MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleylem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleylem2 18533
Description: Lemma for cayley 18534. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleylem1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p + = (+g𝐺)
cayleylem1.u 0 = (0g𝐺)
cayleylem1.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
cayleylem2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1𝑆)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6644 . . . 4 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 ))
2 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
3 cayleylem1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 cayleylem1.u . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
53, 4grpidcl 18123 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 0𝑋)
65adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → 0𝑋)
7 cayleylem1.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
87, 3grplactval 18193 . . . . . . 7 ((𝑥𝑋0𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
92, 6, 8syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
10 cayleylem1.p . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
113, 10, 4grprid 18126 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
129, 11eqtrd 2833 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥)‘ 0 ) = 𝑥)
133fvexi 6659 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
14 cayleylem1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
1514symgid 18521 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → ( I ↾ 𝑋) = (0g𝐻))
1613, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 ( I ↾ 𝑋) = (0g𝐻)
1716fveq1i 6646 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 )
18 fvresi 6912 . . . . . . 7 ( 0𝑋 → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
196, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
2017, 19syl5eqr 2847 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((0g𝐻)‘ 0 ) = 0 )
2112, 20eqeq12d 2814 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (((𝐹𝑥)‘ 0 ) = ((0g𝐻)‘ 0 ) ↔ 𝑥 = 0 ))
221, 21syl5ib 247 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 ))
2322ralrimiva 3149 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 ))
24 cayleylem1.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝐻)
253, 10, 4, 14, 24, 7cayleylem1 18532 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
26 eqid 2798 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
273, 24, 4, 26ghmf1 18379 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹:𝑋1-1𝑆 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 )))
2825, 27syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝐹:𝑋1-1𝑆 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) = (0g𝐻) → 𝑥 = 0 )))
2923, 28mpbird 260 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋1-1𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wral 3106  Vcvv 3441  cmpt 5110   I cid 5424  cres 5521  1-1wf1 6321  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095   GrpHom cghm 18347  SymGrpcsymg 18487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-efmnd 18026  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-ga 18412  df-symg 18488
This theorem is referenced by:  cayley  18534
  Copyright terms: Public domain W3C validator