MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 22632
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetero.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetero.p + = (+g𝑅)
mdetero.t · = (.r𝑅)
mdetero.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetero.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetero.x ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetero.y ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetero.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetero.w (𝜑𝑊𝐾)
mdetero.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetero.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetero.ij (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
mdetero (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑊,𝑗   · ,𝑖,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetero.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 mdetero.p . . 3 + = (+g𝑅)
4 mdetero.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
763adant2 1130 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
8 crngring 20263 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (𝜑𝑊𝐾)
12113ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑊𝐾)
13 mdetero.y . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
14133adant2 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
15 mdetero.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 15ringcl 20268 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾𝑌𝐾) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
18 mdetero.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1914, 18ifcld 4577 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
20 mdetero.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 22629 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 22626 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
23 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 mdetero.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐽)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 22631 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
2726oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = (𝑊 · (0g𝑅)))
282, 15, 23ringrz 20308 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾) → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
299, 11, 28syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3022, 27, 293eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
3130oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)))
32 ringgrp 20256 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
34 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
35 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
361, 34, 35, 2mdetf 22617 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
374, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
387, 19ifcld 4577 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)) ∈ 𝐾)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 22445 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
4037, 39ffvelcdmd 7105 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾)
412, 3, 23grprid 18999 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4233, 40, 41syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4321, 31, 423eqtrd 2779 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Fincfn 8984  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   Mat cmat 22427   maDet cmdat 22606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-evpm 19525  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mat 22428  df-mdet 22607
This theorem is referenced by:  maducoeval2  22662  matunitlindflem1  37603
  Copyright terms: Public domain W3C validator