Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfzf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfzf 32708
Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfzf.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfzf ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 1
2 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
31, 2esumeq1d 32674 . . . . 5 (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘))
4 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
53, 4eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1)))
65imbi2d 341 . . 3 (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))))
7 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 𝑛
8 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
97, 8esumeq1d 32674 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
10 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
119, 10eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)))
1211imbi2d 341 . . 3 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))))
13 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
1513, 14esumeq1d 32674 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
16 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
1715, 16eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
1817imbi2d 341 . . 3 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 𝑁
20 oveq2 7370 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
2119, 20esumeq1d 32674 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘))
22 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
2321, 22eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
2423imbi2d 341 . . 3 (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))))
25 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
26 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑥{1}
27 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑘{1}
28 nfcv 2908 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑘)
29 esumfzf.1 . . . . . . 7 𝑘𝐹
30 nfcv 2908 . . . . . . 7 𝑘𝑥
3129, 30nffv 6857 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑥)
3225, 26, 27, 28, 31cbvesum 32681 . . . . 5 Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹𝑥)
33 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
3433fveq2d 6851 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
35 1z 12540 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37 1nn 12171 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
38 ffvelcdm 7037 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
3937, 38mpan2 690 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
4034, 36, 39esumsn 32704 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
4132, 40eqtrid 2789 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
42 fzsn 13490 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
4335, 42ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
44 esumeq1 32673 . . . . 5 ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘)
46 seq1 13926 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4735, 46ax-mp 5 . . . 4 (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
4841, 45, 473eqtr4g 2802 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
49 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5149, 50eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
52 seqp1 13928 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5453adantr 482 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
5655oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
5857nfci 2891 . . . . . . . . . . 11 𝑘
59 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
6029, 58, 59nff 6669 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
6157, 60nfan 1903 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62 fzsuc 13495 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
6351, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
6461, 63esumeq1d 32674 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹𝑘))
65 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
66 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 𝑘{(𝑛 + 1)}
67 ovexd 7397 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
68 snex 5393 . . . . . . . . . 10 {(𝑛 + 1)} ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
70 fzp1disj 13507 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
72 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
73 fzssnn 13492 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
7437, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑛) ⊆ ℕ
75 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
7674, 75sselid 3947 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7772, 76ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
78 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
79 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)})
80 velsn 4607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
82 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
8382peano2nnd 12177 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8481, 83eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8578, 84ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
8661, 65, 66, 67, 69, 71, 77, 85esumsplit 32692 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘)))
87 nfcv 2908 . . . . . . . . . . 11 𝑥{(𝑛 + 1)}
8825, 87, 66, 28, 31cbvesum 32681 . . . . . . . . . 10 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑥)
89 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
9089fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9149peano2nnd 12177 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
92 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
9392, 91ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
9490, 91, 93esumsn 32704 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9588, 94eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9695oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9764, 86, 963eqtrrd 2782 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
9897adantr 482 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
9954, 56, 983eqtr2rd 2784 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
10099exp31 421 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
101100a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
1026, 12, 18, 24, 48, 101nnind 12178 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
103102impcom 409 1 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wnfc 2888  Vcvv 3448  cun 3913  cin 3914  wss 3915  c0 4287  {csn 4591  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  cn 12160  cz 12506  cuz 12770   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  seqcseq 13913  Σ*cesum 32666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667
This theorem is referenced by:  esumfsup  32709  esumsup  32728
  Copyright terms: Public domain W3C validator