MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleylem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleylem2 18216
Description: Lemma for cayley 18217. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleylem1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p + = (+g𝐺)
cayleylem1.u 0 = (0g𝐺)
cayleylem1.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
cayleylem2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1𝑆)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6445 . . . 4 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 ))
2 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
3 cayleylem1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 cayleylem1.u . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 17837 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
65adantr 474 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → 0𝑋)
7 cayleylem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
87, 3grplactval 17904 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋0𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
92, 6, 8syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
10 cayleylem1.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
113, 10, 4grprid 17840 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
129, 11eqtrd 2813 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = 𝑥)
133fvexi 6460 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
14 cayleylem1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
1514symgid 18204 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → ( I ↾ 𝑋) = (0g𝐻))
1613, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑋) = (0g𝐻)
1716fveq1i 6447 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 )
18 fvresi 6706 . . . . . . 7 ( 0𝑋 → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
196, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
2017, 19syl5eqr 2827 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((0g𝐻)‘ 0 ) = 0 )
2112, 20eqeq12d 2792 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐹𝑥)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 ) ↔ 𝑥 = 0 ))
221, 21syl5ib 236 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 ))
2322ralrimiva 3147 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 ))
24 cayleylem1.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝐻)
253, 10, 4, 14, 24, 7cayleylem1 18215 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
26 eqid 2777 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
273, 24, 4, 26ghmf1 18073 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹:𝑋1-1𝑆 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 )))
2825, 27syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝐹:𝑋1-1𝑆 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 )))
2923, 28mpbird 249 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  wral 3089  Vcvv 3397  cmpt 4965   I cid 5260  cres 5357  1-1wf1 6132  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809   GrpHom cghm 18041  SymGrpcsymg 18180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-tset 16357  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-ga 18106  df-symg 18181
This theorem is referenced by:  cayley  18217
  Copyright terms: Public domain W3C validator