Theorem gsumsubg 32979

Description: The group sum in a subgroup is the same as the group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsubg.1	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐵)
gsumsubg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsubg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumsubg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsumsubg	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2734	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		gsumsubg.1	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝐵)
4		gsumsubg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	elfvexd 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
6		gsumsubg.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	1	subgss 19113	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
8	4, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
9		gsumsubg.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	10	subg0cl 19120	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
12	4, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
13		subgrcl 19117	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
14	4, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	1, 2, 10	grplid 18953	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥)
16	1, 2, 10	grprid 18954	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥)
17	15, 16	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
18	14, 17	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘𝐺)(0g‘𝐺)) = 𝑥))
19	1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 18	gsumress 18663	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463   ⊆ wss 3931  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17272  0_gc0g 17454   Σ_g cgsu 17455  Grpcgrp 18919  SubGrpcsubg 19106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-seq 14024  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-grp 18922  df-subg 19109

This theorem is referenced by: (None)