Theorem gsummptfzsplit 20033

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the right. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplit.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 14029	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplit.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		fzp1disj 13630	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
8		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		elnn0uz 12921	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10	8, 9	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
11		fzsuc 13618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12	gsummptfidmsplit 20031	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  ∅c0 4289  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121  ℕ₀cn0 12522  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335   Σ_g cgsu 17518  CMndccmn 19881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-cntz 19418  df-cmn 19883

This theorem is used by:  srgbinomlem3  20341  freshmansdream  21761  pmatcollpw3fi1lem1  22980  chfacfscmulgsum  23054  chfacfpmmulgsum  23058  cpmadugsumlemF  23070  aks6d1c1  42924