Theorem fzrevral2 13531

Description: Reversal of scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12535	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ)
2	1	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ)
3		zsubcl 12535	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
5		simp1 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		fzrevral 13530	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8		zcn 12495	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9		zcn 12495	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		zcn 12495	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		nncan 11412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑀)) = 𝑀)
12	11	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑀)) = 𝑀)
13		nncan 11412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑁)) = 𝑁)
14	13	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑁)) = 𝑁)
15	12, 14	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁))) = (𝑀...𝑁))
16	8, 9, 10, 15	syl3an 1161	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁))) = (𝑀...𝑁))
17	16	raleqdv 3295	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
18	7, 17	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
19	18	3coml 1128	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  [wsbc 3739  (class class class)co 7358  ℂcc 11026   − cmin 11366  ℤcz 12490  ...cfz 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426

This theorem is referenced by: (None)