Theorem esumfzf 34265

Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumfzf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹

Assertion

Ref	Expression
esumfzf	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 1
2		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
3	1, 2	esumeq1d 34231	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
5	3, 4	eqeq12d 2757	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1)))
6	5	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))))
7		nfv 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑛
8		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
9	7, 8	esumeq1d 34231	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘))
10		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
11	9, 10	eqeq12d 2757	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)))
12	11	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))))
13		nfv 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
15	13, 14	esumeq1d 34231	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
16		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
17	15, 16	eqeq12d 2757	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
18	17	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19		nfv 1922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑁
20		oveq2 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
21	19, 20	esumeq1d 34231	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘))
22		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
23	21, 22	eqeq12d 2757	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
24	23	imbi2d 342	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))))
25		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
26		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{1}
27		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘{1}
28		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
29		esumfzf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
30		nfcv 2903	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
31	29, 30	nffv 6841	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑥)
32	25, 26, 27, 28, 31	cbvesum 34238	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥)
33		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
35		1z 12552	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37		1nn 12180	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38		ffvelcdm 7026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
39	37, 38	mpan2 698	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
40	34, 36, 39	esumsn 34261	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
41	32, 40	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
42		fzsn 13515	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
43	35, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...1) = {1}
44		esumeq1 34230	. . . . 5 ⊢ ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘))
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘)
46		seq1 13971	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
47	35, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
48	41, 45, 47	3eqtr4g 2801	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
49		simpl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50		nnuz 12822	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
52		seqp1 13973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
54	53	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
56	55	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57		nfv 1922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
58	57	nfci 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
59		nfcv 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
60	29, 58, 59	nff 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
61	57, 60	nfan 1907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62		fzsuc 13520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
63	51, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
64	61, 63	esumeq1d 34231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘))
65		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑛)
66		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘{(𝑛 + 1)}
67		ovexd 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
68		snex 5371	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝑛 + 1)} ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
70		fzp1disj 13532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
72		simplr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
73		fzssnn 13517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
74	37, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
75		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
76	74, 75	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
77	72, 76	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
78		simplr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
79		velsn 4574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
80	79	bilani 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
81		simpll 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
82	81	peano2nnd 12186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
83	80, 82	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
84	78, 83	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85	61, 65, 66, 67, 69, 71, 77, 84	esumsplit 34249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)))
86		nfcv 2903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥{(𝑛 + 1)}
87	25, 86, 66, 28, 31	cbvesum 34238	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥)
88		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
89	88	fveq2d 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
90	49	peano2nnd 12186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
91		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
92	91, 90	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
93	89, 90, 92	esumsn 34261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
94	87, 93	eqtrid 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
95	94	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
96	64, 85, 95	3eqtrrd 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
97	96	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
98	54, 56, 97	3eqtr2rd 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
99	98	exp31 421	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
100	99	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
101	6, 12, 18, 24, 48, 100	nnind 12187	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
102	101	impcom 409	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Ⅎwnfc 2888  Vcvv 3433   ∪ cun 3883   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264  {csn 4558  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036  +∞cpnf 11171  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783   +_𝑒 cxad 13056  [,]cicc 13296  ...cfz 13456  seqcseq 13958  Σ^*cesum 34223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112  ax-mulf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-ordt 17460  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-ps 18527  df-tsr 18528  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-abv 20785  df-lmod 20856  df-scaf 20857  df-sra 21167  df-rgmod 21168  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-tmd 24059  df-tgp 24060  df-tsms 24114  df-trg 24147  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-nm 24569  df-ngp 24570  df-nrg 24572  df-nlm 24573  df-ii 24866  df-cncf 24867  df-limc 25855  df-dv 25856  df-log 26542  df-esum 34224

This theorem is referenced by:  esumfsup  34266  esumsup  34285