MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzrevral2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzrevral2 12744
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral2
StepHypRef Expression
1 zsubcl 11771 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
213adant2 1122 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
3 zsubcl 11771 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
433adant3 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
5 simp1 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 fzrevral 12743 . . . 4 (((𝐾𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
72, 4, 5, 6syl3anc 1439 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
8 zcn 11733 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9 zcn 11733 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10 zcn 11733 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11 nncan 10652 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑀)) = 𝑀)
12113adant3 1123 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑀)) = 𝑀)
13 nncan 10652 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑁)) = 𝑁)
14133adant2 1122 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑁)) = 𝑁)
1512, 14oveq12d 6940 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁))) = (𝑀...𝑁))
168, 9, 10, 15syl3an 1160 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁))) = (𝑀...𝑁))
1716raleqdv 3339 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
187, 17bitrd 271 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
19183coml 1118 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  [wsbc 3651  (class class class)co 6922  cc 10270  cmin 10606  cz 11728  ...cfz 12643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator