Theorem pj1lid 19743

Description: The left projection function is the identity on the left subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1lid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem pj1lid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19171	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	sselda 3998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
9		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11	5, 9, 10	grprid 19008	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
12	4, 8, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 = (𝑋 + 0 ))
14		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
15		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	14	lsmub1 19699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 16, 23	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3998	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑇)
27	10	subg0cl 19174	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
28	17, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 0 ∈ 𝑈)
29	9, 14, 10, 15, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 26, 28	pj1eq 19742	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 = (𝑋 + 0 ) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 )))
30	13, 29	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 ))
31	30	simpld 494	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3965   ⊆ wss 3966  {csn 4634  ‘cfv 6569  (class class class)co 7438  Basecbs 17254  +_gcplusg 17307  0_gc0g 17495  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  Cntzccntz 19355  LSSumclsm 19676  proj₁cpj1 19677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-0g 17497  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-pj1 19679

This theorem is referenced by:  dpjlid  20105  pjfo  21762