Theorem pj1lid 19759

Description: The left projection function is the identity on the left subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1lid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem pj1lid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19185	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7	1, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	sselda 3939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
9		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11	5, 9, 10	grprid 19023	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
12	4, 8, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 = (𝑋 + 0 ))
14		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
15		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	14	lsmub1 19715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 16, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3939	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑇)
27	10	subg0cl 19188	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
28	17, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 0 ∈ 𝑈)
29	9, 14, 10, 15, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 26, 28	pj1eq 19758	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 = (𝑋 + 0 ) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 )))
30	13, 29	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 ))
31	30	simpld 499	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17480  Grpcgrp 18988  SubGrpcsubg 19174  Cntzccntz 19373  LSSumclsm 19692  proj₁cpj1 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-pj1 19695

This theorem is referenced by:  dpjlid  20121  pjfo  21822