Theorem elfznn0 13534

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13532	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  0cc0 11024   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  ...cfz 13421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13536  fz0fzdiffz0  13551  difelfzle  13555  bcrpcl  14229  bccmpl  14230  bcp1n  14237  bcp1nk  14238  bcval5  14239  permnn  14247  pfxmpt  14600  pfxfv  14604  pfxlen  14605  addlenpfx  14612  pfxswrd  14627  swrdpfx  14628  pfxpfx  14629  pfxpfxid  14630  lenrevpfxcctswrd  14633  swrdccatin1  14646  pfxccat3  14655  pfxccatpfx1  14657  pfxccat3a  14659  swrdccat3blem  14660  splfv2a  14677  repswpfx  14706  2cshwcshw  14746  cshwcsh2id  14749  pfxco  14759  binomlem  15750  binom1p  15752  binom1dif  15754  bcxmas  15756  climcnds  15772  arisum  15781  arisum2  15782  pwdif  15789  geolim  15791  geo2sum  15794  mertenslem1  15805  mertenslem2  15806  mertens  15807  risefacval2  15931  fallfacval2  15932  fallfacval3  15933  risefaccllem  15934  fallfaccllem  15935  risefacp1  15950  fallfacp1  15951  fallfacfwd  15957  binomfallfaclem1  15960  binomfallfaclem2  15961  binomrisefac  15963  bcfallfac  15965  bpolylem  15969  bpolysum  15974  bpolydiflem  15975  fsumkthpow  15977  bpoly4  15980  efcvgfsum  16007  efcj  16013  efaddlem  16014  effsumlt  16034  eirrlem  16127  3dvds  16256  pwp1fsum  16316  prmdiveq  16711  hashgcdlem  16713  pcbc  16826  vdwapf  16898  vdwlem2  16908  vdwlem6  16912  vdwlem8  16914  psgnunilem2  19422  efgcpbllemb  19682  srgbinomlem3  20161  srgbinomlem4  20162  srgbinomlem  20163  freshmansdream  21527  coe1mul2  22209  coe1tmmul2  22216  coe1tmmul  22217  cply1mul  22238  gsummoncoe1  22250  m2pmfzgsumcl  22690  decpmatmul  22714  pmatcollpw3fi1lem1  22728  mp2pm2mplem4  22751  pm2mpmhmlem2  22761  chpscmatgsumbin  22786  chpscmatgsummon  22787  chfacfscmulgsum  22802  chfacfpmmulgsum  22806  cpmadugsumlemB  22816  cpmadugsumlemC  22817  cpmadugsumlemF  22818  cpmadugsumfi  22819  mbfi1fseqlem3  25672  mbfi1fseqlem4  25673  itg0  25735  itgz  25736  itgcl  25739  iblabsr  25785  iblmulc2  25786  itgsplit  25791  dvn2bss  25886  coe1mul3  26058  elply2  26155  plyf  26157  elplyd  26161  ply1termlem  26162  plyeq0lem  26169  plypf1  26171  plyaddlem1  26172  plymullem1  26173  plyaddlem  26174  plymullem  26175  coeeulem  26183  coeidlem  26196  coeid3  26199  plyco  26200  coeeq2  26201  dgreq  26203  coefv0  26207  coeaddlem  26208  coemullem  26209  coemulhi  26213  coemulc  26214  coe1termlem  26217  plycn  26220  plycnOLD  26221  plycjlem  26236  plycj  26237  plycjOLD  26239  plyrecj  26241  dvply1  26245  dvply2g  26246  dvply2gOLD  26247  vieta1lem2  26273  elqaalem2  26282  elqaalem3  26283  aareccl  26288  aalioulem1  26294  taylply2  26329  taylply2OLD  26330  taylply  26331  dvtaylp  26332  dvntaylp0  26334  taylthlem2  26336  taylthlem2OLD  26337  pserulm  26385  psercn2  26386  psercn2OLD  26387  pserdvlem2  26392  abelthlem6  26400  abelthlem7  26402  abelthlem8  26403  advlogexp  26618  cxpeq  26721  log2tlbnd  26909  log2ublem2  26911  log2ub  26913  birthdaylem2  26916  birthdaylem3  26917  ftalem1  27037  ftalem5  27041  basellem2  27046  basellem3  27047  dvdsppwf1o  27150  musum  27155  sgmppw  27162  1sgmprm  27164  logexprlim  27190  mersenne  27192  lgseisenlem1  27340  dchrisum0flblem1  27473  pntpbnd2  27552  crctcshwlkn0  29843  bcm1n  32824  gsummptrev  33088  gsummulsubdishift1  33100  esplyfv1  33676  esplyfv  33677  esplysply  33678  vietalem  33684  vieta  33685  plymulx0  34653  signsplypnf  34656  signstres  34681  subfacval2  35330  subfaclim  35331  cvmliftlem7  35434  bccolsum  35882  knoppcnlem7  36642  knoppcnlem8  36643  knoppndvlem5  36659  knoppndvlem11  36665  knoppndvlem14  36668  knoppndvlem15  36669  poimirlem3  37763  poimirlem4  37764  poimirlem12  37772  poimirlem15  37775  poimirlem16  37776  poimirlem17  37777  poimirlem19  37779  poimirlem20  37780  poimirlem23  37783  poimirlem24  37784  poimirlem25  37785  poimirlem28  37788  poimirlem29  37789  poimirlem31  37791  iblmulc2nc  37825  lcmineqlem1  42222  lcmineqlem2  42223  lcmineqlem3  42224  lcmineqlem4  42225  lcmineqlem6  42227  aks6d1c2lem3  42319  bcled  42371  jm2.22  43179  jm2.23  43180  hbt  43314  cnsrplycl  43351  bcc0  44523  binomcxplemnn0  44532  binomcxplemfrat  44534  binomcxplemradcnv  44535  dvnmptdivc  46124  dvnmul  46129  dvnprodlem1  46132  dvnprodlem2  46133  dvnprodlem3  46134  iblsplit  46152  elaa2lem  46419  etransclem2  46422  etransclem23  46443  etransclem28  46448  etransclem29  46449  etransclem32  46452  etransclem33  46453  etransclem35  46455  etransclem38  46458  etransclem39  46459  etransclem43  46463  etransclem44  46464  etransclem45  46465  etransclem46  46466  etransclem47  46467  etransclem48  46468  2elfz3nn0  47504  fz0addcom  47505  2elfz2melfz  47506  fz0addge0  47507  fmtnorec2lem  47730  fmtnodvds  47732  fmtnorec3  47736  lighneallem3  47795  lighneallem4b  47797  lighneallem4  47798  altgsumbc  48540  altgsumbcALT  48541  ply1mulgsumlem2  48575  ply1mulgsum  48578  nn0sumshdiglemA  48807  nn0sumshdiglemB  48808  aacllem  49988