Theorem cayleylem2 19343

Description: Lemma for cayley 19344. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleylem1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayleylem1.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
cayleylem1.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
cayleylem2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6857	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 ))
2		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		cayleylem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		cayleylem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
7		cayleylem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	7, 3	grplactval 18974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
9	2, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
10		cayleylem1.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	3, 10, 4	grprid 18900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
12	9, 11	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = 𝑥)
13	3	fvexi 6872	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		cayleylem1.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
15	14	symgid 19331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ( I ↾ 𝑋) = (0g‘𝐻))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (0g‘𝐻)
17	16	fveq1i 6859	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 )
18		fvresi 7147	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝑋 → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
20	17, 19	eqtr3id 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐻)‘ 0 ) = 0 )
21	12, 20	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 ) ↔ 𝑥 = 0 ))
22	1, 21	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 ))
23	22	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 ))
24		cayleylem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
25	3, 10, 4, 14, 24, 7	cayleylem1 19342	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
26		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
27	3, 24, 4, 26	ghmf1 19178	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹:𝑋–1-1→𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 )))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹:𝑋–1-1→𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 )))
29	23, 28	mpbird 257	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188   I cid 5532   ↾ cres 5640  –1-1→wf1 6508  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865   GrpHom cghm 19144  SymGrpcsymg 19299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-tset 17239  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-efmnd 18796  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-ga 19222  df-symg 19300

This theorem is referenced by:  cayley  19344