Theorem esumfzf 34612

Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumfzf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐹

Assertion

Ref	Expression
esumfzf	⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf

Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 1
2		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
3	1, 2	esumeq1d 34578	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘))
4		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
5	3, 4	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1)))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))))
7		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑛
8		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
9	7, 8	esumeq1d 34578	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘))
10		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
11	9, 10	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))))
13		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
15	13, 14	esumeq1d 34578	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
16		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
17	15, 16	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
18	17	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 = 𝑁
20		oveq2 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
21	19, 20	esumeq1d 34578	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘))
22		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
23	21, 22	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
24	23	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))))
25		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑥))
26		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{1}
27		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘{1}
28		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑘)
29		esumfzf.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
30		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
31	29, 30	nffv 6891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑥)
32	25, 26, 27, 28, 31	cbvesum 34585	. . . . 5 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥)
33		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
34	33	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
35		1z 12673	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
36	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37		1nn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
38		ffvelcdm 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
39	37, 38	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
40	34, 36, 39	esumsn 34608	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘1))
41	32, 40	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
42		fzsn 13646	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
43	35, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...1) = {1}
44		esumeq1 34577	. . . . 5 ⊢ ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘))
45	43, 44	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹‘𝑘)
46		seq1 14103	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
47	35, 46	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
48	41, 45, 47	3eqtr4g 2820	. . 3 ⊢ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
49		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50		nnuz 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
51	49, 50	eleqtrdi 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
52		seqp1 14105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
56	55	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
58	57	nfci 2910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
59		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(0[,]+∞)
60	29, 58, 59	nff 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
61	57, 60	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62		fzsuc 13651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
63	51, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
64	61, 63	esumeq1d 34578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘))
65		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑛)
66		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘{(𝑛 + 1)}
67		ovexd 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
68		snex 5404	. . . . . . . . . 10 ⊢ {(𝑛 + 1)} ∈ V
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
70		fzp1disj 13663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
72		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
73		fzssnn 13648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
74	37, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑛) ⊆ ℕ
75		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
76	74, 75	sselid 3929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
77	72, 76	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
78		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
79		velsn 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
80	79	bilani 510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
81		simpll 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
82	81	peano2nnd 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
83	80, 82	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
84	78, 83	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
85	61, 65, 66, 67, 69, 71, 77, 84	esumsplit 34596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹‘𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)))
86		nfcv 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥{(𝑛 + 1)}
87	25, 86, 66, 28, 31	cbvesum 34585	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥)
88		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
89	88	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
90	49	peano2nnd 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
91		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
92	91, 90	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
93	89, 90, 92	esumsn 34608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
94	87, 93	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
95	94	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹‘𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
96	64, 85, 95	3eqtrrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
97	96	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘))
98	54, 56, 97	3eqtr2rd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
99	98	exp31 425	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
100	99	a2d 30	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
101	6, 12, 18, 24, 48, 100	nnind 12300	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
102	101	impcom 413	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  Vcvv 3450   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152  +∞cpnf 11289  ℕcn 12282  ℤcz 12640  ℤ_≥cuz 12912   +_𝑒 cxad 13186  [,]cicc 13426  ...cfz 13586  seqcseq 14090  Σ^*cesum 34570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ioc 13428  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-seq 14091  df-exp 14151  df-fac 14363  df-bc 14392  df-hash 14420  df-shft 15165  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-limsup 15583  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-ef 16178  df-sin 16180  df-cos 16181  df-pi 16183  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-ordt 17612  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-ps 18679  df-tsr 18680  df-plusf 18754  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-mhm 18917  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-mulg 19217  df-subg 19272  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-cring 20401  df-subrng 20737  df-subrg 20761  df-abv 21005  df-lmod 21076  df-scaf 21077  df-sra 21387  df-rgmod 21388  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-lp 23393  df-perf 23394  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-haus 23572  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-tmd 24330  df-tgp 24331  df-tsms 24385  df-trg 24418  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-nm 24840  df-ngp 24841  df-nrg 24843  df-nlm 24844  df-ii 25137  df-cncf 25138  df-limc 26125  df-dv 26126  df-log 26825  df-esum 34571

This theorem is used by:  esumfsup  34613  esumsup  34632