Theorem fzdifsuc 13568

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 13555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
2	1	difeq1d 4121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}))
3		uncom 4153	. . 3 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})
4		ssun2 4173	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ⊆ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})
5		incom 4201	. . . . . 6 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
6		fzp1disj 13567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
9		uneqdifeq 4492	. . . 4 ⊢ (({(𝑁 + 1)} ⊆ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∧ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅) → (({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁)))
10	4, 8, 9	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁)))
11	3, 10	mpbii 232	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁))
12	2, 11	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492

This theorem is referenced by:  fzdifsuc2  44479  dvnmul  45118