Theorem cayleylem2 19379

Description: Lemma for cayley 19380. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleylem1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayleylem1.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
cayleylem1.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
cayleylem2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 ))
2		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		cayleylem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		cayleylem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
7		cayleylem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	7, 3	grplactval 19009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
9	2, 6, 8	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
10		cayleylem1.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	3, 10, 4	grprid 18935	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
12	9, 11	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = 𝑥)
13	3	fvexi 6841	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		cayleylem1.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
15	14	symgid 19367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ( I ↾ 𝑋) = (0g‘𝐻))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (0g‘𝐻)
17	16	fveq1i 6828	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 )
18		fvresi 7117	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝑋 → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
20	17, 19	eqtr3id 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐻)‘ 0 ) = 0 )
21	12, 20	eqeq12d 2755	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 ) ↔ 𝑥 = 0 ))
22	1, 21	imbitrid 245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 ))
23	22	ralrimiva 3131	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 ))
24		cayleylem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
25	3, 10, 4, 14, 24, 7	cayleylem1 19378	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
26		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
27	3, 24, 4, 26	ghmf1 19212	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹:𝑋–1-1→𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 )))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹:𝑋–1-1→𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 )))
29	23, 28	mpbird 258	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ↦ cmpt 5153   I cid 5512   ↾ cres 5620  –1-1→wf1 6482  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900   GrpHom cghm 19178  SymGrpcsymg 19335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-tset 17230  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-ga 19256  df-symg 19336

This theorem is referenced by:  cayley  19380