MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 22432
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetero.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetero.p + = (+g𝑅)
mdetero.t · = (.r𝑅)
mdetero.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mdetero.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetero.x ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
mdetero.y ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
mdetero.z ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
mdetero.w (𝜑𝑊𝐾)
mdetero.i (𝜑𝐼𝑁)
mdetero.j (𝜑𝐽𝑁)
mdetero.ij (𝜑𝐼𝐽)
Assertion
Ref Expression
mdetero (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑖,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗   𝑖,𝐽,𝑗   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑊,𝑗   · ,𝑖,𝑗   + ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2 mdetero.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 mdetero.p . . 3 + = (+g𝑅)
4 mdetero.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
763adant2 1130 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑋𝐾)
8 crngring 20146 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (𝜑𝑊𝐾)
12113ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑊𝐾)
13 mdetero.y . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
14133adant2 1130 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑌𝐾)
15 mdetero.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 15ringcl 20151 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾𝑌𝐾) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑊 · 𝑌) ∈ 𝐾)
18 mdetero.z . . . 4 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑍𝐾)
1914, 18ifcld 4574 . . 3 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍) ∈ 𝐾)
20 mdetero.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 22429 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 22426 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))))
23 eqid 2731 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
24 mdetero.j . . . . . 6 (𝜑𝐽𝑁)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐽)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 22431 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
2726oveq2d 7428 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑌, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = (𝑊 · (0g𝑅)))
282, 15, 23ringrz 20189 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑊𝐾) → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
299, 11, 28syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 · (0g𝑅)) = (0g𝑅))
3022, 27, 293eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (0g𝑅))
3130oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑊 · 𝑌), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))))) = ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)))
32 ringgrp 20139 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
34 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
35 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
361, 34, 35, 2mdetf 22417 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
374, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷:(Base‘(𝑁 Mat 𝑅))⟶𝐾)
387, 19ifcld 4574 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)) ∈ 𝐾)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 22245 . . . 4 (𝜑 → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍))) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
4037, 39ffvelcdmd 7087 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾)
412, 3, 23grprid 18896 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) ∈ 𝐾) → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4233, 40, 41syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) + (0g𝑅)) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
4321, 31, 423eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝑋 + (𝑊 · 𝑌)), if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))) = (𝐷‘(𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, 𝑋, if(𝑖 = 𝐽, 𝑌, 𝑍)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  ifcif 4528  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cmpo 7414  Fincfn 8945  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135   Mat cmat 22227   maDet cmdat 22406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-efmnd 18792  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-evpm 19408  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zrh 21363  df-dsmm 21597  df-frlm 21612  df-mat 22228  df-mdet 22407
This theorem is referenced by:  maducoeval2  22462  matunitlindflem1  36948
  Copyright terms: Public domain W3C validator