MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 22530
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetero.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetero.p + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetero.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetero.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetero.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetero.x ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
mdetero.y ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
mdetero.z ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
mdetero.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
mdetero.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetero.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
mdetero.ij (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
Assertion
Ref Expression
mdetero (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ๐‘–,๐‘Š,๐‘—   ยท ,๐‘–,๐‘—   + ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ๐‘‹(๐‘—)   ๐‘Œ(๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 mdetero.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mdetero.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
4 mdetero.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
763adant2 1128 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 crngring 20190 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1093ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
12113ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
13 mdetero.y . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
14133adant2 1128 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
15 mdetero.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
162, 15ringcl 20195 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘Š ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐พ)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1368 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Š ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐พ)
18 mdetero.z . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
1914, 18ifcld 4576 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘) โˆˆ ๐พ)
20 mdetero.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 22527 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 22524 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐‘Š ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))))
23 eqid 2727 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
24 mdetero.j . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 22529 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (0gโ€˜๐‘…))
2726oveq2d 7440 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))) = (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)))
282, 15, 23ringrz 20235 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
299, 11, 28syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3022, 27, 293eqtrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (0gโ€˜๐‘…))
3130oveq2d 7440 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))) = ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)))
32 ringgrp 20183 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
34 eqid 2727 . . . . . 6 (๐‘ Mat ๐‘…) = (๐‘ Mat ๐‘…)
35 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
361, 34, 35, 2mdetf 22515 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ท:(Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))โŸถ๐พ)
374, 36syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:(Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))โŸถ๐พ)
387, 19ifcld 4576 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)) โˆˆ ๐พ)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 22343 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
4037, 39ffvelcdmd 7098 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) โˆˆ ๐พ)
412, 3, 23grprid 18930 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
4233, 40, 41syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
4321, 31, 423eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2936  ifcif 4530  โŸถwf 6547  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   โˆˆ cmpo 7426  Fincfn 8968  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  Grpcgrp 18895  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179   Mat cmat 22325   maDet cmdat 22504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-word 14503  df-lsw 14551  df-concat 14559  df-s1 14584  df-substr 14629  df-pfx 14659  df-splice 14738  df-reverse 14747  df-s2 14837  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18826  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-cntz 19273  df-oppg 19302  df-symg 19327  df-pmtr 19402  df-psgn 19451  df-evpm 19452  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zrh 21434  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-mat 22326  df-mdet 22505
This theorem is referenced by:  maducoeval2  22560  matunitlindflem1  37094
  Copyright terms: Public domain W3C validator