Theorem cayleylem2 18535

Description: Lemma for cayley 18536. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleylem1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayleylem1.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
cayleylem1.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
cayleylem2	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→𝑆)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6664	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 ))
2		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
3		cayleylem1.x	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		cayleylem1.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	grpidcl 18125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
7		cayleylem1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
8	7, 3	grplactval 18195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
9	2, 6, 8	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = (𝑥 + 0 ))
10		cayleylem1.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
11	3, 10, 4	grprid 18128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
12	9, 11	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = 𝑥)
13	3	fvexi 6679	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		cayleylem1.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
15	14	symgid 18523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → ( I ↾ 𝑋) = (0g‘𝐻))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ 𝑋) = (0g‘𝐻)
17	16	fveq1i 6666	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 )
18		fvresi 6930	. . . . . . 7 ⊢ ( 0 ∈ 𝑋 → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
19	6, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (( I ↾ 𝑋)‘ 0 ) = 0 )
20	17, 19	syl5eqr 2870	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐻)‘ 0 ) = 0 )
21	12, 20	eqeq12d 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐹‘𝑥)‘ 0 ) = ((0g‘𝐻)‘ 0 ) ↔ 𝑥 = 0 ))
22	1, 21	syl5ib 246	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 ))
23	22	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 ))
24		cayleylem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
25	3, 10, 4, 14, 24, 7	cayleylem1 18534	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
26		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
27	3, 24, 4, 26	ghmf1 18381	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻) → (𝐹:𝑋–1-1→𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 )))
28	25, 27	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐹:𝑋–1-1→𝑆 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) = (0g‘𝐻) → 𝑥 = 0 )))
29	23, 28	mpbird 259	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹:𝑋–1-1→𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  Vcvv 3495   ↦ cmpt 5139   I cid 5454   ↾ cres 5552  –1-1→wf1 6347  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097   GrpHom cghm 18349  SymGrpcsymg 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-tset 16578  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-efmnd 18028  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-ga 18414  df-symg 18490

This theorem is referenced by:  cayley  18536