MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 21959
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetero.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetero.p + = (+g𝑅)
mdetero.t · = (.r𝑅)
mdetero.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetero.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetero.x ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetero.y ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetero.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetero.w (𝜑𝑊𝐾)
mdetero.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetero.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetero.ij (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
mdetero (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑊,𝑗   · ,𝑖,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetero.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 mdetero.p . . 3 + = (+g𝑅)
4 mdetero.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
763adant2 1131 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
8 crngring 19976 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (𝜑𝑊𝐾)
12113ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑊𝐾)
13 mdetero.y . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
14133adant2 1131 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
15 mdetero.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 15ringcl 19981 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾𝑌𝐾) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
18 mdetero.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1914, 18ifcld 4532 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
20 mdetero.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 21956 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 21953 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
23 eqid 2736 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 mdetero.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐽)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 21958 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
2726oveq2d 7373 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = (𝑊 · (0g𝑅)))
282, 15, 23ringrz 20012 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾) → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
299, 11, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3022, 27, 293eqtrd 2780 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
3130oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)))
32 ringgrp 19969 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
34 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
35 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
361, 34, 35, 2mdetf 21944 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
374, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
387, 19ifcld 4532 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)) ∈ 𝐾)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 21772 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
4037, 39ffvelcdmd 7036 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾)
412, 3, 23grprid 18781 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4233, 40, 41syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4321, 31, 423eqtrd 2780 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  ifcif 4486  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Fincfn 8883  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-mdet 21934
This theorem is referenced by:  maducoeval2  21989  matunitlindflem1  36074
  Copyright terms: Public domain W3C validator