Theorem pj1lid 19222

Description: The left projection function is the identity on the left subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pj1eu.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
pj1eu.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
pj1eu.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
pj1eu.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
pj1f.p	⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pj1lid	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem pj1lid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pj1eu.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 18675	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝐺 ∈ Grp)
5		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
6	5	subgss 18671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
7	1, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
8	7	sselda 3917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
9		pj1eu.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
10		pj1eu.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
11	5, 9, 10	grprid 18525	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
12	4, 8, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
13	12	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 = (𝑋 + 0 ))
14		pj1eu.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
15		pj1eu.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
16		pj1eu.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18		pj1eu.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20		pj1eu.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈))
22		pj1f.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (proj1‘𝐺)
23	14	lsmub1 19177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
24	1, 16, 23	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑇 ⊕ 𝑈))
25	24	sselda 3917	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))
26		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ 𝑇)
27	10	subg0cl 18678	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ 𝑈)
28	17, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 0 ∈ 𝑈)
29	9, 14, 10, 15, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 26, 28	pj1eq 19221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝑋 = (𝑋 + 0 ) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 )))
30	13, 29	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 0 ))
31	30	simpld 494	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  Cntzccntz 18836  LSSumclsm 19154  proj₁cpj1 19155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-pj1 19157

This theorem is referenced by:  dpjlid  19579  pjfo  20832