Theorem fzrevral2 13516

Description: Reversal of scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 12517	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ)
2	1	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ)
3		zsubcl 12517	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ)
5		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		fzrevral 13515	. . . 4 ⊢ (((𝐾 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8		zcn 12476	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9		zcn 12476	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		zcn 12476	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		nncan 11393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑀)) = 𝑀)
12	11	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑀)) = 𝑀)
13		nncan 11393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑁)) = 𝑁)
14	13	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑁)) = 𝑁)
15	12, 14	oveq12d 7367	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁))) = (𝑀...𝑁))
16	8, 9, 10, 15	syl3an 1160	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁))) = (𝑀...𝑁))
17	16	raleqdv 3289	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾 − 𝑀))...(𝐾 − (𝐾 − 𝑁)))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
18	7, 17	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
19	18	3coml 1127	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  [wsbc 3742  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   − cmin 11347  ℤcz 12471  ...cfz 13410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411

This theorem is referenced by: (None)