Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsubg 31937
Description: The group sum in a subgroup is the same as the group sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsubg.1 𝐻 = (𝐺s 𝐵)
gsumsubg.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsubg.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumsubg.b (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
gsumsubg (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))

Proof of Theorem gsumsubg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2733 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 gsumsubg.1 . 2 𝐻 = (𝐺s 𝐵)
4 gsumsubg.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54elfvexd 6882 . 2 (𝜑𝐺 ∈ V)
6 gsumsubg.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
71subgss 18934 . . 3 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
84, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝐺))
9 gsumsubg.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
10 eqid 2733 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1110subg0cl 18941 . . 3 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
124, 11syl 17 . 2 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
13 subgrcl 18938 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
144, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
151, 2, 10grplid 18785 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥)
161, 2, 10grprid 18786 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥)
1715, 16jca 513 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥))
1814, 17sylan 581 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (((0g𝐺)(+g𝐺)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g𝐺)(0g𝐺)) = 𝑥))
191, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 18gsumress 18542 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐻 Σg 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  wss 3911  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  s cress 17117  +gcplusg 17138  0gc0g 17326   Σg cgsu 17327  Grpcgrp 18753  SubGrpcsubg 18927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-seq 13913  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-subg 18930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator