Theorem fzdifsuc 12777

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 12764	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
2	1	difeq1d 3982	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}))
3		uncom 4012	. . 3 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})
4		ssun2 4032	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ⊆ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})
5		incom 4060	. . . . . 6 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
6		fzp1disj 12776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
9		uneqdifeq 4315	. . . 4 ⊢ (({(𝑁 + 1)} ⊆ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∧ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅) → (({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁)))
10	4, 8, 9	sylancr 578	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁)))
11	3, 10	mpbii 225	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁))
12	2, 11	eqtr2d 2809	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∖ cdif 3820   ∪ cun 3821   ∩ cin 3822   ⊆ wss 3823  ∅c0 4172  {csn 4435  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  1c1 10330   + caddc 10332  ℤ_≥cuz 12052  ...cfz 12702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-fz 12703

This theorem is referenced by:  fzdifsuc2  41006  dvnmul  41658