MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfzsplit 19578
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the right. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p + = (+g𝐺)
gsummptfzsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplit.y ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsummptfzsplit (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplit
StepHypRef Expression
1 gsummptfzsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptfzsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
3 gsummptfzsplit.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 fzfid 13739 . 2 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
5 gsummptfzsplit.y . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌𝐵)
6 fzp1disj 13361 . . 3 ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
76a1i 11 . 2 (𝜑 → ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
8 gsummptfzsplit.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 elnn0uz 12669 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
108, 9sylib 217 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
11 fzsuc 13349 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
1210, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
131, 2, 3, 4, 5, 7, 12gsummptfidmsplit 19576 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1539  wcel 2104  cun 3890  cin 3891  c0 4262  {csn 4565  cmpt 5164  cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920  0cn0 12279  cuz 12628  ...cfz 13285  Basecbs 16957  +gcplusg 17007   Σg cgsu 17196  CMndccmn 19431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-cntz 18968  df-cmn 19433
This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  19823  pmatcollpw3fi1lem1  21980  chfacfscmulgsum  22054  chfacfpmmulgsum  22058  cpmadugsumlemF  22070  freshmansdream  31529
  Copyright terms: Public domain W3C validator