Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumfzf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumfzf 34070
Description: Formulating a partial extended sum over integers using the recursive sequence builder. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
esumfzf.1 𝑘𝐹
Assertion
Ref Expression
esumfzf ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem esumfzf
Dummy variables 𝑖 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 1
2 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (1...𝑖) = (1...1))
31, 2esumeq1d 34036 . . . . 5 (𝑖 = 1 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘))
4 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
53, 4eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = 1 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1)))
65imbi2d 340 . . 3 (𝑖 = 1 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))))
7 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 𝑛
8 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → (1...𝑖) = (1...𝑛))
97, 8esumeq1d 34036 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘))
10 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
119, 10eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = 𝑛 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑖 = 𝑛 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))))
13 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = (𝑛 + 1)
14 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (1...𝑖) = (1...(𝑛 + 1)))
1513, 14esumeq1d 34036 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
16 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
1715, 16eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1))))
1817imbi2d 340 . . 3 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
19 nfv 1914 . . . . . 6 𝑘 𝑖 = 𝑁
20 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → (1...𝑖) = (1...𝑁))
2119, 20esumeq1d 34036 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘))
22 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
2321, 22eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑖 = 𝑁 → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖) ↔ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
2423imbi2d 340 . . 3 (𝑖 = 𝑁 → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑖)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑖)) ↔ (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))))
25 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
26 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥{1}
27 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑘{1}
28 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑥(𝐹𝑘)
29 esumfzf.1 . . . . . . 7 𝑘𝐹
30 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑘𝑥
3129, 30nffv 6916 . . . . . 6 𝑘(𝐹𝑥)
3225, 26, 27, 28, 31cbvesum 34043 . . . . 5 Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹𝑥)
33 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
3433fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
35 1z 12647 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → 1 ∈ ℤ)
37 1nn 12277 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
38 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
3937, 38mpan2 691 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (𝐹‘1) ∈ (0[,]+∞))
4034, 36, 39esumsn 34066 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {1} (𝐹𝑥) = (𝐹‘1))
4132, 40eqtrid 2789 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘) = (𝐹‘1))
42 fzsn 13606 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
4335, 42ax-mp 5 . . . . 5 (1...1) = {1}
44 esumeq1 34035 . . . . 5 ((1...1) = {1} → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ {1} (𝐹𝑘)
46 seq1 14055 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1))
4735, 46ax-mp 5 . . . 4 (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1) = (𝐹‘1)
4841, 45, 473eqtr4g 2802 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...1)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘1))
49 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ ℕ)
50 nnuz 12921 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5149, 50eleqtrdi 2851 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
52 seqp1 14057 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
5453adantr 480 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
55 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛))
5655oveq1d 7446 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = ((seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
57 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
5857nfci 2893 . . . . . . . . . . 11 𝑘
59 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑘(0[,]+∞)
6029, 58, 59nff 6732 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)
6157, 60nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
62 fzsuc 13611 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
6351, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...(𝑛 + 1)) = ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)}))
6461, 63esumeq1d 34036 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹𝑘))
65 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘(1...𝑛)
66 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘{(𝑛 + 1)}
67 ovexd 7466 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (1...𝑛) ∈ V)
68 snex 5436 . . . . . . . . . 10 {(𝑛 + 1)} ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → {(𝑛 + 1)} ∈ V)
70 fzp1disj 13623 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → ((1...𝑛) ∩ {(𝑛 + 1)}) = ∅)
72 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
73 fzssnn 13608 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℕ → (1...𝑛) ⊆ ℕ)
7437, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑛) ⊆ ℕ
75 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ (1...𝑛))
7674, 75sselid 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7772, 76ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
78 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)})
80 velsn 4642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑛 + 1))
8179, 80sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 = (𝑛 + 1))
82 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑛 ∈ ℕ)
8382peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
8481, 83eqeltrd 2841 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
8578, 84ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)}) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
8661, 65, 66, 67, 69, 71, 77, 85esumsplit 34054 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ ((1...𝑛) ∪ {(𝑛 + 1)})(𝐹𝑘) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘)))
87 nfcv 2905 . . . . . . . . . . 11 𝑥{(𝑛 + 1)}
8825, 87, 66, 28, 31cbvesum 34043 . . . . . . . . . 10 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘) = Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑥)
89 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → 𝑥 = (𝑛 + 1))
9089fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = (𝑛 + 1)) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9149peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
92 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
9392, 91ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ (0[,]+∞))
9490, 91, 93esumsn 34066 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9588, 94eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9695oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 Σ*𝑘 ∈ {(𝑛 + 1)} (𝐹𝑘)) = (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9764, 86, 963eqtrrd 2782 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
9897adantr 480 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) +𝑒 (𝐹‘(𝑛 + 1))) = Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘))
9954, 56, 983eqtr2rd 2784 . . . . 5 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞)) ∧ Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
10099exp31 419 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → (Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
101100a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑛)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑛)) → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))))
1026, 12, 18, 24, 48, 101nnind 12284 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁)))
103102impcom 407 1 ((𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ*𝑘 ∈ (1...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq1( +𝑒 , 𝐹)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  cn 12266  cz 12613  cuz 12878   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  seqcseq 14042  Σ*cesum 34028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-abv 20810  df-lmod 20860  df-scaf 20861  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135  df-trg 24168  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-nm 24595  df-ngp 24596  df-nrg 24598  df-nlm 24599  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-esum 34029
This theorem is referenced by:  esumfsup  34071  esumsup  34090
  Copyright terms: Public domain W3C validator