Theorem elfznn0 13522

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13520	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  0cc0 11013   ≤ cle 11154  ℕ₀cn0 12388  ...cfz 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13524  fz0fzdiffz0  13539  difelfzle  13543  bcrpcl  14217  bccmpl  14218  bcp1n  14225  bcp1nk  14226  bcval5  14227  permnn  14235  pfxmpt  14588  pfxfv  14592  pfxlen  14593  addlenpfx  14600  pfxswrd  14615  swrdpfx  14616  pfxpfx  14617  pfxpfxid  14618  lenrevpfxcctswrd  14621  swrdccatin1  14634  pfxccat3  14643  pfxccatpfx1  14645  pfxccat3a  14647  swrdccat3blem  14648  splfv2a  14665  repswpfx  14694  2cshwcshw  14734  cshwcsh2id  14737  pfxco  14747  binomlem  15738  binom1p  15740  binom1dif  15742  bcxmas  15744  climcnds  15760  arisum  15769  arisum2  15770  pwdif  15777  geolim  15779  geo2sum  15782  mertenslem1  15793  mertenslem2  15794  mertens  15795  risefacval2  15919  fallfacval2  15920  fallfacval3  15921  risefaccllem  15922  fallfaccllem  15923  risefacp1  15938  fallfacp1  15939  fallfacfwd  15945  binomfallfaclem1  15948  binomfallfaclem2  15949  binomrisefac  15951  bcfallfac  15953  bpolylem  15957  bpolysum  15962  bpolydiflem  15963  fsumkthpow  15965  bpoly4  15968  efcvgfsum  15995  efcj  16001  efaddlem  16002  effsumlt  16022  eirrlem  16115  3dvds  16244  pwp1fsum  16304  prmdiveq  16699  hashgcdlem  16701  pcbc  16814  vdwapf  16886  vdwlem2  16896  vdwlem6  16900  vdwlem8  16902  psgnunilem2  19409  efgcpbllemb  19669  srgbinomlem3  20148  srgbinomlem4  20149  srgbinomlem  20150  freshmansdream  21513  coe1mul2  22184  coe1tmmul2  22191  coe1tmmul  22192  cply1mul  22212  gsummoncoe1  22224  m2pmfzgsumcl  22664  decpmatmul  22688  pmatcollpw3fi1lem1  22702  mp2pm2mplem4  22725  pm2mpmhmlem2  22735  chpscmatgsumbin  22760  chpscmatgsummon  22761  chfacfscmulgsum  22776  chfacfpmmulgsum  22780  cpmadugsumlemB  22790  cpmadugsumlemC  22791  cpmadugsumlemF  22792  cpmadugsumfi  22793  mbfi1fseqlem3  25646  mbfi1fseqlem4  25647  itg0  25709  itgz  25710  itgcl  25713  iblabsr  25759  iblmulc2  25760  itgsplit  25765  dvn2bss  25860  coe1mul3  26032  elply2  26129  plyf  26131  elplyd  26135  ply1termlem  26136  plyeq0lem  26143  plypf1  26145  plyaddlem1  26146  plymullem1  26147  plyaddlem  26148  plymullem  26149  coeeulem  26157  coeidlem  26170  coeid3  26173  plyco  26174  coeeq2  26175  dgreq  26177  coefv0  26181  coeaddlem  26182  coemullem  26183  coemulhi  26187  coemulc  26188  coe1termlem  26191  plycn  26194  plycnOLD  26195  plycjlem  26210  plycj  26211  plycjOLD  26213  plyrecj  26215  dvply1  26219  dvply2g  26220  dvply2gOLD  26221  vieta1lem2  26247  elqaalem2  26256  elqaalem3  26257  aareccl  26262  aalioulem1  26268  taylply2  26303  taylply2OLD  26304  taylply  26305  dvtaylp  26306  dvntaylp0  26308  taylthlem2  26310  taylthlem2OLD  26311  pserulm  26359  psercn2  26360  psercn2OLD  26361  pserdvlem2  26366  abelthlem6  26374  abelthlem7  26376  abelthlem8  26377  advlogexp  26592  cxpeq  26695  log2tlbnd  26883  log2ublem2  26885  log2ub  26887  birthdaylem2  26890  birthdaylem3  26891  ftalem1  27011  ftalem5  27015  basellem2  27020  basellem3  27021  dvdsppwf1o  27124  musum  27129  sgmppw  27136  1sgmprm  27138  logexprlim  27164  mersenne  27166  lgseisenlem1  27314  dchrisum0flblem1  27447  pntpbnd2  27526  crctcshwlkn0  29801  bcm1n  32782  esplyfv1  33609  esplyfv  33610  esplysply  33611  plymulx0  34581  signsplypnf  34584  signstres  34609  subfacval2  35252  subfaclim  35253  cvmliftlem7  35356  bccolsum  35804  knoppcnlem7  36564  knoppcnlem8  36565  knoppndvlem5  36581  knoppndvlem11  36587  knoppndvlem14  36590  knoppndvlem15  36591  poimirlem3  37683  poimirlem4  37684  poimirlem12  37692  poimirlem15  37695  poimirlem16  37696  poimirlem17  37697  poimirlem19  37699  poimirlem20  37700  poimirlem23  37703  poimirlem24  37704  poimirlem25  37705  poimirlem28  37708  poimirlem29  37709  poimirlem31  37711  iblmulc2nc  37745  lcmineqlem1  42142  lcmineqlem2  42143  lcmineqlem3  42144  lcmineqlem4  42145  lcmineqlem6  42147  aks6d1c2lem3  42239  bcled  42291  jm2.22  43112  jm2.23  43113  hbt  43247  cnsrplycl  43284  bcc0  44457  binomcxplemnn0  44466  binomcxplemfrat  44468  binomcxplemradcnv  44469  dvnmptdivc  46060  dvnmul  46065  dvnprodlem1  46068  dvnprodlem2  46069  dvnprodlem3  46070  iblsplit  46088  elaa2lem  46355  etransclem2  46358  etransclem23  46379  etransclem28  46384  etransclem29  46385  etransclem32  46388  etransclem33  46389  etransclem35  46391  etransclem38  46394  etransclem39  46395  etransclem43  46399  etransclem44  46400  etransclem45  46401  etransclem46  46402  etransclem47  46403  etransclem48  46404  2elfz3nn0  47440  fz0addcom  47441  2elfz2melfz  47442  fz0addge0  47443  fmtnorec2lem  47666  fmtnodvds  47668  fmtnorec3  47672  lighneallem3  47731  lighneallem4b  47733  lighneallem4  47734  altgsumbc  48476  altgsumbcALT  48477  ply1mulgsumlem2  48512  ply1mulgsum  48515  nn0sumshdiglemA  48744  nn0sumshdiglemB  48745  aacllem  49926