Theorem gsummptfzsplit 19869

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, extracting a singleton from the right. (Contributed by AV, 25-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplit.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 13945	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplit.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		fzp1disj 13551	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
8		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		elnn0uz 12845	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
10	8, 9	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
11		fzsuc 13539	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
13	1, 2, 3, 4, 5, 7, 12	gsummptfidmsplit 19867	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227   Σ_g cgsu 17410  CMndccmn 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-cntz 19256  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  srgbinomlem3  20144  freshmansdream  21491  pmatcollpw3fi1lem1  22680  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulgsum  22758  cpmadugsumlemF  22770  aks6d1c1  42111