MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 22463
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetero.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetero.p + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetero.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetero.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetero.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetero.x ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
mdetero.y ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
mdetero.z ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
mdetero.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
mdetero.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetero.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
mdetero.ij (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
Assertion
Ref Expression
mdetero (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ๐‘–,๐‘Š,๐‘—   ยท ,๐‘–,๐‘—   + ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ๐‘‹(๐‘—)   ๐‘Œ(๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 mdetero.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mdetero.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
4 mdetero.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
763adant2 1128 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 crngring 20148 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
12113ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
13 mdetero.y . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
14133adant2 1128 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
15 mdetero.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
162, 15ringcl 20153 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘Š ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐พ)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1368 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Š ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐พ)
18 mdetero.z . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
1914, 18ifcld 4569 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘) โˆˆ ๐พ)
20 mdetero.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 22460 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 22457 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐‘Š ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))))
23 eqid 2726 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
24 mdetero.j . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 22462 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (0gโ€˜๐‘…))
2726oveq2d 7420 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))) = (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)))
282, 15, 23ringrz 20191 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
299, 11, 28syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3022, 27, 293eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (0gโ€˜๐‘…))
3130oveq2d 7420 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))) = ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)))
32 ringgrp 20141 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
34 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘ Mat ๐‘…) = (๐‘ Mat ๐‘…)
35 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
361, 34, 35, 2mdetf 22448 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ท:(Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))โŸถ๐พ)
374, 36syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:(Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))โŸถ๐พ)
387, 19ifcld 4569 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)) โˆˆ ๐พ)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 22276 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
4037, 39ffvelcdmd 7080 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) โˆˆ ๐พ)
412, 3, 23grprid 18896 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
4233, 40, 41syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
4321, 31, 423eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  ifcif 4523  โŸถwf 6532  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  Fincfn 8938  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   Mat cmat 22258   maDet cmdat 22437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-word 14469  df-lsw 14517  df-concat 14525  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14704  df-reverse 14713  df-s2 14803  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-gim 19182  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-symg 19285  df-pmtr 19360  df-psgn 19409  df-evpm 19410  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21237  df-zring 21330  df-zrh 21386  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-mat 22259  df-mdet 22438
This theorem is referenced by:  maducoeval2  22493  matunitlindflem1  36995
  Copyright terms: Public domain W3C validator