Theorem esumfzf 30578

Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumfzf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹

Assertion

Ref	Expression
esumfzf	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 2009	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 1
2		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
3	1, 2	esumeq1d 30544	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6375	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
5	3, 4	eqeq12d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1)))
6	5	imbi2d 331	. . 3 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))))
7		nfv 2009	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑛
8		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
9	7, 8	esumeq1d 30544	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘))
10		fveq2 6375	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
11	9, 10	eqeq12d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)))
12	11	imbi2d 331	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))))
13		nfv 2009	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
15	13, 14	esumeq1d 30544	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
16		fveq2 6375	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
17	15, 16	eqeq12d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
18	17	imbi2d 331	. . 3 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19		nfv 2009	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑁
20		oveq2 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
21	19, 20	esumeq1d 30544	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘))
22		fveq2 6375	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
23	21, 22	eqeq12d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
24	23	imbi2d 331	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))))
25		fveq2 6375	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
26		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{1}
27		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘{1}
28		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
29		esumfzf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
30		nfcv 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
31	29, 30	nffv 6385	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑥)
32	25, 26, 27, 28, 31	cbvesum 30551	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥)
33		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	fveq2d 6379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
35		1z 11654	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37		1nn 11287	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38		ffvelrn 6547	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
39	37, 38	mpan2 682	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
40	34, 36, 39	esumsn 30574	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
41	32, 40	syl5eq 2811	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
42		fzsn 12590	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
43	35, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...1) = {1}
44		esumeq1 30543	. . . . 5 ⊢ ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘))
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘)
46		seq1 13021	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
47	35, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
48	41, 45, 47	3eqtr4g 2824	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
49		simpl 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50		nnuz 11923	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	syl6eleq 2854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
52		seqp1 13023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
54	53	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
56	55	oveq1d 6857	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57		nfv 2009	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
58	57	nfci 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
59		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
60	29, 58, 59	nff 6219	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
61	57, 60	nfan 1998	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62		fzsuc 12595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
64	61, 63	esumeq1d 30544	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘))
65		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑛)
66		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘{(𝑛 + 1)}
67		ovexd 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
68		snex 5064	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝑛 + 1)} ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
70		fzp1disj 12606	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
72		simplr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
73		fzssnn 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
74	37, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
75		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
76	74, 75	sseldi 3759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
77	72, 76	ffvelrnd 6550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
78		simplr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)})
80		velsn 4350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
81	79, 80	sylib 209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
82		simpll 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
83	82	peano2nnd 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
84	81, 83	eqeltrd 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
85	78, 84	ffvelrnd 6550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
86	61, 65, 66, 67, 69, 71, 77, 85	esumsplit 30562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)))
87		nfcv 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥{(𝑛 + 1)}
88	25, 87, 66, 28, 31	cbvesum 30551	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥)
89		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
90	89	fveq2d 6379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
91	49	peano2nnd 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
92		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
93	92, 91	ffvelrnd 6550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
94	90, 91, 93	esumsn 30574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
95	88, 94	syl5eq 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
96	95	oveq2d 6858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
97	64, 86, 96	3eqtrrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
98	97	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
99	54, 56, 98	3eqtr2rd 2806	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
100	99	exp31 410	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
101	100	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
102	6, 12, 18, 24, 48, 101	nnind 11294	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
103	102	impcom 396	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  Ⅎwnfc 2894  Vcvv 3350   ∪ cun 3730   ∩ cin 3731   ⊆ wss 3732  ∅c0 4079  {csn 4334  ⟶wf 6064  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  +∞cpnf 10325  ℕcn 11274  ℤcz 11624  ℤ_≥cuz 11886   +_𝑒 cxad 12144  [,]cicc 12380  ...cfz 12533  seqcseq 13008  Σ^*cesum 30536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-ordt 16427  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-ps 17466  df-tsr 17467  df-plusf 17507  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-mhm 17601  df-submnd 17602  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-mulg 17808  df-subg 17855  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-subrg 19047  df-abv 19086  df-lmod 19134  df-scaf 19135  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-tmd 22155  df-tgp 22156  df-tsms 22209  df-trg 22242  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-nm 22666  df-ngp 22667  df-nrg 22669  df-nlm 22670  df-ii 22959  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-esum 30537

This theorem is referenced by:  esumfsup  30579  esumsup  30598