MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfzsplit 19878
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the right. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p + = (+g𝐺)
gsummptfzsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplit.y ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsummptfzsplit (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplit
StepHypRef Expression
1 gsummptfzsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptfzsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
3 gsummptfzsplit.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 fzfid 13962 . 2 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
5 gsummptfzsplit.y . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌𝐵)
6 fzp1disj 13584 . . 3 ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
76a1i 11 . 2 (𝜑 → ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
8 gsummptfzsplit.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 elnn0uz 12889 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
108, 9sylib 217 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
11 fzsuc 13572 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
131, 2, 3, 4, 5, 7, 12gsummptfidmsplit 19876 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  cun 3942  cin 3943  c0 4318  {csn 4624  cmpt 5225  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  0cn0 12494  cuz 12844  ...cfz 13508  Basecbs 17171  +gcplusg 17224   Σg cgsu 17413  CMndccmn 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-cntz 19259  df-cmn 19728
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  20159  freshmansdream  21495  pmatcollpw3fi1lem1  22675  chfacfscmulgsum  22749  chfacfpmmulgsum  22753  cpmadugsumlemF  22765  aks6d1c1  41520
  Copyright terms: Public domain W3C validator