Theorem elfznn0 13677

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13675	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  0cc0 11184   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12553  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13679  fz0fzdiffz0  13694  difelfzle  13698  bcrpcl  14357  bccmpl  14358  bcp1n  14365  bcp1nk  14366  bcval5  14367  permnn  14375  pfxmpt  14726  pfxfv  14730  pfxlen  14731  addlenpfx  14739  pfxswrd  14754  swrdpfx  14755  pfxpfx  14756  pfxpfxid  14757  swrdccatin1  14773  pfxccat3  14782  pfxccatpfx1  14784  pfxccat3a  14786  swrdccat3blem  14787  splfv2a  14804  repswpfx  14833  2cshwcshw  14874  cshwcsh2id  14877  pfxco  14887  binomlem  15877  binom1p  15879  binom1dif  15881  bcxmas  15883  climcnds  15899  arisum  15908  arisum2  15909  pwdif  15916  geolim  15918  geo2sum  15921  mertenslem1  15932  mertenslem2  15933  mertens  15934  risefacval2  16058  fallfacval2  16059  fallfacval3  16060  risefaccllem  16061  fallfaccllem  16062  risefacp1  16077  fallfacp1  16078  fallfacfwd  16084  binomfallfaclem1  16087  binomfallfaclem2  16088  binomrisefac  16090  bcfallfac  16092  bpolylem  16096  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  fsumkthpow  16104  bpoly4  16107  efcvgfsum  16134  efcj  16140  efaddlem  16141  effsumlt  16159  eirrlem  16252  3dvds  16379  pwp1fsum  16439  prmdiveq  16833  hashgcdlem  16835  pcbc  16947  vdwapf  17019  vdwlem2  17029  vdwlem6  17033  vdwlem8  17035  psgnunilem2  19537  efgcpbllemb  19797  srgbinomlem3  20255  srgbinomlem4  20256  srgbinomlem  20257  freshmansdream  21616  coe1mul2  22293  coe1tmmul2  22300  coe1tmmul  22301  cply1mul  22321  gsummoncoe1  22333  m2pmfzgsumcl  22775  decpmatmul  22799  pmatcollpw3fi1lem1  22813  mp2pm2mplem4  22836  pm2mpmhmlem2  22846  chpscmatgsumbin  22871  chpscmatgsummon  22872  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulgsum  22891  cpmadugsumlemB  22901  cpmadugsumlemC  22902  cpmadugsumlemF  22903  cpmadugsumfi  22904  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  itg0  25835  itgz  25836  itgcl  25839  iblabsr  25885  iblmulc2  25886  itgsplit  25891  dvn2bss  25986  coe1mul3  26158  elply2  26255  plyf  26257  elplyd  26261  ply1termlem  26262  plyeq0lem  26269  plypf1  26271  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  plyaddlem  26274  plymullem  26275  coeeulem  26283  coeidlem  26296  coeid3  26299  plyco  26300  coeeq2  26301  dgreq  26303  coefv0  26307  coeaddlem  26308  coemullem  26309  coemulhi  26313  coemulc  26314  coe1termlem  26317  plycn  26320  plycnOLD  26321  plycjlem  26336  plycj  26337  plyrecj  26339  dvply1  26343  dvply2g  26344  dvply2gOLD  26345  vieta1lem2  26371  elqaalem2  26380  elqaalem3  26381  aareccl  26386  aalioulem1  26392  taylply2  26427  taylply2OLD  26428  taylply  26429  dvtaylp  26430  dvntaylp0  26432  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  pserulm  26483  psercn2  26484  psercn2OLD  26485  pserdvlem2  26490  abelthlem6  26498  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  advlogexp  26715  cxpeq  26818  log2tlbnd  27006  log2ublem2  27008  log2ub  27010  birthdaylem2  27013  birthdaylem3  27014  ftalem1  27134  ftalem5  27138  basellem2  27143  basellem3  27144  dvdsppwf1o  27247  musum  27252  sgmppw  27259  1sgmprm  27261  logexprlim  27287  mersenne  27289  lgseisenlem1  27437  dchrisum0flblem1  27570  pntpbnd2  27649  crctcshwlkn0  29854  bcm1n  32800  plymulx0  34524  signsplypnf  34527  signstres  34552  subfacval2  35155  subfaclim  35156  cvmliftlem7  35259  bccolsum  35701  knoppcnlem7  36465  knoppcnlem8  36466  knoppndvlem5  36482  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem15  36492  poimirlem3  37583  poimirlem4  37584  poimirlem12  37592  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem28  37608  poimirlem29  37609  poimirlem31  37611  iblmulc2nc  37645  lcmineqlem1  41986  lcmineqlem2  41987  lcmineqlem3  41988  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem6  41991  aks6d1c2lem3  42083  bcled  42135  jm2.22  42952  jm2.23  42953  hbt  43087  cnsrplycl  43124  bcc0  44309  binomcxplemnn0  44318  binomcxplemfrat  44320  binomcxplemradcnv  44321  dvnmptdivc  45859  dvnmul  45864  dvnprodlem1  45867  dvnprodlem2  45868  dvnprodlem3  45869  iblsplit  45887  elaa2lem  46154  etransclem2  46157  etransclem23  46178  etransclem28  46183  etransclem29  46184  etransclem32  46187  etransclem33  46188  etransclem35  46190  etransclem38  46193  etransclem39  46194  etransclem43  46198  etransclem44  46199  etransclem45  46200  etransclem46  46201  etransclem47  46202  etransclem48  46203  2elfz3nn0  47231  fz0addcom  47232  2elfz2melfz  47233  fz0addge0  47234  fmtnorec2lem  47416  fmtnodvds  47418  fmtnorec3  47422  lighneallem3  47481  lighneallem4b  47483  lighneallem4  47484  altgsumbc  48077  altgsumbcALT  48078  ply1mulgsumlem2  48116  ply1mulgsum  48119  nn0sumshdiglemA  48353  nn0sumshdiglemB  48354  aacllem  48895