MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetero Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetero 21982
Description: The determinant function is multilinear (additive and homogeneous for each row (matrices are given explicitly by their entries). Corollary 4.9 in [Lang] p. 515. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetero.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetero.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetero.p + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetero.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetero.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetero.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetero.x ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
mdetero.y ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
mdetero.z ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
mdetero.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
mdetero.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
mdetero.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
mdetero.ij (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
Assertion
Ref Expression
mdetero (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘–,๐‘—   ๐‘–,๐พ,๐‘—   ๐‘–,๐‘,๐‘—   ๐‘–,๐ผ,๐‘—   ๐‘–,๐ฝ,๐‘—   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘–,๐‘Œ   ๐‘–,๐‘Š,๐‘—   ยท ,๐‘–,๐‘—   + ,๐‘–,๐‘—
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘—)   ๐‘…(๐‘–,๐‘—)   ๐‘‹(๐‘—)   ๐‘Œ(๐‘—)   ๐‘(๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mdetero
StepHypRef Expression
1 mdetero.d . . 3 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
2 mdetero.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
3 mdetero.p . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
4 mdetero.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
5 mdetero.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
6 mdetero.x . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
763adant2 1132 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐พ)
8 crngring 19984 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
94, 8syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1093ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
11 mdetero.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
12113ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Š โˆˆ ๐พ)
13 mdetero.y . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
14133adant2 1132 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐พ)
15 mdetero.t . . . . 5 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
162, 15ringcl 19989 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘Š ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐พ)
1710, 12, 14, 16syl3anc 1372 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Š ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐พ)
18 mdetero.z . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
1914, 18ifcld 4536 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘) โˆˆ ๐พ)
20 mdetero.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
211, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 19, 20mdetrlin2 21979 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))))
221, 2, 15, 4, 5, 14, 19, 11, 20mdetrsca2 21976 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐‘Š ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))))
23 eqid 2733 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
24 mdetero.j . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐‘)
25 mdetero.ij . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โ‰  ๐ฝ)
261, 2, 23, 4, 5, 13, 18, 20, 24, 25mdetralt2 21981 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (0gโ€˜๐‘…))
2726oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘Œ, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))) = (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)))
282, 15, 23ringrz 20020 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Š โˆˆ ๐พ) โ†’ (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
299, 11, 28syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Š ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3022, 27, 293eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (0gโ€˜๐‘…))
3130oveq2d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘Š ยท ๐‘Œ), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))))) = ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)))
32 ringgrp 19977 . . . 4 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
339, 32syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
34 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ Mat ๐‘…) = (๐‘ Mat ๐‘…)
35 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)) = (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))
361, 34, 35, 2mdetf 21967 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐ท:(Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))โŸถ๐พ)
374, 36syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:(Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…))โŸถ๐พ)
387, 19ifcld 4536 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)) โˆˆ ๐พ)
3934, 2, 35, 5, 4, 38matbas2d 21795 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘))) โˆˆ (Baseโ€˜(๐‘ Mat ๐‘…)))
4037, 39ffvelcdmd 7040 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) โˆˆ ๐พ)
412, 3, 23grprid 18789 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
4233, 40, 41syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) + (0gโ€˜๐‘…)) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
4321, 31, 423eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐‘‹ + (๐‘Š ยท ๐‘Œ)), if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, ๐‘‹, if(๐‘– = ๐ฝ, ๐‘Œ, ๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  ifcif 4490  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  Fincfn 8889  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973   Mat cmat 21777   maDet cmdat 21956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-evpm 19282  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778  df-mdet 21957
This theorem is referenced by:  maducoeval2  22012  matunitlindflem1  36124
  Copyright terms: Public domain W3C validator