Theorem elfznn0 13548

Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a nonnegative integer. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn0	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem elfznn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13546	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
2	1	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  fz0ssnn0  13550  fz0fzdiffz0  13565  difelfzle  13569  bcrpcl  14243  bccmpl  14244  bcp1n  14251  bcp1nk  14252  bcval5  14253  permnn  14261  pfxmpt  14614  pfxfv  14618  pfxlen  14619  addlenpfx  14626  pfxswrd  14641  swrdpfx  14642  pfxpfx  14643  pfxpfxid  14644  lenrevpfxcctswrd  14647  swrdccatin1  14660  pfxccat3  14669  pfxccatpfx1  14671  pfxccat3a  14673  swrdccat3blem  14674  splfv2a  14691  repswpfx  14720  2cshwcshw  14760  cshwcsh2id  14763  pfxco  14773  binomlem  15764  binom1p  15766  binom1dif  15768  bcxmas  15770  climcnds  15786  arisum  15795  arisum2  15796  pwdif  15803  geolim  15805  geo2sum  15808  mertenslem1  15819  mertenslem2  15820  mertens  15821  risefacval2  15945  fallfacval2  15946  fallfacval3  15947  risefaccllem  15948  fallfaccllem  15949  risefacp1  15964  fallfacp1  15965  fallfacfwd  15971  binomfallfaclem1  15974  binomfallfaclem2  15975  binomrisefac  15977  bcfallfac  15979  bpolylem  15983  bpolysum  15988  bpolydiflem  15989  fsumkthpow  15991  bpoly4  15994  efcvgfsum  16021  efcj  16027  efaddlem  16028  effsumlt  16048  eirrlem  16141  3dvds  16270  pwp1fsum  16330  prmdiveq  16725  hashgcdlem  16727  pcbc  16840  vdwapf  16912  vdwlem2  16922  vdwlem6  16926  vdwlem8  16928  psgnunilem2  19436  efgcpbllemb  19696  srgbinomlem3  20175  srgbinomlem4  20176  srgbinomlem  20177  freshmansdream  21541  coe1mul2  22223  coe1tmmul2  22230  coe1tmmul  22231  cply1mul  22252  gsummoncoe1  22264  m2pmfzgsumcl  22704  decpmatmul  22728  pmatcollpw3fi1lem1  22742  mp2pm2mplem4  22765  pm2mpmhmlem2  22775  chpscmatgsumbin  22800  chpscmatgsummon  22801  chfacfscmulgsum  22816  chfacfpmmulgsum  22820  cpmadugsumlemB  22830  cpmadugsumlemC  22831  cpmadugsumlemF  22832  cpmadugsumfi  22833  mbfi1fseqlem3  25686  mbfi1fseqlem4  25687  itg0  25749  itgz  25750  itgcl  25753  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgsplit  25805  dvn2bss  25900  coe1mul3  26072  elply2  26169  plyf  26171  elplyd  26175  ply1termlem  26176  plyeq0lem  26183  plypf1  26185  plyaddlem1  26186  plymullem1  26187  plyaddlem  26188  plymullem  26189  coeeulem  26197  coeidlem  26210  coeid3  26213  plyco  26214  coeeq2  26215  dgreq  26217  coefv0  26221  coeaddlem  26222  coemullem  26223  coemulhi  26227  coemulc  26228  coe1termlem  26231  plycn  26234  plycnOLD  26235  plycjlem  26250  plycj  26251  plycjOLD  26253  plyrecj  26255  dvply1  26259  dvply2g  26260  dvply2gOLD  26261  vieta1lem2  26287  elqaalem2  26296  elqaalem3  26297  aareccl  26302  aalioulem1  26308  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  taylply  26345  dvtaylp  26346  dvntaylp0  26348  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  pserulm  26399  psercn2  26400  psercn2OLD  26401  pserdvlem2  26406  abelthlem6  26414  abelthlem7  26416  abelthlem8  26417  advlogexp  26632  cxpeq  26735  log2tlbnd  26923  log2ublem2  26925  log2ub  26927  birthdaylem2  26930  birthdaylem3  26931  ftalem1  27051  ftalem5  27055  basellem2  27060  basellem3  27061  dvdsppwf1o  27164  musum  27169  sgmppw  27176  1sgmprm  27178  logexprlim  27204  mersenne  27206  lgseisenlem1  27354  dchrisum0flblem1  27487  pntpbnd2  27566  crctcshwlkn0  29906  bcm1n  32886  gsummptrev  33150  gsummulsubdishift1  33162  esplyfv1  33746  esplyfv  33747  esplysply  33748  vietalem  33756  vieta  33757  plymulx0  34725  signsplypnf  34728  signstres  34753  subfacval2  35403  subfaclim  35404  cvmliftlem7  35507  bccolsum  35955  knoppcnlem7  36721  knoppcnlem8  36722  knoppndvlem5  36738  knoppndvlem11  36744  knoppndvlem14  36747  knoppndvlem15  36748  poimirlem3  37874  poimirlem4  37875  poimirlem12  37883  poimirlem15  37886  poimirlem16  37887  poimirlem17  37888  poimirlem19  37890  poimirlem20  37891  poimirlem23  37894  poimirlem24  37895  poimirlem25  37896  poimirlem28  37899  poimirlem29  37900  poimirlem31  37902  iblmulc2nc  37936  lcmineqlem1  42399  lcmineqlem2  42400  lcmineqlem3  42401  lcmineqlem4  42402  lcmineqlem6  42404  aks6d1c2lem3  42496  bcled  42548  jm2.22  43352  jm2.23  43353  hbt  43487  cnsrplycl  43524  bcc0  44696  binomcxplemnn0  44705  binomcxplemfrat  44707  binomcxplemradcnv  44708  dvnmptdivc  46296  dvnmul  46301  dvnprodlem1  46304  dvnprodlem2  46305  dvnprodlem3  46306  iblsplit  46324  elaa2lem  46591  etransclem2  46594  etransclem23  46615  etransclem28  46620  etransclem29  46621  etransclem32  46624  etransclem33  46625  etransclem35  46627  etransclem38  46630  etransclem39  46631  etransclem43  46635  etransclem44  46636  etransclem45  46637  etransclem46  46638  etransclem47  46639  etransclem48  46640  2elfz3nn0  47676  fz0addcom  47677  2elfz2melfz  47678  fz0addge0  47679  fmtnorec2lem  47902  fmtnodvds  47904  fmtnorec3  47908  lighneallem3  47967  lighneallem4b  47969  lighneallem4  47970  altgsumbc  48712  altgsumbcALT  48713  ply1mulgsumlem2  48747  ply1mulgsum  48750  nn0sumshdiglemA  48979  nn0sumshdiglemB  48980  aacllem  50160