Theorem pj1lid 19772

Description: The left projection function is the identity on the left subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1lid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem pj1lid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19198	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 19194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7	1, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
9		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11	5, 9, 10	grprid 19036	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
12	4, 8, 11	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 = (𝑋 + 0 ))
14		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
15		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	16	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	14	lsmub1 19728	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 16, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑇)
27	10	subg0cl 19201	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
28	17, 27	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 0 ∈ 𝑈)
29	9, 14, 10, 15, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 26, 28	pj1eq 19771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 = (𝑋 + 0 ) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 )))
30	13, 29	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 ))
31	30	simpld 499	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001  SubGrpcsubg 19187  Cntzccntz 19386  LSSumclsm 19705  proj₁cpj1 19706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-lsm 19707  df-pj1 19708

This theorem is referenced by:  dpjlid  20134  pjfo  21846