Theorem esumfzf 34768

Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumfzf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹

Assertion

Ref	Expression
esumfzf	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 1
2		oveq2 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
3	1, 2	esumeq1d 34734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +e , 𝐹)‘1))
5	3, 4	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘1)))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘1))))
7		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑛
8		oveq2 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
9	7, 8	esumeq1d 34734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘))
10		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛))
11	9, 10	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛))))
13		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14		oveq2 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
15	13, 14	esumeq1d 34734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
16		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
17	15, 16	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑁
20		oveq2 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
21	19, 20	esumeq1d 34734	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘))
22		fveq2 6905	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑁))
23	21, 22	eqeq12d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑁)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑁))))
25		fveq2 6905	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
26		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{1}
27		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘{1}
28		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
29		esumfzf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
30		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
31	29, 30	nffv 6915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑥)
32	25, 26, 27, 28, 31	cbvesum 34741	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
35		1z 12750	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37		1nn 12370	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38		ffvelcdm 7102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
39	37, 38	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
40	34, 36, 39	esumsn 34764	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
41	32, 40	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
42		fzsn 13724	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
43	35, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...1) = {1}
44		esumeq1 34733	. . . . 5 ⊢ ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘))
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘)
46		seq1 14181	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( +e , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
47	35, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (seq1( +e , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
48	41, 45, 47	3eqtr4g 2823	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘1))
49		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50		nnuz 13028	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2874	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
52		seqp1 14183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +e , 𝐹)‘𝑛) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +e , 𝐹)‘𝑛) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))))
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +e , 𝐹)‘𝑛) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛))
56	55	oveq1d 7455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +e , 𝐹)‘𝑛) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57		nfv 1949	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
58	57	nfci 2914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
59		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
60	29, 58, 59	nff 6724	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
61	57, 60	nfan 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62		fzsuc 13729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
63	51, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
64	61, 63	esumeq1d 34734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘))
65		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑛)
66		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘{(𝑛 + 1)}
67		ovexd 7475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
68		snex 5401	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝑛 + 1)} ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
70		fzp1disj 13741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
72		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
73		fzssnn 13726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
74	37, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
75		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
76	74, 75	sselid 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
77	72, 76	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
78		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
79		velsn 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
80	79	bilani 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
81		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
82	81	peano2nnd 12376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
83	80, 82	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
84	78, 83	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85	61, 65, 66, 67, 69, 71, 77, 84	esumsplit 34752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +e Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)))
86		nfcv 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥{(𝑛 + 1)}
87	25, 86, 66, 28, 31	cbvesum 34741	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥)
88		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
89	88	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
90	49	peano2nnd 12376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
91		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
92	91, 90	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
93	89, 90, 92	esumsn 34764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
94	87, 93	eqtrid 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
95	94	oveq2d 7456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +e Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))))
96	64, 85, 95	3eqtrrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
97	96	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +e (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
98	54, 56, 97	3eqtr2rd 2805	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
99	98	exp31 425	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
100	99	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
101	6, 12, 18, 24, 48, 100	nnind 12377	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑁)))
102	101	impcom 413	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +e , 𝐹)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227  +∞cpnf 11364  ℕcn 12359  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989   +_e cxad 13263  [,]cicc 13503  ...cfz 13663  seqcseq 14168  Σ^*cesum 34726

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-ordt 17699  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-ps 18766  df-tsr 18767  df-plusf 18841  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-abv 21093  df-lmod 21164  df-scaf 21165  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-tmd 24418  df-tgp 24419  df-tsms 24473  df-trg 24506  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-nm 24928  df-ngp 24929  df-nrg 24931  df-nlm 24932  df-ii 25225  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214  df-log 26911  df-esum 34727

This theorem is used by:  esumfsup  34769  esumsup  34788