnn  14470  pfxmpt  14828  pfxfv  14832  pfxlen  14833  addlenpfx  14840  pfxswrd  14855  swrdpfx  14856  pfxpfx  14857  pfxpfxid  14858  lenrevpfxcctswrd  14861  swrdccatin1  14874  pfxccat3  14883  pfxccatpfx1  14885  pfxccat3a  14887  swrdccat3blem  14888  splfv2a  14905  repswpfx  14936  2cshwcshw  14976  cshwcsh2id  14979  pfxco  14989  binomlem  15998  binom1p  16000  binom1dif  16002  bcxmas  16004  climcnds  16020  arisum  16029  arisum2  16030  pwdif  16037  geolim  16039  geo2sum  16042  mertenslem1  16053  mertenslem2  16054  mertens  16055  risefacval2  16177  fallfacval2  16178  fallfacval3  16179  risefaccllem  16180  fallfaccllem  16181  risefacp1  16195  fallfacp1  16196  fallfacfwd  16202  binomfallfaclem1  16205  binomfallfaclem2  16206  binomrisefac  16208  bcfallfac  16210  bpolylem  16214  bpolysum  16219  bpolydiflem  16220  fsumkthpow  16222  bpoly4  16225  efcvgfsum  16252  efcj  16258  efaddlem  16259  effsumlt  16279  eirrlem  16372  3dvds  16501  pwp1fsum  16561  prmdiveq  16963  hashgcdlem  16965  pcbc  17078  vdwapf  17150  vdwlem2  17160  vdwlem6  17164  vdwlem8  17166  psgnunilem2  19709  efgcpbllemb  19969  srgbinomlem3  20454  srgbinomlem4  20455  srgbinomlem  20456  freshmansdream  21880  coe1mul2  22588  coe1tmmul2  22595  coe1tmmul  22596  cply1mul  22614  gsummoncoe1  22626  m2pmfzgsumcl  23066  decpmatmul  23090  pmatcollpw3fi1lem1  23104  mp2pm2mplem4  23127  pm2mpmhmlem2  23137  chpscmatgsumbin  23162  chpscmatgsummon  23163  chfacfscmulgsum  23178  chfacfpmmulgsum  23182  cpmadugsumlemB  23192  cpmadugsumlemC  23193  cpmadugsumlemF  23194  cpmadugsumfi  23195  mbfi1fseqlem3  26038  mbfi1fseqlem4  26039  itg0  26100  itgz  26101  itgcl  26104  iblabsr  26150  iblmulc2  26151  itgsplit  26156  dvn2bss  26250  coe1mul3  26417  elply2  26514  plyf  26516  elplyd  26520  ply1termlem  26521  plyeq0lem  26529  plypf1  26531  plyaddlem1  26532  plymullem1  26533  plyaddlem  26534  plymullem  26535  coeeulem  26543  coeidlem  26556  coeid3  26559  plyco  26560  coeeq2  26561  dgreq  26563  coefv0  26567  coeaddlem  26568  coemullem  26569  coemulhi  26573  coemulc  26574  coe1termlem  26577  plycn  26580  plycjlem  26595  plycj  26596  plyrecj  26598  plyn0mulidp  26602  dvply1  26605  dvply2g  26606  vieta1lem2  26634  elqaalem2  26643  elqaalem3  26644  aareccl  26653  aalioulem1  26659  taylply2  26695  taylply  26696  dvtaylp  26697  dvntaylp0  26699  taylthlem2  26701  pserulm  26749  psercn2  26750  pserdvlem2  26755  abelthlem6  26763  abelthlem7  26765  abelthlem8  26766  advlogexp  26983  cxpeq  27085  log2tlbnd  27273  log2ublem2  27275  log2ub  27277  birthdaylem2  27280  birthdaylem3  27281  ftalem1  27400  ftalem5  27404  basellem2  27409  basellem3  27410  dvdsppwf1o  27513  musum  27518  sgmppw  27524  1sgmprm  27526  logexprlim  27552  mersenne  27554  lgseisenlem1  27702  dchrisum0flblem1  27835  pntpbnd2  27914  crctcshwlkn0  30410  bcm1n  33387  gsummptrev  33617  gsummulsubdishift1  33629  esplyfv1  34201  esplyfv  34202  esplysply  34203  vietalem  34211  vieta  34212  signsplypnf  35179  signstres  35204  subfacval2  35952  subfaclim  35953  cvmliftlem7  36056  bccolsum  36504  knoppcnlem7  37365  knoppcnlem8  37366  knoppndvlem5  37382  knoppndvlem11  37388  knoppndvlem14  37391  knoppndvlem15  37392  poimirlem3  38541  poimirlem4  38542  poimirlem12  38550  poimirlem15  38553  poimirlem16  38554  poimirlem17  38555  poimirlem19  38557  poimirlem20  38558  poimirlem23  38561  poimirlem24  38562  poimirlem25  38563  poimirlem28  38566  poimirlem29  38567  poimirlem31  38569  iblmulc2nc  38603  lcmineqlem1  43079  lcmineqlem2  43080  lcmineqlem3  43081  lcmineqlem4  43082  lcmineqlem6  43084  aks6d1c2lem3  43176  bcled  43228  jm2.22  44001  jm2.23  44002  hbt  44131  cnsrplycl  44168  bcc0  45323  binomcxplemnn0  45332  binomcxplemfrat  45334  binomcxplemradcnv  45335  dvnmptdivc  46947  dvnmul  46952  dvnprodlem1  46955  dvnprodlem2  46956  dvnprodlem3  46957  iblsplit  46975  elaa2lem  47242  etransclem2  47245  etransclem23  47266  etransclem28  47271  etransclem29  47272  etransclem32  47275  etransclem33  47276  etransclem35  47278  etransclem38  47281  etransclem39  47282  etransclem43  47286  etransclem44  47287  etransclem45  47288  etransclem46  47289  etransclem47  47290  etransclem48  47291  2elfz3nn0  48385  fz0addcom  48386  2elfz2melfz  48387  fz0addge0  48388  facnn0dvdsfac  48454  fmtnorec2lem  48626  fmtnodvds  48628  fmtnorec3  48632  lighneallem3  48691  lighneallem4b  48693  lighneallem4  48694  altgsumbc  49463  altgsumbcALT  49464  ply1mulgsumlem2  49498  ply1mulgsum  49501  nn0sumshdiglemA  49730  nn0sumshdiglemB  49731  aacllem  50938